29 de abr de 2013

A Função Erro e Outras Funções Relacionadas

Por:
Kleber Kilhian
Paulo Sérgio Costa Lino

A função erro $erf(x)$ tem uma longa história que começa com os artigos de De Moivre $(1718-1733)$ e Laplace $(1774)$, onde foi expressa através da seguinte integral:
$$\int e^{-t^2}dt$$
Mais tarde, Kramp $(1799)$ utilizou esta integral para a definição da função de erro complementar $erfc(x)$.

A integral de probabilidade foi assim chamada porque é amplamente utilizada na teoria da probabilidade e estatística, aparecendo também em equações diferenciais parciais.

A função erro imaginário $erfi(z)$ também chamada de Função Erro de Gauss, foi desenvolvida para calcular a integral da distribuição normal. Gauss mostrou como a probabilidade pode ser representada por uma curva em forma de sino ou normal, onde o erro se distribui simetricamente com picos na média e caindo rapidamente para mais e menos infinito. Em $1809$, Gauss usou esta função para analisar dados astronômicos.
A função erro é definida por:
\begin{equation}
erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}dt
\end{equation}
A função erro complementar é definida por:
\begin{equation}
erfc(x)=1-erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_x^\infty e^{-t^2}dt
\end{equation}
A função erro imaginário introduzida por Gauss é definida por:
\begin{equation}
erfi(z)=-ierf(iz)=-\frac{2i}{\sqrt{\pi}}\int_0^{iz}e^{-t^2}dt
\end{equation}
Fazemos uma mudança de variável:
$$t=iy  \Rightarrow dt=idy$$
Vejam que na integral dada em $(3)$, $t$ assume valores de $0$ a $iz$ e com a mudança de variável, teremos que:
\begin{matrix}
\bullet &\text{ se  } &t=0 &\Rightarrow &y=0\\
\bullet &\text{ se  } &t=iz &\Rightarrow &iz=iy &\Rightarrow z=y
\end{matrix}
Obtemos então:
\begin{equation}
erfi(z)=-\frac{2i}{\sqrt{\pi}}\int_0^z e^{-(iy)^2}idy
\end{equation}
Como $i^2=-1$, temos:
\begin{equation}
erfi(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^z e^{y^2}dy
\end{equation}
Podemos expressar $(5)$ em termos de $t$:
\begin{equation}
erfi(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int _0^z e^{t^2}dt
\end{equation}

