26 de mai de 2013

Retas Perpendiculares

Veremos nesta postagem como determinar se duas retas são perpendiculares entre si, dados seus coeficientes angulares.
Considere duas retas $r_1$ e $r_2$ não perpendiculares a nenhum dos eixos $x$ e $y$. Sejam $m_1$ e $m_2$ os coeficientes angulares das retas $r_1$ e $r_2$, respectivamente. As retas $r_1$ e $r_2$ serão perpendiculares entre si se, e somente se, o ângulo formado entre elas for igual a $90^\circ$.

Teorema $1$: Duas retas são perpendiculares entre si se o coeficiente angular de uma delas for igual ao oposto do inverso da outra, ou seja:
\begin{equation}
m_1\cdot m_2=-1
\end{equation}
Demonstração: Sejam $m_1$ o coeficiente angular da reta $r_1$ denotado por $m_1=\text{tg}(\theta)$ e $m_2$ o coeficiente angular da reta $r_2$ denotado por $\displaystyle m_2=\text{tg}\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)$. Temos que:
\begin{equation}
\text{tg}\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\text{sen}\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)}{\cos{\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)}}
\end{equation}
Pela fórmula da soma de arcos, segue que:
$$\text{tg}\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\text{sen}(\theta)\cos \left ( \frac{\pi}{2} \right )+\text{sen}\left ( \frac{\pi}{2} \right )\cos(\theta)}{\cos(\theta)\cos\left ( \frac{\pi}{2} \right )-\text{sen}(\theta)\text{sen}\left ( \frac{\pi}{2} \right )}$$
$$\text{tg}\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\text{sen}(\theta)\cdot 0+1\cdot \cos(\theta)}{\cos(\theta)\cdot 0-\text{sen}(\theta)\cdot 1}$$
$$\text{tg}\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=- \frac{\cos(\theta)}{\text{sen}(\theta)}$$
\begin{equation}
\text{tg}\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=-\text{cotg}(\theta)=-\frac{1}{\text{tg}(\theta)}
\end{equation}
Como $m_1=\text{tg}(\theta)$ e $\displaystyle m_2=\text{tg}\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{1}{\text{tg}(\theta)}$, podemos dizer que:
\begin{equation}
\begin{matrix}
m_2=-\frac{1}{m_1}\\
\text{ou}\\
m_1\cdot m_2=-1\\
\end{matrix}
\end{equation}

Exemplos: Verifique se as retas são perpendiculares.

a) $r_1:x+2y-1=0$   e   $r_2:2x-y+3=0$

O coeficiente angular de uma reta é dada por:
\begin{equation}
y-y_0=m(x-x_0)
\end{equation}
As equações das retas dadas estão na forma geral: $ax+by+c=0$. Isolando $y$ colocamos-as na forma reduzida: $y=mx+q$, onde $m=-a/b$ e $q=-c/b$, sendo $m$ o coeficiente angular da reta. Assim, temos: $\displaystyle r_1:y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$ e $\displaystyle r_2:y=2x-3$. Assim, $m_1=-1/2$ e $m_2=2$.

Utilizando a fórmula dada em $(4)$, temos:
$$m_2=-\frac{1}{m_1}$$
De fato, temos:
$$2=-\frac{1}{-1/2} \Rightarrow -1=-1$$
O que mostra que as retas são perpendiculares. Graficamente:
b) $r_1:x+3y-1=0$   e   $r_2:-x-y+4=0$.

Escrevendo as retas na forma reduzida, temos: $r_1:x+3y-1=0$ e $r_2:-x-y+4=0$ e os respectivos  coeficientes angulares são $m_1=-1/3$ e $m_2=-1$. Vemos que as retas não são perpendiculares, já que ambos os coeficientes angulares são negativos, onde o produto será um número positivo. Graficamente:

c) Sejam as retas $r_1$ passa pelo ponto $A_1(0,3)$ e $A_2(-1,4)$ e a reta $r_2$ passa pelo ponto $B_1(1,4)$ e $B_2(0,3)$.

