22 de jun de 2013

Distância De Um Ponto A Uma Reta

Veremos nesta postagem como determinar a fórmula para calcular a distância entre um ponto e uma reta.

Seja $P$ um ponto qualquer e seja $r$ uma reta dada. A distância entre o ponto $P$ e a reta $r$ é a distância entre $P$ e sua projeção ortogonal $P'$ sobre a reta $r$, ou seja, é a distância entre $P$ e o ponto $P'$ pertencente a $r$ de modo que o segmento $\overline{PP'}$ seja perpendicular à $r$.
Deste modo, se $P \in r$, então $d_{Pr}=0$ e se $\notin r$, então $d_{Pr}>0$.

Seja um ponto genérico $P(x_0,y_0)$ e a equação geral da reta:
\begin{equation}
r:ax+by+c=0
\end{equation}
Desta, podemos deduzir sua equação reduzida isolando $y$:
\begin{equation}
\begin{matrix}
y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}\\
y=mx+q\\
\end{matrix}
\end{equation}
onde $m=-a/b$ e $q=-c/b$.

Agora, determinemos a equação da reta $s$, perpendicular à reta $r$ que passa por $P$.


Para que a reta $s$ seja perpendicular à reta $r$, o coeficiente angular de uma delas deve ser igual ao oposto do inverso da outra, ou seja:
\begin{equation}
m_s=-\frac{1}{m_r}
\end{equation}
Dos resultados obtidos em $(2)$, temos:
\begin{equation}
m_s=-\frac{1}{\left(-\dfrac{a}{b}\right)}=\frac{b}{a}
\end{equation}
A equação fundamental da reta é dada por:
\begin{equation}
y-y_0=m(x-x_0)
\end{equation}
Se a reta $s$ passa pelo ponto $P(x_0,y_0)$ então temos:
\begin{matrix}
y-y_0=m_s(x-x_0)\\
y-y_0=\left(\frac{b}{a}\right)(x-x_0)\\
\end{matrix}
Expandindo a equação acima obtemos:
\begin{equation}
s:bx-ay+ay_0-bx_0=0
\end{equation}
Agora que já temos as equações das retas $r$ e $s$, podemos determinar as coordenadas do ponto $P'$, que é a projeção ortogonal de $P$ sobre a reta $r$. Para isso, resolvemos o sistema formado pelas equações $(1)$ e $(6)$, cuja solução ser´as coordenadas do ponto $P'$, que é o ponto de intersecção das retas.
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
ax+by+c&=&0\\
bx-ay+ay_0-bx_0&=&0
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Para resolver este sistema há técnicas diversas, mas usando o escalonamento parece ser neste caso o mais prático. Multiplicamos a primeira equação por $b$ e a segunda por $-a$:
$$\left\{\begin{matrix}
abx+b^2y+bc&=&0\\
-abx+a^2y-a(ay_0-bx_0)&=&0
\end{matrix}\right.$$Agora, somamos as duas equações:
\begin{matrix}
a^2y+b^2y+bc-a(ay_0-bx_0)=0\\
a^2y+b^2y+bc-a^2y_0+abx_0=0\\
y(a^2+b^2)=a^2y_0-abx_0-bc\\
y=\frac{a^2y_0-abx_0-bc}{a^2+b^2}
\end{matrix}
Substituímos o valor de $y$ em qualquer uma das equações para encontrarmos o valor de $x$, por exemplo na segunda equação:
\begin{matrix}
bx-ay+ay_0-bx_0=0\\
bx-a\left(\frac{a^2y_0-abx_0-bc}{a^2+b^2}\right)+ay_0-bx_0=0\\
bx-\left(\frac{a^3y_0-a^2bx_0-abc}{a^2+b}2\right)+ay_0-bx_0=0\\
bx=bx_0-ay_0+\left(\frac{a^3y_0-a^2bx_0-abc}{a^2+b^2}\right)\\
x=\frac{(bx_0-ay_0)(a^2+b^2)+a^3y_0-a^2bx_0-abc}{b(a^2+b^2)}\\
x=\frac{a^2bx_0+b^3x_0-a^3y_0-ab^2y_0+a^3y_0-a^2bx_0=abc}{b(a^2+b^2)}\\
x=\frac{b^3x_0 -aby_0-abc}{b(a^2+b^2)}\\
x=\frac{b^2x_0-aby_0-ac}{a^2+b^2}
\end{matrix}
Pronto. Já temos as coordenadas do ponto $P$ e $P'$, dadas por:
$$P(x_0,y_0)\text{ e }P'\left(\dfrac{b^2x_0-aby_0-ac}{a^2+b^2},\dfrac{a^2y_0-abx_0-bc}{a^2+b^2}\right )$$
Agora, basta determinarmos a distância entre os pontos $P$ e $P'$. Vimos na postagem Distância Entre Dois Pontos No Plano que a distância entre dois pontos é dada por:
$$d=\sqrt{\left(\Delta x\right)^2+\left(\Delta y\right)^2}$$
Deste modo, fazemos:
$d_{PP'}=\sqrt{\left(\frac{b^2x_0-aby_0-ac}{a^2+b^2}-x_0\right)^2+\left(\frac{a^2y_0-abx_0-bc}{a^2+b^2}-y_0\right)^2}$

