29 de set de 2013

Lobachevsky e as Geometrias Não-Euclidianas


Tudo começou com Euclides, cerca de $300a.C.$, em sua obra-prima Os Elementos a geometria foi construída sobre cinco postulados:
$I-$ Fique postulado traçar uma reta a partir de todo ponto até todo ponto.
$II-$ Também prolongar uma reta limitada, continuamente, sobre uma reta.
$III-$ E, com todo centro e distância, descrever um círculo.
$IV-$ E serem iguais entre si todos os ângulos retos.
$V-$ E, caso uma reta, caindo sobre duas retas, faça ângulos interiores e do mesmo lado menores que dois retos, sendo prolongados as duas retas, ilimitadamente, encontram-se no lado no qual estão os menores do que dois retos.
Este quinto postulado em especial, certamente não traduzia nenhuma experiência concreta. Além disso Euclides só o enunciou depois de provar o máximo possível de teoremas sem usá-lo. Hoje podemos escrevê-lo assim:

Postulado $V$: Se num plano duas retas $a$ e $b$ são interceptadas por uma transversal $c$ de modo a formar um par de ângulos colaterais internos de soma menor que $180°$, então essas retas, prolongadas indefinidamente, se cortam do lado em que estão os ângulos considerados.

Na verdade Euclides trabalhava, em sua geometria, como em particular no postulado $V$, com segmentos de reta que prolongava num ou noutro sentido, conforme necessitasse, ao invés de retas infinitas acabadas, como se faz hoje. E o que esse postulado afirma equivale, na versão moderna da geometria euclidiana, a admitir que por um ponto fora de uma reta não há mais que uma paralela à reta. Entre as implicações importantes do postulado $V$ está o teorema que assegura ser a soma dos ângulos internos de um triângulo igual a um ângulo raso.

Desde os tempos de Euclides dezenas de matemáticos tentaram provar esse postulado, a partir dos outros quatro, achando que se tratasse na verdade de mais um teorema. Um deles foi Nikolai Ivanovich Lobachevsky $(1792-1856)$, um russo natural da atual cidade de Gorki, cuja vida acadêmica sempre esteve vinculada à Universidade de Kazan, desde seu ingresso como aluno de $1827$ a $1846$. Diga-se de passagem que o fato de Lobachevsky ter alcançado a reitoria da Universidade de Kazan não foi um prêmio a seus méritos científicos. Estes jamais foram reconhecidos devidamente durante sua vida. Pelo contrário, uma versão de suas ideias geométricas, datando de $1829-30$, chegou a ser recusada para publicação pela Academia de Ciências de São Petersburgo.

Na mesma época, o matemático húngaro János Bolyai $(1802-1860)$ anunciou, de forma independente, a descoberta de geometrias não-euclidianas. O trabalho de Lobachevsky é de $1829$ e o de Bolyai nasceu como um apêndice de um livro publicado por seu pai em $1831$.

Quando jovem, o pai de Boylai havia sido colega de Gauss $(1777-1855)$ em Göttingen, e quando o filho pôs suas ideias por escrito, seu pai enviou um exemplar do manuscrito a Gauss, que não se sensibilizou ao entusiasmo do jovem János, escrevendo de volta: "Sim, mas isso que seu filho fez não é novidade para mim, que percebi essa possibilidade há muitos anos, em minha juventude". Hoje sabemos que foi Gauss mesmo o primeiro matemático a perceber a possibilidade das geometrias não-euclidianas.

Lobachevsky e Bolyai começaram negando o postulado das paralelas e procedendo a deduzir uma série de teoremas bem diferentes dos conhecidos teoremas da antiga geometria euclidiana. Afirmaram, então, terem descoberto uma geometria alternativa à geometria euclidiana, isto é, uma geometria sem contradições internas e de resultados surpreendentes e que hoje são considerados descobridores dessa geometria conhecida hoje como Geometria Hiperbólica. Por exemplo, nessa geometria, a soma dos ângulos internos de um triângulo vale menos que $180°$.