Proposição 1: $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}erf(x)=1$

Demonstração: Seja $I$ o limite acima. Assim:
\begin{equation}
\begin{matrix}
I=\lim_{x \rightarrow +\infty} erf(x)&=&\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int _0^xe^{-u^2}du\\
&=&\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int _0^{+\infty}e^{-u^2}du
\end{matrix}
\end{equation}
e
\begin{equation}
\begin{matrix}
I=\lim_{x \rightarrow +\infty} erf(x)&=&\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int _0^xe^{-v^2}dv\\
&=&\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int _0^{+\infty}e^{-v^2}dv
\end{matrix}
\end{equation} Multiplicando as expressões $(7)$ e $(8)$, obtemos:
\begin{equation}
\begin{matrix}
I^2&=&\frac{4}{\pi}\cdot \int_0^{+\infty}e^{-u^2}du \cdot \int_0^{+\infty} e^{-v^2}dv\\
&=&\frac{4}{\pi}\cdot \int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty}e^{-u^2-v^2}dudv
\end{matrix}
\end{equation}
Observe que a região de integração é o $1^\circ$ quadrante. Para resolver a integral dupla $(9)$, De Moivre teve a ideia de usar coordenadas polares, fazendo $u=r\cos (\theta)$ e $v=r \text{sen}(\theta)$. O elemento de área $dudv$ está relacionado com o elemento $drd\theta$ através da expressão:
$$dudv=\left | J \right |drd \theta$$
onde $J$ é o Jacobiano da transformação dado por:
$$J=\frac{\partial (u,v)}{\partial (r,\theta)}=\begin{vmatrix}
\frac{\partial u}{\partial r} & \frac{\partial u}{\partial \theta}\\
\\
\frac{\partial v}{\partial r} & \frac{\partial v}{\partial \theta}
\end{vmatrix}   =\begin{vmatrix}
\cos(\theta) & -r\text{sen}(\theta)\\
\\
\text{sen}(\theta) & r\cos(\theta)
\end{vmatrix}  = r\cos^2(\theta)+r\text{sen}^2(\theta)=r$$
Assim, $dudv=rdrd\theta$, de modo que:
\begin{matrix}
I^2&=& \frac{4}{\pi}\int_0^{\pi/2}\int_0^{+\infty}e^{-r^2}\cdot rdrd\theta\\
&=& \frac{4}{\pi}\int_0^{\pi/2}d\theta \cdot \lim_{p \rightarrow +\infty}\int_0^pe^{-r^2}\cdot rdr\\
&=&\frac{4}{\pi}\cdot \frac{\pi}{2}\cdot \lim_{p \rightarrow +\infty}\left[-\frac{1}{2}e^{-r^2}\right]_0^p\\
&=&2\cdot \lim_{p \rightarrow +\infty} \left[-\frac{1}{2}e^{-p^2}+\frac{1}{2}\right]\Rightarrow\\
\end{matrix} $$I^2=1\Rightarrow I=1$$
Observação: Os limites de integração foram $0\leq\theta\leq\pi/2$ e $0\leq r <+\infty$, pois desta forma, preenchemos o $1^\circ$ quadrante, que é a região de integração das variáveis antigas.

Corolário $1$: $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}erf(x)=1$

Demonstração:
$$\lim_{x \rightarrow -\infty}erf(x)=\lim_{y \rightarrow +\infty}erf(-y)=\lim_{y \rightarrow +\infty}erf(y)=1$$
$y=-x$. Se $x \rightarrow -\infty$, então $y\rightarrow +\infty$.

No penúltimo passo, usamos o fato de que a função $erf(x)$ é par.

Exemplo $1$: A função gama denotada por $\Gamma(x)$ é definida por:
$$\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt\text{  ,     }x>0$$
Mostre que $\Gamma (1/2)=\sqrt{\pi}$.

Façamos $t=u^2$ na integral acima. Note que $dt=2udu$ e que os limites de integração são os mesmo. Assim:

$$\Gamma(1/2)=\int_0^{+\infty}(u^2)^{\frac{1}{2}-1}e^{-u^2}\cdot 2udu$$
$$\Gamma(1/2)=2\cdot \int_0^{+\infty}u^{-1}\cdot e^{-u^2}\cdot udu$$
$$\Gamma(1/2)=2\cdot \int_0^{+\infty}e^{-u^2}du$$
$$\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}\cdot \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{+\infty}e^{-u^2}du$$
$$\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi} \cdot \lim_{p \rightarrow +\infty}\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^pe^{-u^2}du$$
$$\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi} \cdot \lim_{p \rightarrow +\infty}erf(p)=\sqrt{\pi}\cdot 1=\sqrt{\pi}$$
Exemplo $2$: Vamos calcular a integral $\displaystyle \int x^2 e^{x^2}dx$. Temos que:
$$\int x^2e^{x^2}dx=\int x \cdot xe^{x^2}dx$$
Aplicamos o método de integração por partes, de modo que:
$$u=x \Rightarrow \frac{du}{dx}=1 \Rightarrow du=dx$$
e
$$dv=xe^{x^2}dx \Rightarrow v=\frac{e^{x^2}}{2}$$
Observação: Para integrarmos $\displaystyle dv=xe^{x^2}dx$, aplicamos o método de integração por substituição.

