21/10/2013

A Mediana de Euler

Leonhard Euler $(1707-1783)$ foi um dos maiores matemáticos (ou o maior) do século $XVIII$, pois sua obra é impressionante, pela quantidade e pela diversidade. Dentre algumas áreas em que Euler contribuiu, podemos citar a Álgebra, Teoria dos Números, Trigonometria, Cálculo Infinitesimal, Óptica e Geometria. Desta última, especificamente em Geometria Plana, Euler também deixou sua marca num estudo sobre quadriláteros.

Definição $1$: Mediana de Euler é o segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio e fica localizada sobre sua base média, expressa por:
\begin{equation}
m_E=\frac{b-b'}{2}
\end{equation}
onde $m_E$ é a Mediana de Euler e $b$ e $b'$ são as bases maior e menor, respectivamente, do trapézio.

Ao traçarmos as duas diagonais do trapézio, estas cortam a base média nos pontos $P$ e $Q$. A Mediana de Euler é o segmento $\overline{PQ}$.

A demonstração não é muito complicada, pois remete a temas já estudados, como a base média de um triângulo e a base média de um trapézio.

Do triângulo $ABD$, temos que sua base média é o segmento $\overline{MQ}$, dada por:
\begin{equation}
\overline{MQ}=\frac{\overline{AB}}{2}=\frac{b}{2}
\end{equation}
E do triângulo $ACD$, temos que sua base média é o segmento $\overline{MP}$, dada por:
\begin{equation}
\overline{MP}=\frac{\overline{CD}}{2}=\frac{b'}{2}
\end{equation}
A Mediana de Euler é o segmento $\overline{PQ}$, que pode ser expresso por:
\begin{equation}
\overline{PQ}=\overline{MQ}-\overline{MP}
\end{equation}
Substiruindo $(2)$ e $(3)$ em $(5)$, obtemos:
\begin{equation}
\overline{PQ}=m_E=\frac{b}{2}-\frac{b'}{2}=\frac{b-b'}{2}
\end{equation}

Exemplo $1$: Seja o trapézio $ABCD$ de bases $b=\overline{AB}=12cm$ e $b'=\overline{CD}=8cm$. Calcular a Mediana de Euler.

Aplicando a fórmula dada em $(5)$, temos que:
$$m_E=\frac{b-b'}{2}=\frac{12-8}{2}=2cm$$


Veja mais:

Base Média de um Trapézio
Base Média de um Triângulo
Demonstração da Identidade de Euler

20/10/2013

Base Média de um Trapézio

O trapézio é um quadrilátero plano convexo e é considerado notável por possuir algumas propriedades interessantes. Uma delas é a propriedade da base média do trapézio, que é a semi-soma das bases do trapézio.
Definição $1$: Trapézio é todo quadrilátero que possui um par, e somente um par, de lados opostos paralelos.

Os lados opostos paralelos são denominados por bases e os lados opostos transversos são denominados apenas por lados.

Definição $2$: Base média de um trapézio é o segmento que une os pontos médios dos lados do trapézio.

Seja o trapézio $ABCD$, cujos segmentos $\overline{AB}$ e $\overline{CD}$ são suas bases paralelas. Sejam $M$ e $N$ os pontos médios dos lados do trapézio. O segmento $\overline{MN}$ é a base média do trapézio e é expresso por:
\begin{equation}
\overline{MN}=b_M=\frac{b+b'}{2}=\frac{\overline{AB}+\overline{CD}}{2}
\end{equation}
Para demonstrar esta propriedade, vamos partir do pressuposto que os pontos $M$ e $N$ são os pontos médios do lados do trapézio.

Traçando a diagonal $\overline{AC}$, cortando o segmento $\overline{MN}$ em $P$, obtemos os triângulos $ABC$ e $ACD$. Do triângulo $ABC$, o segmento $\overline{PN}$ é paraleo à $\overline{AB}$. Sendo $N$ o ponto médio de $\overline{BC}$, $P$ é o ponto médio de $\overline{AC}$. Logo $\overline{PN}$ é a base média do triângulo $ABC$ e é dada por:
\begin{equation}
\overline{PN}=\frac{1}{2} \overline{AB}
\end{equation}
Analogamente, no triângulo $ACD$, temos que $\overline{MP}$ é sua base média, dada por:
\begin{equation}
\overline{MP}=\frac{1}{2} \overline{CD}
\end{equation}
Veja aqui a demonstração da base média de um triângulo.

Temos ainda que:
\begin{equation}
\overline{MN}=\overline{MP}+\overline{PN}
\end{equation}
Substituindo $(2)$ e $(3)$ em $(4)$, obtemos:
\begin{equation}
\overline{MN}=\frac{1}{2}\overline{AB}+\frac{1}{2}\overline{CD}=\frac{\overline{AB}+\overline{CD}}{2}
\end{equation}

Exemplo $1$: Em um trapézio de bases $\overline{AB}=12cm$ e $\overline{CD}=8cm$, calcule sua base média $\overline{MN}$, sendo $M$ e $N$ os pontos médis de seus lados.

Aplicando a fórmula da base média do trapézio, dada em $(5)$, temos:
$$\overline{MN}=\frac{12+8}{2}=10cm$$

Exemplo $2$: Uma aplicação interessante é em escadas. Considere a escada da imagem abaixo com $9$ degraus, sendo o primeiro degrau com $45cm$ de largura e o último degrau com $30cm$ de largura. Calcular as larguras dos demais degraus.

