11/05/2013

A Integral Como Antiderivada

Na matemática aplicada ocorre frequentemente conhecermos a derivada de uma função e termos que encontrar a própria função. Por exemplo, podemos conhecer a velocidade $dx/dt$ de uma partícula e precisamos encontrar a equação do movimento $x=f(t)$, ou podemos querer achar a função lucro de um certo produto quando conhecemos a margem de lucro. As soluções desses problemas necessitam que se desfaça a operação de diferenciação, isto é, temos que antidiferenciar.

Se $f$ e $g$ são duas funções tais que $g'=f$, podemos dizer que $g$ é uma antiderivada de $f$. Assim $g(x)=x^2$ é uma antiderivada de $f(x)$, desde que $D_x(x^2)=2x$. Se $C$ é uma constante, então a função definida por $y=x^2+C$ também é uma antiderivada de $f$, desde que $D_x(x^2+C)=2x$. Geometricamente, se o gráfico de $y=x^2+C$ é obtido pela translação do gráfico de $y=x^2$ verticalmente de $C$ unidades, isso não muda a inclinação da reta tangente para um dado valor de $x$.

 [Figura 1]

Definição $1$: Uma função $g$ é dita antiderivada (ou primitiva) de uma função $f$ sobre um conjunto de números $I$ se $g'(x)=f(x)$ para todos os valores de $x$ em $I$. O procedimento para achar antiderivadas é chamado antidiferenciação.

Se afirmarmos que $g$ é uma antiderivada de $f$ sem mencionar explicitamente o conjunto $I$, da definição $1$, fica subtendido que $I$ é todo o domínio de $f$, tal que $g'(x)=f(x)$ vale para todos os valores de $x$ no domínio de $f$.

Exemplo $1$: Vamos provar que $\displaystyle g(x)=\frac{x+1}{x-1}$ é uma antiderivada de $\displaystyle f(x)=\frac{-2}{(x-1)^2}$.

Usamos a regra da derivada de um quociente, fazendo:
$$g'(x)=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2}=\frac{-2}{(x-1)^2}$$
Vejam que, se $g$ é uma antiderivada de $f$ sobre um conjunto $I$, então $g+C$ também o é, onde $C$ é uma constante qualquer. A razão é que se $D_xg(x)=f(x)$, então:
$$D_x[g(x)+C]=D_xg(x)+D_xC=f(x)+0=f(x)$$
Portanto, após acharmos uma antiderivada $g$ de uma função $f$, temos automaticamente um infinito de antiderivadas de $f$ da forma $g+C$, onde $C$ é uma constante arbitrária.

Exemplo $2$: Sendo $\displaystyle g(x)=\frac{x}{1+x}$ uma antiderivada de $\displaystyle f(x)=\frac{1}{(1+x)^2}$, encontre um número infinito de antiderivadas de $f$.

Vamos definir $h=g+C$, onde $C$ é uma constante arbitrária. Assim:
$$h(x)=\frac{x}{1+x}+C=\frac{x+C+Cx}{1+x}$$
Quaisquer dessas funções $h$ é uma antiderivada de $f$. Desde que a derivada de uma função constante seja a função nula, segue que qualquer função constante é uma antiderivada da função nula.

Teorema $1$: Antidiferenciação da função nula. 

Seja $g$ uma função tal que $g'(x)=0$ vale para todos os valores de $x$ em algum intervalo aberto $I$. Então $g$ tem um valor constante em $I$.

Demonstração: Para esta demonstração, basta provar que o valor de $g$ em um número $a$ em $I$ é o mesmo valor de $g$ em qualquer outro ponto $b$ em $I$. Pelo Teorema do Valor Médio, existe um número $C$ entre $a$ e $b$ tal que:
$$g(b)-g(a)=g'(c)(b-a)=0(b-a)=0$$
Assim, $g(a)=g(b)$ finalizando nossa demonstração.

O teorema seguinte é uma consequência direta do Teorema $1$ e nos mostra como encontrar todas as antiderivadas de uma função em um intervalo aberto, desde que se conheça uma dessas derivadas.

Teorema $2$: Antidiferenciação em um intervalo aberto.

Seja $g$ uma antiderivada da função $f$ no intervalo aberto $I$. Então uma função $h$ com domínio $I$ é uma antiderivada de $f$ em $I$ se e somente se $h=g+C$ para qualquer constante $C$.

Demonstração: Se $h=g+C$, então $h'=g'=f$, logo, $h$ é uma antiderivada de $f$ em $I$. Agora, vamos super que $h$ é uma antiderivada de $f$ em $I$, então a função $h-g$ satisfaz $(h-g)'=h'-g'=f-f=0$ no intervalo aberto $I$. Segue do Teorema $1$ que existe uma constante $C$ tal que $h-g=C$, isto é, $h=g+C$.

Exemplo $3$: Se a função $\displaystyle g(x)=\frac{1}{2}x^2$ é uma antiderivada da função $f(x)=x$, ache todas as antiderivadas de $f$.

Neste caso, o intervalo $I$ é $\mathbb{R}$. Pelo Teorema $2$, as antiderivadas de $f$ são todas as funções $h$ da forma $\displaystyle h(x)=\frac{1}{2}x^2+C$, onde $C$ é uma constante.