Seja $u=x^2$ e $du=2xdx$. Assim:
\begin{matrix}
dv=xe^{x^2}dx \Rightarrow &v&=\int xe^{x^2}dx\\
&v&=\int \frac{xe^u}{2x}du\\
&v&=\frac{1}{2}\int e^udu\\
\end{matrix}
Como a integral de $e^u=e^u$, temos:
\begin{matrix}
v&=&\frac{1}{2}e^u+C\\
v&=&\frac{e^u}{2}+C\\
v&=&\frac{e^{x^2}}{2}+C\\
\end{matrix}
Retomando as ideias, temos pela integração por partes que:
$$\int udv=uv-\int vdu$$
Assim:
$$\int x^2e^{x^2}dx=x\cdot \frac{e^{x^2}}{2}-\int \frac{e^{x^2}}{2}\cdot dx+C$$
$$\int x^2e^{x^2}dx=\frac{xe^{x^2}}{2}-\frac{1}{2}\int e^{x^2} dx+C$$
$$\int x^2e^{x^2}dx=\frac{xe^{x^2}}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int e^{x^2} dx+C$$
\begin{equation}
\int x^2e^{x^2}dx=\frac{xe^{x^2}}{2}-\frac{\sqrt{\pi}}{4} erfi(x)+C
\end{equation}


Veja mais:

Método de Integração por Partes
Método de Integração por Substituição
Sobre as Funções Gama e Beta Partes: 1, 2, 3 e 4 no blog Fatos Matemáticos
Versões Discretas da Transformada de Laplace e da Função Gama no blog Elementos

14 de abr de 2013

Semelhança no Círculo

Sejam $O$ um ponto do plano e $r$ um número real positivo. O círculo de centro $O$ é o conjunto dos pontos que estão a uma distância $\leq r$ do ponto $O$. Ou seja, o círculo de centro $O$ e raio $r$ é a reunião de todos os pontos da reta de comprimento $r$ traçados no plano a partir do ponto $P$. A palavra raio é usada para designar cada um desses segmentos.

Definição $1$: O conjunto dos pontos do plano situados a uma distância $r$ do centro $O$ é a linha que delimita o círculo, chamada de circunferência. Daí segue que dois círculos são congruentes se seus raio são iguais.

Às vezes, usa-se a palavra círculo para designar essa linha, tal como o círculo trigonométrico. O próprio Euclides cometia este abuso de linguagem.

Teorema $1$: Dois círculos quaisquer são semelhantes e a razão de semelhança é a razão entre seus raios.

Demonstração: Vamos supor que o círculo $C_1$ de raio $r$ e o círculo $C_2$ de raio $s$ possuam o mesmo centro $O$. A homotetia de centro em $O$ e razão $k=s/r$ transforma cada segmento de reta de origem em $O$ e o comprimento $r$ num segmento de origem $O$ e comprimento $s$ situado sobre a mesma reta. Logo, essa homotetia define uma semelhança entre $C_1$ e $C_2$.

[Figura 1]



Definição $2$: Homotetia de uma figura $F$ com centro em $O$ e razão $k$ é uma transformação geométrica que associa a cada ponto $P$ da figura $F$, um ponto $P^{\prime}$ sobre a semi-reta $OP$, de origem em $O$, gerando uma figura $F^{\prime}$ proporcional à $F$, tal que $OP^{\prime}=k \cdot OP$.
[Figura 3]
Dois círculos são sempre homotéticos. Nos casos de círculos disjuntos, os centros de homotetia são as intersecções das tangentes internas e das tangentes externas.

[Figura 2]

Teorema $2$: Dois arcos de circunferência são semelhantes se, e somente se, subtendem o mesmo ângulo central. 

Demonstração: Sejam $AB$ e $A^{\prime}B^{\prime}$ arcos de circunferência nos círculos de centro $O$ e $O^{\prime}$ respectivamente, subtendendo os ângulos centrais $\theta=\angle AOB$ e $\theta^{\prime}=\angle A^{\prime}O^{\prime}B^{\prime}$. Sejam $M$ e $M^{\prime}$ os pontos médios de $AB$ e $A'B'$ respectivamente.

