28/03/2013

Os Pontos de Brocard (Parte 3)

Vimos na primeira postagem desta série sobre os Pontos de Brocard as definições e suas construções geométricas. Na segunda postagem, vimos algumas propriedades importantes, teoremas e corolários. Nesta terceira parte, veremos outros teoremas igualmente interessantes.

Por:
Kleber Kilhian
Paulo Sérgio C. Lino


Teorema $3$: Em um triângulo $(T)=A_1A_2A_3$, de ângulos internos, $\alpha_1$$\alpha_2$$\alpha_3$, respectivamente, contendo o ponto $\Omega$ existe o ângulo $\omega$ de modo que vale a relação:
$$\cot (\omega)=\frac{\alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_3^2}{4\Delta}$$
onde $\Delta$ é a área do triângulo $(T)=A_1A_2A_3$.

Demonstração: Note que:
\begin{equation}

\Delta=\frac{1}{2} a_2a_3 \text{sen}(\alpha_1)
\end{equation}
Pela lei dos cossenos, temos que:
\begin{equation}
\begin{matrix}
a_1^2 = a_2 ^2+a_3 ^2-2a_2 a_3 \cos (\alpha_1) \Rightarrow\\
 a_2a_3 \cos(\alpha_1) = a_2^2 + a_3^2 - a_1^2\\
\end{matrix}
\end{equation}
De $(1)$ e $(2)$, temos que:
$$4\cot(\alpha_1)=\frac{2a_2a_3\cos(\alpha_1)}{\frac{1}{2}a_2a_3\text{sen}(\alpha_1)}=\frac{a_2^2+a_3^2-a_1^2}{\Delta}$$\begin{equation}
\cot(\alpha_1)=\frac{-a_1^2+a_2^2+a_3^2}{4\Delta}
\end{equation}
Por simetria, temos:
\begin{equation}
\cot(\alpha_2)=\frac{a_1^2-a_2^2+a_3^3}{4\Delta}
\end{equation}
e
\begin{equation}
\cot(\alpha_3)=\frac{a_1^2+a_2^2-a_3^2}{4\Delta}
\end{equation}
Substituindo as $(3)$, $(4)$ e $(5)$ na equação:
$$\cot (\omega)=\cot (\alpha_1)+\cot(\alpha_2)+\cot (\alpha_3)$$
(para maiores detalhes veja a parte $2$ sobre os pontos de Brocard), segue que:
$$\cot(\omega)=\frac{\left (-a_1^2+a_2^2+a_3^2 \right)+\left (a_1^2-a_2^2+a_3^2 \right )+\left (a_1^2+a_2^2-a_3^2 \right )}{4\Delta}$$
\begin{equation}
\cot(\omega)=\frac{a_1^2+a_2^2+a_3^2}{4\Delta}

\end{equation}

Teorema $4$: Em um triângulo $(T)=A_1A_2A_3$, de ângulos internos $\alpha_1$, $\alpha_2$ e $\alpha_3$ e lados opostos $a_1$, $a_2$ e $a_3$, respectivamente, contendo o ponto $\Omega$, existe o ângulo $\omega$ tal que:
$$0 \leq \omega \leq \frac{\pi}{6}$$