Notação para antiderivadas

As antiderivadas são tradicionalmente escritas usando-se um simbolismo especial que tem algumas vantagens da notação de Leibniz para derivadas e que foi usado pelo próprio Leibniz. O simbolismo pode ser compreendido pensando-se na diferencial $dy$ como uma porção infinitesimal de $y$ e imaginando que $y$ é a soma de todos esses infinitos. Leibniz usou uma letra $S$ estilizada: $\displaystyle \int$ para tais somatórios, tal que $\displaystyle y=\int dy$ deva simbolizar a ideia de que $y$ é a soma de todas sua diferenciais individuais.

Johann Bernoulli, um contemporâneo de Leibniz, sugeriu que o processo de reunir infinitésimos de forma a se ter uma quantidade inteira ou completa, como expresso por $\displaystyle y=\int dy$ deva ser convenientemente chamado de integração ao invés de somatório. A sugestão de Bernoulli foi aceita e hoje usamos o símbolo $\displaystyle \int$ como sinal de integração.

Vamos supor que $g$ é a antiderivada de $f$, tal que $g'=f$. Se tomarmos $y=g(x)$, então $dy=g'(x)dx=f(x)dx$, tal que:
$$y=\int dy=\int f(x)dx\text{  ; isto é,  }g(x)=\int f(x)dx$$
Se $C$ é uma constante qualquer, então $g(x)+C$ também é uma antiderivada de $f$.

Definição $2$: Notação para integral de antiderivadas

A notação $\displaystyle \int f(x)dx=g(x)+C$, onde $C$ é uma constante arbitrária, significa que a função $g$ é uma antiderivada da função $f$, tal que $g'(x)=f(x)$ vale para todos os valores de $x$ no domínio de $f$.

Se $I$ é um conjunto de números, a afirmativa de que $\displaystyle \int f(x)dx=g(x)+C$ e, $I$ (ou para $x$ em $I$), significa que $g$ é uma antiderivada de $f$ em $I$. Na definição $2$ a constante $C$ é chamada de constante de integração, o símbolo $\displaystyle \int$ é chamado de sinal da integral e a função $f$, ou a expressão $f(x)$ é chamada integrando da expressão $\displaystyle \int f(x)dx$. Também dizemos que $f(x)$ está sob o sinal da integral.

O processo para calcular $\displaystyle \int f(x)dx$, isto é, achar $g(x)+C$, é chamado de integração indefinida. Neste caso, indefinida é usado porque a constante $C$ pode assumir qualquer valor e portanto não é decididamente determinada pela função $f$. Por causa da natureza arbitrária da função $C$, a integral indefinida $\displaystyle \int f(x)dx$ não representa uma quantidade particular ou função. Portanto, devemos tomar certo cuidado ao manipular esta expressão.

Para verificar a afirmativa da forma: $\displaystyle \int f(x)dx=g(x)+C$ é necessário apenas verificar que $g'(x)=f(x)$ para todos os valores de $x$ no domínio de $f$.

Exemplo $4$: Verificar a equação dada: $\displaystyle \int x^2dx=\frac{1}{3}x^3+C$.

Solução: $\displaystyle D_x\left(\frac{1}{3}x^3 \right)=x^2$

Exemplo $5$: Verificar a equação: $\displaystyle \int dx=x+C$.

Solução: $\displaystyle \int dx= \int 1dx=x+C$, portanto, $D_x(x)=1$.


Métodos para integração:

Integração por Partes
Integração por Substituição
Integração por Substituição Trigonométrica
Integração por Frações Parciais - Fatores Lineares
Integração por Frações Parciais - Fatores Quadráticos Irredutíveis

Referências:

[1] Cálculo V1 - Munem - Foulis
[2] Notas de aula


Veja mais: 

Leibniz e as Diferenciais
Os Mitos Leibzinianos a Respeito das Curvas Diferenciais
O Cálculo Integral: O Cálculo das Áreas

4 comentários:

  1. Olá Caro Prof. Kleber, tenho certeza que suas exposições sobre cálculo são uma referência sólida para os calouros dos cursos de exatas. Bela abordagem. A qualidade da figura é singular.

    Parabéns.

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  2. Olá Doutor! É interessante como pequenos detalhes muitas vezes são omitidos. Esta visão da integral como antiderivada deveria ser trabalhada como uma introdução às integrais. Eu pelo menos não tive algo do tipo na graduação, somente algo muito rápido.

    Obrigado pelo comentário. Um abraço!

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  3. Oi, Kleber!

    Essa abordagem de antiderivadas é interessante na medida que prepara a mente do estudante para o estudo profundo das integrais.

    Acredito que o rigor de currículos e a falta de tempo não permitem atender alguns detalhes da matemática em sala de aula.

    Um abraço!

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  4. Olá Aloísio,

    Acredito que algumas (ou muitas) coisas sejam omitidas no cursos de graduação, principalmente nas universidades pagas. Somente depois que comecei com este blog que vi o quanto deixei de aprender. O curso foi muito superficial, mas serviu para abrir a minha mente. Enquanto a educação no Brasil não muda, continuemos sendo autodidatas!

    Grande abraço!

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