$d_{PP'}=\sqrt{\left(\frac{b^2x_0-aby_0-ac-x_0(a^2+b^2)}{a^2+b^2}\right)^2+\left(\frac{a^2y_0-abx_0-bc-y_0(a^2+b^2}{a^2+b^2}\right)^2}$

$d_{PP'}=\sqrt{\left(\frac{b^2x_0-aby_0-ac-a^2x_0-b^2x_0}{a^2+b^2}\right)^2+\left(\frac{a^2y_0-abx_0-bc-a^2y_0-b^2y_0}{a^2+b^2}\right)^2}$
$$d_{PP'}=\sqrt{\left(\frac{-aby_0-ac-a^2x_0}{a^2+b^2}\right)^2+\left(\frac{-abx_0-bc-b^2y_0}{a^2+b^2}\right)^2}$$
$$d_{PP'}=\sqrt{\left[\frac{a(-ax_0-by_0-c}{a^2+b^2}\right]^2+\left[\frac{b(-ax_0-bt_0-c)}{a^2+b^2}\right]^2}$$
$$d_{PP'}=\sqrt{\frac{a^2(-ax_0-by_0-c)^2}{(a^2+b^2)}+\frac{b^2(-ax_0-by_0-c)^2}{(a^2+b^2)^2}}$$
$$d_{PP'}=\sqrt{\frac{(a^2+b^2)(-ax_0-by_0-c)^2}{(a^2+b^2)^2}}$$
$$d_{PP'}=\sqrt{\frac{(-ax_0-by_0-c)^2}{a^2+b^2}}$$
Como$\forall$ $t \in \mathbb{R}, (-t)^2=t^2$, vem que:
$$d_{PP'}=\sqrt{\frac{(ax_0+by_0+c)^2}{a^2+b^2}}$$
\begin{equation}
d_{PP'}=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{equation}

Veremos outra forma de encontrar a equação $(8)$. Sejam os pontos $A(x_A,y_A)$ e $B(x_B,y_B)$ distintos e pertencentes a uma reta $r$. Para qualquer ponto $P \in r$ existe o triângulo $PAB$, onde sua área é dada por:
\begin{equation}
A_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}\cdot \mid D \mid
\end{equation}