Demonstração: Já vimos na postagem anterior que:
$$\frac{\text{sen}(\alpha_1-\omega)}{\text{sen}(\alpha_1) \cdot \text{sen}(\omega)}=\cot(\omega)-\cot(\alpha_1)$$
Substituindo $\omega$ por $-\omega$, obtemos:
\begin{matrix}
\frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\alpha_1) \cdot \text{sen}(-\omega)}=\frac{\cos (-\omega)}{\text{sen}(-\omega)}-\cot(\alpha_1)\\
-\frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\alpha_1)\cdot \text{sen}(\omega)}=-\frac{\cos(\omega)}{\text{sen}(\omega)}-\cot(\alpha_1)\\
\\\frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\omega)}=\text{sen}(\alpha_1)\cot(\omega)+\cos(\alpha_1)\\
\end{matrix}
$$\frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\omega)}=\text{sen}(\alpha_1)\left [ \cot(\alpha_1)+\cot(\alpha_2)+\cot(\alpha_3) \right ]+\cos(\alpha_1)$$
$$\frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\omega)}=\cos(\alpha_1)+\text{sen}(\alpha_1)\frac{\cos(\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_2)}+\text{sen}(\alpha_1)\frac{\cos(\alpha_3)}{\text{sen}(\alpha_3)}+\cos(\alpha_1)$$
$$\frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\omega)}=\frac{\text{sen}(\alpha_2)\cos(\alpha_1)+\text{sen}(\alpha_1)\cos(\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_2)}+\frac{\text{sen}(\alpha_1)\cos(\alpha_3)+\text{sen}(\alpha_3)\cos(\alpha_1)}{\text{sen}(\alpha_3)}$$
$$\frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\omega)}=\frac{\text{sen}(\alpha_1+\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_2)}+\frac{\text{sen}(\alpha_1+\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_3)}$$
Mas, $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=\pi$, de modo que:
\begin{equation}
\text{sen}(\alpha_1+\alpha_2)=\text{sen}(\pi-\alpha_3)=\text{sen}(\alpha_3)
\end{equation}
e
$$\text{sen}(\alpha_1+\alpha_3)=\text{sen}(\pi-\alpha_2)=\text{sen}(\alpha_2)$$
Assim:
$$\frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\omega)}=\frac{\text{sen}(\alpha_3)}{\text{sen}(\alpha_2)}+\frac{\text{sen}(\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_3)}$$
Pela lei dos senos no triângulo $(T)=A_1A_2A_3$, sabemos que:
$$\frac{\text{sen}(\alpha_2)}{a_2}=\frac{\text{sen}(\alpha_3)}{a_3}\Rightarrow \frac{\text{sen}(\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_3)}=\frac{a_2}{a_3}$$
e pela desigualdade aritmética-geométrica, segue que:
\begin{matrix}
\frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\omega)}=\frac{a_3}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}\\
\frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\omega)}=2\cdot \frac{\frac{a_3}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}}{2}\\
\frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\omega)} \geq \sqrt{\frac{a_3}{a_2}\cdot \frac{a_2}{a_3}}=2\\
\end{matrix}
Isto mostra que:
$$\frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\omega)} \geq 2$$
e a igualdade é válida se e somente se $a_2=a_3$. Consequentemente:
\begin{matrix}
2\text{sen}(\omega) \leq \text{sen}(\alpha_1+\omega) \leq 1\Rightarrow\\
0 < \text{sen}(\omega) \leq \frac{1}{2} \Rightarrow\\
0 < \omega \leq \frac{\pi}{6}\\
\end{matrix}e $\omega = \dfrac{\pi}{6}$ se e somente se $(T)$ for triângulo equilátero.


Veja mais: 

Os Pontos de Brocard (Parte $1$)
Os Pontos de Brocard (Parte $2$) 
Pontos Notáveis de um Triângulo
Desigualdade Aritmética-Geométrica no blog Fatos Matemáticos

24/03/2013

O Cálculo no Japão

Takakazu Seki Kowa nasceu em março de $1642$ em Fujioka, Japão, e morreu em $24$ de outubro de $1708$ em Edo (atual Tóquio), Japão, coincidentemente no mesmo ano que Isaac Newton. Era de uma família de guerreiros samurais, mas muito jovem foi adotado por uma família nobre chamada Seki Gorozayemon, nome este por qual é conhecido.

Seki foi uma figura singular: aprendeu Matemática sozinho e foi o primeiro a estudar determinantes, em $1683$. Dez anos mais tarde, Leibniz usou determinantes para resolver equações simultâneas, embora a versão de Ski tratasse do caso geral.

Seki também descobriu os números de Bernoulli, mesmo antes de Jacob Bernoulli os terem "descoberto". Estudou casos de equações que tratam de raízes positivas e negativas, mas sem o conceito de número complexo. Estudou sobre quadrados mágicos em $1683$ sendo o primeiro estudo sobre o tema no Japão.