Determinamos os coeficientes angulares das retas:
\begin{matrix}
r_1: y-y_A=m_1(x-x_A)\\
4-3=m_1(-1-0)\\
m_1=-1\\
\end{matrix}
e
\begin{matrix}
r_2: y-y_B=m_2(x-x_B)\\
3-4=m_2(0-1)\\
m_2=1\\
\end{matrix}
Temos que:
\begin{matrix}
m_1 \cdot m_2=-1\\
-1\cdot 1=-1\\
-1=-1\\
\end{matrix}
O que é uma verdade e as retas realmente são perpendiculares. Graficamente:

Veja mais: 

Valor Absoluto e a Desigualdade Triangular
Fórmula das Coordenadas de um Triângulo
Reta Tangente a uma Curva

19 comentários:

  1. Oi, Kleber!

    Parabéns pelo post, ficou muito bom.

    Uma prova de que a unidade imaginária não serve para medir ( por causa de pertencer à um conjunto que não pode ser ordenado) é que se temos uma reta de coeficiente angular a=i, então encontramos uma surpresa ao calcular o coeficiente da perpendicular.

    Abraços!

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    1. Suponho que o conjunto que você mencionou, ao qual a unidade imaginária pertence, seja o conjunto dos números complexos. Se for, você está equivocado, pois este conjunto pode sim ser ordenado.

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    2. Oi! Sobre a questão de "C" ser ou não ordenável: Vou dar minha opinião, já que nunca vi esse assunto tratado sériamente. Em princípio qualquer conjunto pode ser ordenado (pelo axioma da escolha) Acho que o que se quer dizer com C não ordenável é que se mantivermos a ordem em |R e mantivermos o axioma (se a>b e x>0 então ax>bx e se x<0 então ax0 ou i<0. Se i>0 então ii>0 => -1>0 absurdo. Se i<0 então ii>0 => -1>0 absurdo.
      Resumindo C é ordenável, mas não é ordenável sob as condições acima.

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    3. Meu comentário saiu cortado. Corrigindo:
      em |R e mantivermos o axioma(se a>b e x>0 então ax>bx e se x<0 então ax0 ou i<0, Se i>0 então ii>0 => -1>0 (absurdo) e Se i<0 => ii>0 =>-1>0 (absurdo). Logo C não pode ser ordenado sob as condições acima.

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    4. Saiu cortado de novo. O que eu fiz foi provar que se você considerar i<0 ou i>0 chegaremos a um absurdo. Espero que entenda.

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    5. De fato, é possível definir uma ordem (na verdade, várias) no conjunto C dos complexos(assim como em qualquer outro). Mas esta ordem, como se diz, não é "compatível" com as operações de adição e multiplicação usualmente definida em C - o que significa que não vale a monotonicidade (nem da adição nem da multiplicação).

      Obs.: "se a>b e x>0 então ax>bx" não é um axioma, é uma propriedade (chamada monotonicidade da multiplicação) que os elementos dos corpos ordenados possuem, e que pode ser provada. Os elementos de C, enquanto corpo, não gozam de tal propriedade seja qual for a ordem definida em C. A ideia da prova é exatamente aquele que você utilizou. Note, entretanto, que o absurdo não é -1>0, pois é possível definir uma ordem (no corpo dos reais) tal que -1>0. O absurdo é "-1>0 e -1<0" (possibilidade estas que se excluem mutuamente pela tricotomia).

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    6. Oi! O fato de ser ou não um axioma a monotonicidade da multiplicação depende da construção dos Reais. Quando se apresenta os reais como um "Corpo Ordenado Completo" assume-se a monotonicidade como um axioma, com pequenas variações. Afinal se duas construções são equivalentes, o que é axioma numa é teorema ou axioma noutra. Na "demonstração" que fiz -1>0 é um absurdo pois escrevi "Se mantivermos a Ordem(trivial) em |R. Obrigado.Abraços.

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    7. Quanto ao axioma, tem razão (mas o corpo ordenado em questão não precisa ser completo). Quanto ao -1>0, tem razão novamente, desculpe pela desatenção.

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  2. Aloísio, como se dá o coeficiente a=i?

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  3. Realmente, muito bom, exceto por dois detalhes:

    Seu teorema diz o seguinte: se (m1)(m2)=-1 então as retas são perpendiculares.

    No exercício (b) você utilizou a seguinte afirmação não provada, que não é equivalente ao seu teorema: se (m1)(m2)≠-1 então as retas não são perpendiculares. (“se chove, então a rua fica molhada” não é equivalente a “se a rua fica molhada, então choveu”)

    Além disso, a demonstração apresentada não é a prova do resultado enunciado. No enunciado, a igualdade (m1)(m2)=-1 é a hipótese enquanto que na demonstração é a tese (ou seja, você demonstrou que “se as retas são perpendiculares, então (m1)(m2)=-1”.