[Figura 4]

Toda semelhança entre os arcos $AB$ e $A'B'$ determina uma semelhança entre os triângulos $\triangle AMB$ e $\triangle A'M'B'$, logo os ângulos $\angle M$ e $\angle M'$ são iguais, o que nos leva à igualdade entre os ângulos centrais $\theta$ e $\theta '$, pois $\theta=360^\circ - 2\angle M$ e $\theta '-2\angle M'$. Assim, arcos semelhantes subtendem o mesmo ângulo central. Reciprocamente, suponhamos que os arcos $AB$ e $A'B'$ subtendem ângulos centrais iguais. Supondo ainda que os círculos onde estão situados esses arcos são concêntricos, a homotetia com este centro, que leva um círculo no outro, é uma semelhança entre os arcos dados.

Referências:

[1] Medida e Forma em Geometria - Elon Lages Lima


Veja mais: 

A Área do Círculo
Intersecção de Circunferências
Ângulos Entre Circunferências e Circunferências Ortogonais

11 de abr de 2013

Os $10$ Problemas de Apolônio

Apolônio nasceu em Perga, na Panfília (sul da Ásia Menor), mas tudo indica que foi educado em Alexandria e parece ter passado algum tempo ensinando lá. Passou um certo tempo em Pérgamo, onde havia uma biblioteca só inferior à de Alexandria. Pouco se sabe sobre sua vida e não sabe-se as datas precisas de seu nascimento e morte, sendo sugeridos os anos de $(262-190a.C.)$.

Seu trabalho mais famoso e influente sem dúvida é o tratado sobre Cônicas. Outro trabalho, dos dois que se preservara, é Dividir em uma razão, que era conhecido apenas pelos árabes até $1706$, quando Edmund Halley publicou uma tradução para o latim.

O que se sabe sobre seus trabalhos perdidos é baseado em grande parte nos resumos do comentador do século $IV$, Pappus. Um desses trabalhos é o desenvolvimento de Apolônio de um esquema numérico para expressar números grandes, que é descrito na última parte do Livro $II$ da Coleção Matemática de Pappus.

Em uma obra perdida chamada Resultado rápido, Apolônio parece ter ensinado processos rápidos de calcular, onde obteve uma aproximação para $\pi$ melhor que a dada por Arquimedes, encontrando um valor de $3,1416$.

O livro $VII$ da Coleção Matemática de Pappus de Alexandria é um guia destinado a facilitar a leitura de outra coleção de textos, dita do Lugar Analisado, composta por $12$ tratados de quatro autores: Euclides, Apolônio, Aristeu e Eratóstenes, onde os escritos por Apolônio representam quase a metade da coleção ($14$ de $33$). 

Trata-se de uma coleção reunida em torno da resolução de problemas de lugares geométricos pela via da análise, explorando suas propriedades e consequências e busca reduzir a solução a partir daquilo que era conhecido. Esse método, observa Pappus, dirige-se àqueles que dominam os Elementos (de Euclides). 

Infelizmente, menos de um terço da coleção se conservou. No entanto, no século $XVII$, o passatempo preferido dos geômetras era o de reconstituir obras de Geometria perdidas e se interessaram particularmente pelo livro $VIII$ da Cônicas de Apolônio, pelos Porismas de Euclides e pelo tratado da Tangências de Apolônio.

Pappus explica como é possível agrupar os problemas desse último tratado:
Dados sucessivamente três elementos quaisquer entre pontos, retas e círculos, com certas posições, traçar um círculo que seja tangente a cada um desses elementos.
Este problema envolve dez  casos, desde os mais fáceis, como os de três pontos ou o de três retas, até o mais difícil de todos, que é traçar um círculo que seja tangente a três círculos dados. As soluções de Apolônio não chegaram até nós, mas podem ser reconstruídas com base nas informações de Pappus. No entanto, estudiosos dos séculos $XVI$ e $XVII$ pensavam que Apolônio não tinha resolvido o último caso, por isso consideravam como um desafio às suas capacidades. Newton, em sua Arithmetica universalis, foi um dos que deram uma solução, usando régua e compasso apenas.

