30/12/2013

Christiaan Huygens e o Relógio de Pêndulo

Christiaan Huygens nasceu a $14$ de abril de $1629$ em Haia, Países Baixos e faleceu em $8$ de julho de $1695$ no mesmo local.

Em física, Huygens é bastante lembrado por seus estudos sobre luz e cores, percepção do som, estudo da força centrífuga, o entendimento das leis de conservação em dinâmica equivalentes ao moderno conceito de conservação de energia, o estudo da dupla refração no cristal da Islândia, e a teoria ondulatória da luz baseada na concepção de que a luz seria um pulso não periódico propagado pelo éter. Através dela, explicou satisfatoriamente fenômenos como a propagação retilínea da luz, a refração e a reflexão. Também procurou explicar o então recém descoberto fenômeno da dupla refração. Seus estudos podem ser consultados em seu mais conhecido trabalho sobre o assunto, o "Tratado sobre a luz".

Já na matemática, é bastante lembrado por seus estudos e escritos no campo da teoria das probabilidades, estudo de curvas e inícios do cálculo diferencial (interpretação geométrica), o conceito de evolvente foi introduzido por Huygens. Também descobriu que a ciclóide é uma curva isocrônica. Huygens sabia por meio de Mersenne que, apesar das afirmações de Galileu, o período de um pêndulo circular depende de sua amplitude. Então, Huygens demonstrou matematicamente que, para pequenas amplitudes, um pêndulo circular é aproximadamente isócrono e que o real isocronismo é obtido por meio de um pêndulo cicloidal.

[Figura 1 - Christiaan Huygens] 
Em astronomia, descobriu os anéis de Saturno e sua lua Titã. Em homenagem ao seu trabalho, a sonda Cassini-Huygens foi batizada com o seu nome.

Discordava de vários aspectos da teoria sobre luz e cores de Isaac Newton (1643-1727), que era baseada implicitamente numa concepção corpuscular para a luz. Discutiu com ele durante muitos anos, mas, ao contrário do que geralmente se acredita, suas teorias nunca tiveram uma disputa em grandes proporções. 

Galileu Galilei foi o primeiro a observar os anéis de Saturno, porém seu instrumento (telescópio) não lhe permitiu identificar com clareza os anéis. Galileu acreditava, pelas imagens obtidas, que Saturno era um sistema planetário triplo. Huygens, com um telescópio mais poderoso, pôde identificar os anéis e descobrir Titã, a maior lua de Saturno e a segunda maior do sistema solar, em 1655.

Huygens foi membro de uma proeminente família holandesa e filho do diplomata Constantin Huygens, foi encorajado em suas atividades matemáticas, quando jovem, tanto por Descartes quanto por Mersene, que eram associados de seu pai. Christiaan se tornou um cientista de reputação internacional, que é lembrado pelo princípio que leva seu nome na teoria ondulatória da luz, pela observação dos anéis de Saturno e pela real invenção do relógio de pêndulo. Foi em conexão com uma busca de melhoramentos em horologia que fez sua descoberta matemática mais importante.

 
[Figura 2 - Horologium oscillatorium - 
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Imagem: Wikipédia]

Huygens sabia que as oscilações de um pêndulo simples não são estritamente isócronas, mas dependem da amplitude da oscilação. Em outras palavras, se um objeto é colocado sobre o lado de uma superfície hemisférica lisa, e é largado, o tempo que leva para chegar ao ponto mais baixo será quase, mas não exatamente, independente da altura em que foi largado. Aconteceu que Huygens inventou o relógio de pêndulo quase ao mesmo tempo em que se realizava o concurso de Pascal sobre a ciclóide, em $1658$, e ocorreu-lhe considerar o que aconteceria se a superfície hemisférica fosse substituída por outra, cuja secção fosse um arco de ciclóide invertido. Huygens ficou satisfeitíssimo ao observar que em tal caso, o objeto chegara ao ponto mais baixo exatamente no mesmo tempo, qualquer que seja a altura sobre a superfície interna em que o objeto seja colocado na partida.

A ciclóide é verdadeiramente uma tautócrona, isto é, sobre um arco de ciclóide invertido, um objeto escorregará de um ponto qualquer até o fundo exatamente no mesmo tempo, qualquer que seja o ponto de partida.
[Modelo de pendulo cicloidal de Huygens -
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Imagem: Museo Galileo]

Mas uma grande questão permanecia. Como fazer com que um pêndulo oscile em um arco de ciclóide em vez de um arco circular? Neste ponto, Huygens fez mais uma bela descoberta. Se suspendermos de um ponto $P$ na cúspide entre dois semiarcos de ciclóide invertidos, $PQ$ e $PR$, de um pêndulo cujo comprimento seja igual ao comprimento de qualquer dos semiarcos, a extremidade do pêndulo descreverá um arco que é um arco de ciclóide $QSR$ exatamente do mesmo tamanho e forma que os arcos de que $PQ$ e $PR$ são partes. Em outras palavras, se o pêndulo do relógio oscila em uma cunha cicloidal, ele será verdadeiramente isócrono.
[Figura 3]