    Assim, do ponto de vista da demonstração, a solução do exercício b está certa. Mas daí, deste ponto de vista, são as soluções a e c que não fazem sentido (pois não decorrem logicamente do que foi provado).

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  4. Vc confundiu ou não a tese com a hipótese no seu post?

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  5. Vamos fazer seguinte: envie-me a sua versão do problema no world com o desenvolvimento que julgue correto que faço as devidas correções, caso seja necessário, ok?

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    1. Eu posso estar enganado. Talvez entendi mal o que o teorema diz. Veja o que eu entendi:

      Sua definição é: "as retas r1 e r2 serão perpendiculares entre si se, e somente se, o ângulo formado entre elas for igual a 90º"

      Seu teorema fala: "duas retas são perpendiculares entre si se o coeficiente angular de uma delas for igual ao oposto do inverso da outra"

      Até aqui tudo ok. Daí eu traduzi o seu teorema nos termos da sua definição: "o ângulo entre duas retas é 90º se o coeficiente angular de uma delas for igual ao oposto do inverso da outra"

      Daí, eu reescrevi o teorema de novo: "o ângulo entre r1 e r2 é 90º se o coeficiente angular de r1 for igual ao oposto do inverso do coeficiente angular de r2"

      Daí eu reescrevi uma última vez: "se o coeficiente angular de r1 for igual ao oposto do inverso do coeficiente angular de r2, então o ângulo entre r1 e r2 é 90º"

      Posso fazer isso? Espero uma resposta. obrigado.

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    2. Para mim você disse a mesma coisa de formas diferentes.

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    3. Ok, esclarecido a dúvida sobre o enunciado, tenho uma dúvida sobre demonstração: uma demonstração da última versão, que como vc disse é a mesma coisa da primeira, não deveria usar que (m1)(m2)=-1 para concluir que o ângulo entre as retas é 90º? Espero resposta. obrigado.

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  6. Em primeiro lugar: Identifique-se. Não é agradável discutir assuntos com anônimos...apesar do blog permitir postar comentários anônimos (sem possuir uma conta google), basta digitar seu nome no final de cada comentário.

    Em segundo lugar: Não entendo sua dúvida, já que você me corrigiu desde o primeiro comentário, isso implica que domina o assunto. O que quer provar com esta discussão, que estou errado? Então, porque não expõe logo sua teoria e resolve o problema?

    Em terceiro lugar: Sugiro continuar esta conversa por e-mail. Veja o meu no topo da página.

    Duas retas são perpendiculares se o ângulo formado entre elas for de 90°, certo? Se $m_1 \cdot m_2=-1$, implica que as retas são perpendiculares entre si, ou seja, forma um ângulo de $90°$. Esta não é a condição de perpendicularidade entre retas? Se o produto dos coeficientes angulares for diferente de $-1$, então as retas não são perpendiculares, como ocorre no item $b)$.

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  7. eu tinha escrito uma resposta maior, mas desisti. tudo que eu disse, e ia dizer, se resumi em confundir uma implicação com sua recíproca. na minha opinião vc enunciou uma coisa, provou a recíproca dela e usou as duas nos exercícios.

    observo que não respondeu minha última pergunta (o que poderia ter sido feito com um não ou um sim).

    talvez eu esteja errado. seria bom a opinião de um terceiro.

    se quiser apague meus comentários, aliás este foi o último. desculpe por participar.

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  8. Achei uma referência. Consulte o livro Fundamentos de Matemática Elementar, Volume 7, Geometria Analítica, páginas 61 e 62, de Gelson Iezzi (fácil de achar na internet em pdf). Lá ele demonstra que "Duas retas são perpendiculares entre si SE, E SOMENTE SE, o coeficiente angular de uma delas for igual ao oposto do inverso da outra". Primeiro ele prova que "Duas retas são perpendiculares entre si SOMENTE SE se o coeficiente angular de uma delas for igual ao oposto do inverso da outra". Por último ele prova que "Duas retas são perpendiculares entre si SE o coeficiente angular de uma delas for igual ao oposto do inverso da outra". Analise com cuidado e perceba a discrepância entre seu post e a demonstração correta.

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  9. Obrigado pela indicação. Lerei com atenção. Um abraço!

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$$a^2+b^2=c^2$$
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