Hoje, esse tratado é chamado de Os $10$ Problemas de Apolônio, sendo o círculo tangente a outros três considerados o problema original. Vejamos cada um deles:

Problema $1$: $[PPP]$ Problema dos três pontos.


Problema $2$: $[RRR]$ Circunferência tangente a três retas.


Problema $3$: $[RPP]$ Uma reta e dois pontos.


Problema $4$: $[RRP]$ Duas retas e um ponto.


Problema $5$: $[CPP]$ Uma circunferência e dois pontos.


Problema $6$: $[CCP]$ Duas circunferências e um ponto.


Problema $7$: $[CRR]$ Uma circunferência e duas retas.


Problema $8$: $[CRP]$ Uma circunferência, uma reta e um ponto.


Problema $9$: $[CCR]$ Duas circunferências e uma reta.


Problema $10$: $[CCC]$ Três circunferências (problema original).

Referências:

[1] História da Matemática - Carl Boyer & Uta Merzbach - 3ª Ed. - Editora Blucher
[2] A Ciência na Antiguidade Volume 3 - Scientific American - Editora Duetto 


Veja mais: 

Os Elementos de Euclides
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
O Teorema de Pitágoras Segundo Euclides
Apolônio de Perga  no blog Fatos Matemáticos

6 de abr de 2013

Matemática: Além do Raciocínio Dedutivo


As razões mais frequentemente mencionadas para justificar o ensino da Matemática são:

$1)$ A Matemática é necessária em atividades práticas que envolvam aspectos quantitativos da realidade;
$2)$ A Matemática é importante porque desenvolve o raciocínio lógico.

A ideia de que o pensamento matemático se reduz a seus aspectos lógicos-dedutivos é incompleta e exclui o que há de mais rico nos processos de invenção e descoberta. O pensamento matemático vai muito além do raciocínio dedutivo. Em seus aspectos mais criativos, a Matemática depende da intuição e da imaginação, às vezes até mais que a dedução.

A intuição é a faculdade mental que permite obter o conhecimento de maneira direta, sem a intervenção do raciocínio. Os matemáticos frequentemente se referem a algum fato como "intuitivo", querendo com isso dizer que se trata de algo cuja veracidade é facilmente reconhecível. Mas é bom lembrar que "intuitivo" não é sinônimo de "fácil". Há muitas verdades profundas e difíceis que são apreendidas pela intuição.

A intuição é, na verdade, uma faculdade mental mais poderosa que o próprio raciocínio. É por meio dela que ocorrem as grandes criações do ser humano, nas artes, na filosofia e nas ciências. Henri Poincaré $(1854-1912)$, o mais eminente dos matemático de sua época, testemunhou bem isso, num artigo que escreveu sobre "criação matemática", em que ele conta várias de suas experiências como pesquisador. Uma dessas experiências ocorreu em suas tentativas de demonstrar certo teorema no estudo das chamadas "funções amorfas". Depois de vários dias de trabalho sem sucesso, ele interrompeu suas pesquisas para fazer uma excursão geológica com várias outras pessoas. Foi como se estivesse tirando umas férias da Matemática, passando dias distraído com outras coisas. Num dos momentos da viagem, segundo ele conta, veio-lhe à mente, de súbito, a ideia de utilizar, na demonstração de seu teorema, certos recursos matemáticos que já havia empregado tempos antes numa outra situação. E, ao voltar para sua casa, examinando detidamente essa ideia, pôde verificar que ela era realmente a chave da solução que procurava. A "ideia", de fato, tinha seu mérito.

Ideias são coisas que nos vêm por intuição. Uma ideia não se deduz, "se intui". Albert Einstein $(1879-1955)$ concebeu a ideia de que a velocidade da luz no vazio seria independente da velocidade da fonte luminosa e também a ideia de que o tempo não seria uma grandeza física absoluta, mas deveria ser entendido como ligado ao sistema de referência, do mesmo modo que o espaço. A partir desses dois postulados, ele construiu sua Teoria da Relatividade Restrita por deduções sucessivas. Outro exemplo mais conhecido e mais antigo de formulação axiomática em Física encontra-se na mecânica newtoniana, alicerçada nas chamadas três Leis de Newton $(1642-1727)$. Exemplos como esses existem em abundância na História das Ciências, não apenas na Matemática.