Huygens fez alguns relógio de pêndulo assim, mas verificou que, ao funcionar, eles não eram mais precisos que os que dependiam das oscilações de um pêndulo ordinário simples, que são praticamente isócronos para oscilações muito pequenas. No entanto, Huygens, nessa investigação, tinha feito uma descoberta de importância matemática capital: a involuta de uma ciclóide é uma ciclóide semelhante, ou inversamente, a evoluta de uma ciclóide é uma ciclóide semelhante. Esse teorema e outros resultados sobre involutas e evolutas de outras curvas foram demonstrados por Huygens de modo essencialmente arquimediano e fermatiano, tomando pontos próximos e observando o resultado quando o intervalo desaparece. Descartes e Fermat tinham usado esse artifício para normais e tangentes a uma curva, e agora Huygens aplicou-o para achar o que chamamos de raio de curvatura de uma curva plana.  Se em pontos próximos $P$ e $Q$ sobre uma curva acharmos as normais e seu ponto de intersecção $I$, então, quando $Q$ tende a $P$ ao longo da curva, o ponto variável $I$ tende a um ponto fixo $O$, que é chamado centro de curvatura da curva para o ponto $P$, e a distância $OP$ é chamada de raio de curvatura.
[Figura 4]

O lugar geométrico dos centros de curvatura $O$ para os pontos $P_N$ de uma curva dada $C_i$ é uma segunda curva $C_e$ chamada evoluta da curva $C_i$. E toda curva $C_i$ de que $C_e$ seja evoluta, chama-se involuta de $C_e$. É claro que a envoltória das normais a $C_i$ será $C_e$, a curva tangente a cada uma das normais.

Na figura $3$, a curva $QPR$ é a evoluta da curva $QSR$ e tangentes a $QSP$. Quando a ponta do pêndulo se afasta mais para um lado, a corda se enrola cada vez mais ao longo da cunha cicloidal, e quando a ponta chega ao ponto mais baixo $S$, a corda se desenrola. Por isso, Huygens descreveu a ciclóide $QSR$ como ex evolutione descripta, a ciclóide $QSR$ sendo a evoluta. Em francês, usa-se développante e développée.

Referências:

[1] História da Matemática - Carl Boyer - 3ª ed. - Ed. Blucher
[2] Wikipédia - Christian Huygens

Veja mais: 

Panorama da História do Cálculo
A Curva Tautócrona no blog Fatos Matemáticos
Fatos Históricos da Ciclóide no blog Fatos Matemáticos
Algumas Propriedades Geométricas da Ciclóide no blog Fatos Matemáticos

3 comentários:

  1. Genial. Pelo que entendi, a partir de um experimento prático, o de tentar construir um relógio com um pêndulo que fosse isócrono, seja qual fosse o ponto de partida (altura) inicial, e não obtendo sucesso na prática (acredito que pela maior perda de energia, na hora que eles encostavam nas curvas colocadas nas extremidades), Huygens acabou estudando a parte geométrica deste tipo de movimento (ciclóide) e desenvolveu-a.

    Não entendi perfeitamente a parte de evolutas, lugar geométrico, centro de curvatura... que variam, especificamente nesta parte:

    "O lugar geométrico dos centros de curvatura O para os pontos PN de uma curva dada Ci é uma segunda curva Ce chamada evoluta da curva Ci. E toda curva Ci de que Ce seja evoluta, chama-se involuta de Ce. É claro que a envoltória das normais a Ci será Ce, a curva tangente a cada uma das normais."

    Mas não se preocupe amigo. Está bem explicado, mas acho que é por causa dos vários termos matemáticos usados na linguagem, e meu cérebro que não foi capaz de assimilar. No entanto, já dá pra ter uma noção de até onde Huygens chegou.

    O esquema do relógio, em alta definição é simplesmente sensacional, se pensarmos na época em que foi criado. Dá pra ver perfeitamente a "sacada do dispositivo que tem um tipo de roda horizontal que só permite o giro em uma direção, conforme o pêndulo balança de um lado para outro. Hoje, pareceria banal, mas naquela época...

    Belo post.
    Abraço.

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    Respostas
    1. Oi Jairo,

      Obrigado pelo comentário. Quando li este artigo sobre o relógio de pêndulo, achei incrível como Huygens foi meticuloso em seus ensaios. Afinal, parece que os matemáticos da época eram assim mesmo, desenvolviam suas teorias e teoremas por conta de um experimento prático. O esquema feito por Huygens é fantástico, uma ideia e tanto!

      Sobre a curva, veja a figura 4, os segmentos $IP$ e $IQ$ são perpendiculares à curva nos pontos $P$ e $Q$ respectivamente. Imagine que o ponto $Q$ se desloque na direção de $P$; a intersecção $I$ vai mudando de posição e a envoltória dessas retas gera outra curva. Veja essa imgem gif, acho que esclarece bem: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1a/Evolute2.gif

      Um grande abraço!

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    2. Kleber:
      Dando mais uma lida com calma, agora ficou claro. Se a curva PQ fosse um arco de circunferência, é evidente que o ponto I (intersecção das perpendiculares) não se deslocaria, e seria portanto o centro da circunferência, Como estamos falando de uma ciclóide, o ponto I se desloca e descreve um lugar geométrico, que também seria um outro ciclóide. Genial.
      Valeu.

      Excluir

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