Uma escada pode ser considerada como um trapézio. Se esta contiver um número ímpar de degraus, basta sabermos quanto mede o primeiro e o último para calcularmos a medida do degrau médio (informação extremamente útil para os matemáticos!), desde que as distâncias entre os degraus sejam constantes. A escada que tenho em minha casa, tem $7$ degraus com $25cm$ de distância entre eles, mas vi na internet outras com $30cm$.

Vamos representar a escada com o diagrama simplificado abaixo:

Com os dados iniciais do problema, os segmentos $\overline{AA'}=45cm$ e $\overline{II'}=30cm$. Notem que o segmento $\overline{EE'}$ é a base média do trapézio $AA'I'I$. Assim:
$$\overline{EE'}=\frac{\overline{AA'}+\overline{II'}}{2}=\frac{45+30}{2}=37,5cm$$
Agora, vamos aplicar a fórmula para determinar as medidas dos demais degraus.
$$\overline{CC'}=\frac{\overline{AA'}+\overline{CC'}}{2}=\frac{45+37,5}{2}=41,25cm$$
$$\overline{BB'}=\frac{\overline{AA'}+\overline{CC'}}{2}=\frac{45+41,25}{2}=43,125cm$$
$$\overline{DD'}=\frac{\overline{CC'}+\overline{EE'}}{2}=\frac{41,25+37,5}{2}=39,375cm$$
$$\overline{GG'}=\frac{\overline{EE'}+\overline{II'}}{2}=\frac{37,5+30}{2}=33,75cm$$
$$\overline{FF'}=\frac{\overline{EE'}+\overline{GG'}}{2}=\frac{37,5+33,75}{2}=35,625cm$$
$$\overline{HH'}=\frac{\overline{GG'}+\overline{II'}}{2}=\frac{33,75+30}{2}=31,875cm$$

Referências:

[1] Geometria 1 - Morgado
[2] Elementos de Geometria e Desenho Geométrico V1 - Putnoki
[3] Fundamentos de Matemática Elementar V9 - Geometria Plana - Osvaldo Dolce & Nicolau Pompeo

Veja mais:

Organograma dos Quadriláteros Notáveis
Base Média de um Triângulo
Quadriláteros Notáveis

11/10/2013

Construção de um Pentágono Regular com Régua e Compasso (Parte 4) - Método de Hirano

Esta é uma elegante construção do pentágono regular pelos métodos euclidianos, elaborado por Yoshifusa Hirano. A construção foi incluída num manuscrito Sanpo Jyojutu Kaigi, por Chorin Kawakita $(1840-1919)$ que escreveu:
"Hirano descobriu um método de construção do pentágono regular utilizando régua e compasso apenas. Descrevo esse método aqui por ser original, elementar e excelente."
A construção de Hirano é ilustrada pela imagem abaixo:


Construção Geométrica


$1)$ Descreva uma circunferência $C_1$ de centro $O$ com diâmetros horizontal $FG$ e vertical $DH$.

$2)$ Trace as mediatrizes dos segmentos $\overline{OF}$ e $\overline{OG}$ e marque-as como $P$ e $Q$, respectivamente.

$3)$ Com centro em $P$, descreva a circunferência $C_2$ de diâmetro $OF$ e com centro em $Q$ descreva a circunferência $C_3$ de diâmetro $OG$.

$4)$ Trace o segmento $\overline{HQ}$ e marque como $T$ a intersecção com a circunferência $C_3$.

$5)$  Com centro em $H$, descreva a circunferência $C_4$ de raio $HT$ e marque como $A$ e $B$ as intersecções com a circunferência $C_1$.

$6)$ O segmento $\overline{AB}$ fornece o comprimento dos lados do pentágono regular inscrito na circunferência $C_1$.


Demonstração


Consideremos a figura abaixo:




Seja $C_1$ a circunferência com raio unitário. Do triângulo $HOQ$, temos que:
\begin{equation}
\begin{matrix}
\overline{HQ}^2=\overline{OH}^2+\overline{OQ}^2\\
\overline{HQ}^2=1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2\\
\overline{HQ} ^2=1+\frac{1}{4}\\
\overline{HQ} ^2=\frac{5}{4}\\
\overline{HQ} =\frac{\sqrt{5}}{2}
\end{matrix}
\end{equation}
O segmento $\overline{QT}$ é o raio da circunferência $C_3$ e mede $1/2$. Assim:
\begin{equation}
\begin{matrix}
\overline{HT}=\overline{HQ}-\overline{QT}\\
\overline{HT}=\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}
\end{matrix}
\end{equation}
O triângulo $HBD$ é retângulo em $B$, de modo que:
\begin{equation}
\text{sen}(H\hat{D}B)=\frac{HB}{DH}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}
\end{equation}
O ângulo cujo seno vale $\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ é $18°$, logo o ângulo $H\hat{D}B=18°$. Por simetria, o ângulo $H\hat{D}A=18°$ e por conseguinte $A\hat{D}B=H\hat{O}B=36°$. E daqui obtemos que $A\hat{O}B=72°$, que é o ângulo central do pentágono.

Veja mais:


Construção de um Pentágono Regular com Régua e Compasso - Partes 1, 2, 3
Uma Demonstração para a Área do Pentágono Regular
Como Determinar o ângulo Interno de um Polígono Regular

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