Em Matemática, particularmente, é muito comum o pesquisador comentar com um colega algum resultado novo que acredita ser verdadeiro, embora não disponha ainda de uma demonstração. O pesquisador, com sua experiência e familiaridade em determinada área de investigação, valendo-se das várias modalidades do raciocínio (indução, analogia, argumentos, ...) e da intuição, é levado a suspeitar da validade de um novo resultado ou teorema. A demonstração em geral é a etapa final, que completa o trabalho de investigação. Em muitas vezes, por não conseguir encontrar uma demonstração, o teorema tendo já adquirido credibilidade na comunidade matemática, impõe-se com o nome de "conjectura", "hipótese" ou mesmo "teorema". Há, assim, várias conjecturas ma literatura matemática, ou seja, resultados ainda não demonstrados, mas que os matemáticos acreditam serem verdadeiros. De vez em quando uma dessas conjecturas é demonstrada e muitas ainda continuam sem demonstração.

A conjectura mais famosa não resolvida até hoje é a chamada Hipótese de Riemann, formulada pelo matemático alemão Bernard Riemann $(1826-1866)$ em meados do século $XIX$.

Outra conjectura ainda não resolvida, e que pertence ao domínio da teoria dos números é a chamada Conjectura dos Primos Gêmeos. Primos Gêmeos são números primos que diferem por duas unidades, como $3$ e $5$, $5$ e $7$, $11$ e $13$, etc.. Suspeita-se que haja uma infinidade de tais pares de primos, mas até hoje não se conseguiu demonstrar isso.

O chamado "Último Teorema de Fermat" diz que não existem inteiros positivos $a$, $b$, $c$ e $n$, com $n>2$, tais que $a^n+b^n=c^n$. Esse teorema foi uma conjectura que desafiou os matemáticos por cerca de três séculos e meio, até ser resolvida em $1995$ pelo matemático Andrew Wiles $(1953-)$. Sua prova aparece no contexto de uma ampla teoria pertencente a duas importantes e difíceis disciplinas matemáticas, a Teoria dos Números e a Geometria Algébrica.

Outra importante conjectura é devida à Poincaré, já que foi formulada pelo ilustre matemático francês em $1904$, por isso é chamada de "Conjectura de Poincaré". Ela foi demonstrada verdadeira em $2006$ pelo matemático russo Grigory Perelman.

Intuição e imaginação são instrumentos tão importantes na invenção matemática como o são para o pintor que concebe um quadro, para um escritor que planeja uma obra literária ou para um músico em suas composições.

O ensino da Matemática é justificado pela riqueza dos diferentes processos de criatividade que ele exibe, proporcionando excelentes oportunidades de exercitar e desenvolver as faculdades intelectuais.

Mas a razão mais importante para justificar o ensino da Matemática é o relevante papel que esta disciplina desempenha na construção de todo o edifício do conhecimento humano. Desde os primórdios da civilização, o homem, como "ser pensante", sempre quis entender o mundo em que vive. Será que a Terra é plana? E como se suporta? Como explicar o movimento do Sol? E da Lua? A matéria é indefinidamente divisível ou constituída de "átomos" indivisíveis? Ou cada tipo de matéria é formada de alguns elementos básicos, como terra, água, fogo e ar?

Perguntas como essas certamente atormentaram o espírito humano por muitos milênios, até que, a partir do século $VIa.C.$, começaram a ser respondidas, e com muito sucesso. Foram ideias matemáticas simples de semelhança de figuras geométricas e proporcionalidade que permitiu Eratóstenes $(~287-212a.C.)$ calcular o tamanho da Terra. E a solução desses problemas mudou radicalmente a ideia do homem a respeito do mundo em que vivia.