No entanto, da geometria plana sabemos que a área do triângulo é dada pelo semiproduto da base pela altura:
\begin{equation}
A_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}\cdot d_{AB}\cdot d_{PP'}
\end{equation}
Então fazemos:
$$\frac{1}{2}\cdot d_{AB}\cdot d_{PP'}=\frac{1}{2}\cdot \mid D \mid$$
\begin{equation}
d_{PP'}=\frac{\mid D \mid}{d_{AB}}
\end{equation}
Para a equação da reta $r$, temos:
$$\begin{vmatrix}
x & y & 1\\
x_A & y_A & 1\\
x_B & y_B & 1
\end{vmatrix}=0$$
$$(y_A-y_B)x-(x_A-x_B)y+x_Ay_B-x_By_A=0$$
Se fizermos $a=y_A-y_B$, $b=x_B-x_A$ e $c=x_Ay_B-x_By_A$, obtemos:
\begin{equation}
ax+by+c=0
\end{equation}
Para calcularmos $d_{AB}$, usamos a fórmula para distância entre dois pontos no plano, dada por:
$$d_{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$
\begin{equation}
d_{AB}=\sqrt{a^2+b^2}
\end{equation}
E para o cálculo do determinante $D$, fazemos:
$$\begin{vmatrix}
x_0 & y_0 & 1\\
x_A & y_A & 1\\
x_B & y_B & 1
\end{vmatrix}=0$$
$$D=(y_A-y_B)x_0-(x_A-x_B)y_0+x_Ay_B-x_By_A$$
$$D=ax_0+by_0+c$$
Como $\displaystyle d_{PP'}=\frac{\mid D \mid}{d_AB}$, vem que:
\begin{equation}
d_{PP'}=\frac{\mid ax_0+by_0+c \mid}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{equation}
Vejam que é a mesma equação encontrada em $(8)$, mas com menos esforço.

Exemplo $1$: Seja a reta $r:2x-y-4=0$. Determinar a distância da reta à origem.


Neste caso, $P=0$. Assim:
$$d_{Pr}=\frac{\mid ax_0+by_0+c \mid}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
$$d_{Pr}=\frac{\mid 2\cdot 0+(-1)\cdot 0+(-4) \mid}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}$$
$$d_{Pr}=\frac{\mid -4 \mid}{\sqrt{4+1}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$$

Exemplo $2$: Seja o triângulo $ABC$ de vértices $A(-2,-4)$, $B(1,-2)$ e $C(2,5)$. Determinar a medida da altura relativa ao lado $\overline {AB}$.

Vejam que o ponto $H$ é a projeção ortogonal do ponto $C$ sobre a reta $r$ definida pelos pontos $A$ e $B$. Sendo assim, $h=\overline {CH}$ é a altura procurada. 

Fazemos:
$$\overline{AB}: \begin{vmatrix}
-2 & -4 & 1\\
1 & -2 & 1\\
x & y & 1
\end{vmatrix}=0$$
$$2x-3y-8=0$$
$$d_{CH}=\frac{\mid 2\cdot 2-3\cdot 5-8 \mid}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}=\frac{\mid-19\mid}{\sqrt{13}}=\frac{19\sqrt{13}}{13}$$


Referências:

[1] Matemática - Ciência e Aplicações V3 - Gelson Iezzi
[2] Matemática Ensino Médio V3 - Katia Stocco Smole

Veja mais:

Distância Entre Dois Pontos No Plano
Distância de um Ponto a uma Reta no blog Elementos
Distância de um Ponto a uma Reta Através do Vetor Projeção no blog Fatos Matemáticos

5 comentários:

  1. Muito bem elaborado o post, deduzindo passo a passo a fórmula da distância de ponto à reta usando apenas os conceitos preliminares tais como distância entre dois pontos, coeficiente angular, equações de retas e interseção de duas retas. Agradeço pelo link citado abaixo.

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    1. Obrigado pelo comentário, Paulo. Muitas vezes conhecemos a fórmula, mas não sabemos de onde vieram e muitas delas não são complicadas de deduzir.

      Um abraço!

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  2. Loucura... mas valeu!!

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  3. me da uma conclusao do tema distancia entre ponto e reta

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