Cabe então a pergunta: tamanha liberdade é válida em matemática? Não é difícil nos convencermos que sim. Primeiro notemos que a geometria considerada por Euclides ao chegar ao postulado $V$ referia-se a um plano. Ademais, o conceito de reta é primitivo: não se define, não poderia haver nesta algum ente que fizesse o papel análogo ao da reta no plano, perante o mesmo conjunto de postulados?

Tanto isso é possível que em $1868$ o matemático italiano Eugênio Beltrami $(1835-1900)$ descobriu um modelo para a geometria hiperbólica, a pseudo-esfera, superfície que lembra uma corneta dupla.


Nessa superfície, por um ponto fora de uma "reta" há mais do que uma paralela a essa "reta". Claro que a "reta" nesse caso indica o ente da pseudo-esfera cuja ideia corresponde à da reta de um plano. Na figura acima podemos visualizar como ocorre, bem como que a soma dos ângulos internos de um "triângulo" vale menos que um ângulo raso. A partir desse modelo, a geometria que o próprio Lobachevsky chamava de imaginária passou a ser matematicamente real.

 As geometrias não-euclidianas, objeto das pesquisas de Lobachevsky, eram um verdadeiro tabu em sua época, daí a marginalização científica de que foi vítima o geômetra russo (agradava pelo fato de trabalhar num local muito distante dos grandes centros da Europa ocidental). Mas isso não impediu que se tornasse público que foi ele o primeiro a publicar um trabalho sobre geometrias não-euclidianas $(1826)$. E ganhou, assim, a primazia de ter acabado com o mito da verdade absoluta na matemática.

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V10 - Geometria Espacial, Posição e Métrica - Osvaldo Dolce & José Nicolau Pompeo
[2] Várias Faces da Matemática - Tópicos para Licenciatura e Leitura Geral - Geraldo Ávila
[3] Os Elementos de Euclides - Tradução e Introdução de Irineu Bicudo


Veja mais: 

Gauss e o Universal em Matemática
Integração por Substituição Trigonométrica

5 comentários:

  1. Oi, Kleber! Muito bom publicar isso, creio que é o ponto onde a Matemática e a Filosofia se encontram. Ao nos depararmos com Geometrias não-Euclidianas precisamos rever todos os conceitos. Certa vez num fórum discutíamos sobre esse postulado, um rapaz de maneira muito engenhosa "provou" o postulado das paralelas usando funções trigonométricas, fui voto vencido, não adiantou eu tentar explicar que essas funções só se aplicam em Geometria porque existem triângulos semelhantes e só existem triângulos semelhantes porque admite-se o postulado das paralelas e que portanto era uma "demonstração" cíclica. Em geometrias não-Euclidianas, em geral, não existe semelhança de triângulos como conhecemos.

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    1. muito bom eu amo matematica

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    2. eu adoro matematica

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    3. Olá Tavano, como vai?

      Desde Euclides, os matemáticos tentaram provar que o postulado 5 não passava de um teorema. Deu no que deu: geometrias não-euclidianas. E o quinto postulado transforma-se: Por um ponto fora de uma reta dada passa mais de uma paralela a essa reta.

      Quebrou um paradigma, que na época era sustentado pela filosofia de Kant, e se não fosse isso, Gauss já teria publicado suas ideias muito antes.

      Podemos comparar a descoberta da geometria de Lobachevsky com a teoria do heliocentrismo, onde o geocentrismo era sustentado pela Igreja, reprimindo o desenvolvimento das ciências e sabemos muito bem que Galileu quase foi para a fogueira-santa.

      Um abraço!

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  2. Olá, professor.
    Lembro-me de já ter lido, que Gauss já questionava a geometria euclidiana ainda muito novo, mas é curioso como mentes tão brilhante quando a de Gauss, de Newton, entre outros, podem ser tão maquiavélicas, diria até soberba. Newton então se mostrou contrariado diversas vezes à ponto de se isolar, devido à refutação de sua teoria corpuscular das ondas eletromagnéticas. Enfim, as histórias que permeiam as nossas maiores equações e descobertas são tão belas quanto suas aplicações.
    Enfim, mais um artigo de qualidade.
    Grande abraço!

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