As ideias de Copérnico $(1473-1543)$, Galileu $(1564-1642)$ e Kepler $(1571-1630)$ sobre o sistema solar, bem como os dados de observação de Tycho Brahe $(1546-1601)$, culminaram no so século $XVII$ com a teoria da Gravitação de Newton, que dava ao homem um novo e poderoso instrumento de compreensão do sistema solar. Os desenvolvimentos que se seguiram, sobretudo com trabalhos de Laplace $(1749-1827)$, iriam resgatar a antiga ideia de Pitágoras $(séc. VIa.C.)$ de que "o número é a chave para a compreensão dos fenômenos", pois ficava agora evidente que os movimentos dos planetas obedeciam a leis matemáticas precisas. Isso teve influência decisiva no pensamento racionalista do século $XVIII$, portanto, nas próprias concepções filosóficas dessa época. Voltaire $(1684-1778)$, que passou alguns anos de sua vida na Inglaterra, de lá voltou entusiasmado com muito do que viu, em particular com a obra de Newton, da qual foi um grande divulgador entre os franceses.

Ideias sobre a constituição da matéria ocorreram na antiguidade, sendo be, conhecidas de Leucipo e Demócrito, cuja eficácia só pode ser comprovada com o desenvolvimento da Química no século $XIX$. Novamente aqui temos o instrumental matemático como base das soluções de problemas.

Já no século $XX$, e graças a eficazes ideias matemáticas, novamente o homem alargou as fronteiras do mundo em que vive, calculando distâncias astronômicas fantásticas e formulando teorias cosmológicas que indicam que o universo em que vivemos teve origem há uns $14$ bilhões de anos.

Mais recentemente, os avanços da Biologia Molecular, alicerçados em ideias matemáticas, abrem perspectivas de progresso até há algumas décadas sonhados sobre os mistérios da vida, sobre a diversidade das espécies e sobre a engenharia genética.

Até mesmo em vários domínios da Arte a Matemática tem tido uma influência substancial e direta, como podemos observar nas obras de Leonardo da Vinci $(1452-1519)$ e Albrecht Dürer $(1471-1528)$, assim como na Arquitetura, Escultura e Música.

Particularmente na Pintura, foi graças a ideias matemáticas de paralelismo e projeção que os pintores de Renascença criaram a ciência da Perspectiva, que lhes tornou possível retratar em suas telas uma realidade marcada por intenso humanismo.

A descoberta de que a Matemática e a Música estão intimamente relacionadas remonta a Pitágoras. Mas foi somente no século $XVIII$ que a teoria musical encontrou bases seguras para se estruturar cientificamente e aqui, novamente, foram ideias matemáticas que permitiram uma interpretação científica dos fenômenos sonoros.

Esses vários exemplos mostram o quanto as ideias matemáticas  têm estado presentes na construção de todo o conhecimento, influenciando de maneira mais profunda e marcante nas próprias concepções filosóficas do homem diante de sua existência e no mundo em que vive. Por isso mesmo, o ensino da Matemática tem justificativas mais amplas e abrangentes que apenas aquelas duas citadas no início deste artigo:

$i)$ A Matemática deve ser ensinada nas escolas porque é parte substancial de todo o patrimônio cognitivo da Humanidade. Se o currículo escolar deve levar a uma boa formação humanística, então a Matemática é indispensável para que essa formação seja completa.

$ii)$ O ensino da Matemática se justifica ainda pelos elementos enriquecedores do pensamento matemático na formação intelectual do aluno, seja pela exatidão do pensamento demonstrativo que ela exibe, seja pelo exercício criativo da intuição, da imaginação e dos raciocínios por indução e analogia.

$iii)$ O ensino da Matemática é também importante para dotar o aluno do instrumental necessário no estudo das outras ciências e capacitá-lo no trato das atividades práticas que envolvem aspectos quantitativos da realidade.

É claro que uma pessoa pode prescindir de conhecimento matemático e mesmo assim ser um grande ator, escritor ou estadista, mas certamente seus horizontes culturais serão mais restritos. O mesmo ocorre a uma pessoa que tenha competência matemática mas tenha pouco ou quase nada de conhecimento humanístico, tendo seus horizontes culturais limitados.

Referências:

[1] Várias Faces da Matemática - Tópicos para Licenciatura e Leitura Geral - Geraldo Ávila - 2ª Edição - Editora Blucher

Veja mais: 

Como resolver um Problema
A Arte de Armar Equações
Correções e Extensões ao Longo da História
Como Estudar Matemática no blog Fatos Matemáticos
Como se Compreende a Matemática no blog Fatos Matemáticos

4 de abr de 2013

Integral de $1/(1+x^2)^2dx$


Considere a integral:
$$\int \left ( \frac{1}{1+x^2} \right )^2$$
Para resolvê-la, utilizamos uma substiruição trigonométrica, fazendo:
\begin{matrix}
x&=&\tan(u)\\
dx&=&\sec^2(u)du\\
\end{matrix}
Assim temos:
\begin{equation}
\int \frac{1}{\left (1+\tan^2(u)\right)^2} \sec^2(u)du
\end{equation}
Usando a identidade trigonométrica:
\begin{equation}
1+\tan^2(u)=\sec^2(u)
\end{equation}
Substituindo $(2)$ em $(1)$, obtemos:
\begin{equation}
\begin{matrix}
\int \frac{1}{\left (\sec^2(u)\right )^2}\cdot \sec^2 (u)du\\
\int \frac{1}{\left (\sec^2(u)\right )}du\\
\end{matrix}
\end{equation}
Mas:
\begin{equation}
\frac{1}{\sec^2(u)}=\cos^2(u)
\end{equation}
Assim:
$$\int \cos^2(u)du$$
Escrevemos $\cos^2(u)$ como $\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \cos(2u)+1 \right )$:
\begin{equation}
\frac{1}{2} \int1+\cos(2u)du
\end{equation}
Agora já podemos integrar. Lembrando que $\displaystyle \int \cos (nu)=\frac{1}{n} \text{sen}(nu)+C$, assim:
\begin{equation}
\begin{matrix}
I=\frac{1}{2}\left [u+\frac{1}{2}\text{sen}(2u)\right ]+C\\
I=\frac{1}{2}u+\frac{1}{4}\text{sen}(2u)+C\\
\end{matrix}
\end{equation}
Usamos a identidade do arco duplo:
$$\text{sen}(2u)=2\text{sen}(u)\cos(u)$$
De modo que:
\begin{equation}
\begin{matrix}
I=\frac{1}{2}u+1\frac{1}{4}\left ( 2\text{sen}(u)\cos(u)\right )+C\\
I=\frac{1}{2}u+\frac{1}{2}\text{sen}(u)\cos(u)+C\\
\end{matrix}
\end{equation}
Agora, reentroduzimos a variável $x$. Lembrando que $x=\tan(u)$, assim $u=\arctan(x)$. Mas, como a tangente é igual ao cateto oposto dividido pelo cateto adjacente, temos as relações:
$$\tan(u)=\frac{x}{1}$$
Assim, o cateto oposto é igual a $x$ e o cateto adjacente é igual a $1$, de modo que a hipotenusa do triângulo retângulo equivale a:
$$H=\sqrt{x^2+1}$$
Destes resultados, segue que:
\begin{equation}
\begin{matrix}
\text{sen}(u)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\\
\text{e}\\
\cos(u)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\\
\end{matrix}
\end{equation}
Substituindo as relações obtidas em $(7)$ na relação $(8)$, obtemos:
\begin{equation}
\begin{matrix}
I=\frac{1}{2}\arctan (x)+\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+C\\
I=\frac{1}{2}\arctan (x)+\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{x^2+1}+C\\
I=\frac{1}{2} \left( \arctan (x)+\frac{x}{x^2+1}\right ) +C\\
\end{matrix}
\end{equation}

Veja mais: 

Integral de $\cos^2(x)$
Integral por Substituição Trigonométrica
Identidade Trigonométrica do Arco Duplo

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