Em $1683$ estudo sobre equações diofantinas, tratando de soluções inteiras para equações do tipo $ax-by=1$ onde $a$ e $b$ são inteiros.

Segundo uma tradição um tanto vaga, Seki foi o fundador do cálculo japonês, chamado de yenri. O yenri era um método para determinar o comprimento de um arco circular através de séries infinitas, usadas para achar o limite da soma das $2^n$ cordas iguais inscritas subtendidas pelos arcos bisseccionados sucessivamente.

[Figura $1$]

O termo yenri pode ser traduzido como "princípio do círculo" ou "teoria do círculo". O nome vem do fato de que a mensuração do círculo é o primeiro assunto a ser tratado. Pode ter sido originado do trabalho do matemático chinês Li Yeh $(1192-1279)$ em sua obra Tsê-yüan Hai-ching que trata de medições do círculo, incluindo o uso de um símbolo para números negativos. Apesar de tudo, Seki nunca escreveu sobre o trabalho de Li Yeh e por isso é tradicionalmente atribuído a Seki as descobertas sobre o yenri.

Após o tempo de Seki surgiram inúmeras obras sobre a medição numérica do círculo, como as de Taisei Sankyo, supostamente escrita por Takebe Kenko $(1664-1739)$. Takebe foi aluno preferido de Seki e foi responsável por disseminar seus trabalhos. Em $1706$ aceitou um cargo no departamento de cerimônias no Shogunato Tokugawa e em $1719$ Takebe concluiu um novo mapa do Japão que foi altamente valorizado pela riqueza de detalhes.

Dos possíveis $43$ livros escritos por Takebe, apenas $20$ chegaram até nós e há histórias de ter havido mais três livros, embora pareça relacionar Seki intimamente com este trabalho, no entanto, não há evidências concretas para corroborar tal afirmação, já que não se sabe o paradeiro desses três livros e não há evidências nos seus $20$ livros que comprove isso.

Takebe também publicou um trabalho sobre yenri em $1722$. Para ilustrar o método, considere a figura $1$. Takebe começa inscrevendo cordas iguais num arco de círculo, sendo o número de cordas uma potência de $2$. Para $N=2$ há $2^N=4$ cordas inscritas. Então, por meio de uma relação recursiva, dando o comprimento de uma corda do conjunto de $2^{N+1}$ cordas em função do comprimento de uma corda do conjunto precedente de $2^{N}$ cordas, acha-se o limite do quadrado da soma das semicordas chegando à fórmula:
\begin{equation}
\left (\frac{1}{2}a \right)^2=dS \left[1+\sum _1^{\infty}\frac{2^{N+1}(N!)^2}{(2N+2)!}\cdot\left(\frac{S}{d}\right)^N \right]
\end{equation}
onde $d$ é o diâmetro e $S$ é a sagita (altura) do segmento do arco dado $AB$. Na publicação original a série aparecia escrita em notações mais antiga, de uma maneira muito obscura, usando casos numéricos para determinar coeficientes em muitas das relações, que segundo alguns estudiosos do assunto, entendem que não foi Takebe quem criou a série acima. Acredita-se que ele talvez a tenha obtido a partir da leitura de um trabalho publicado em cerca de $1713$ pelo escritor chinês Mei, que incluiu nele algumas séries trazidas da China, em $1700$ pelo missionário jesuíta Pierre Jartoux. Sabe-se que Jartoux mantinha correspondência com Leibniz.

Takebe também estava interessado em aproximar o valor de $\pi$ pelo cálculo dos perímetros dos polígonos regulares de $2^N$ lados inscritos num círculo de diâmetro unitário. Um curioso aspecto desse trabalho é determinar como perímetros $a$, $b$ e $c$ dos polígonos de $2^{15}$, $2^{16}$ e $2^{17}$ lados, os seguintes valores:
\begin{matrix}
a \approx 3,1415926487769856708\\
b \approx 3,1415926523865913571\\
c \approx 3,1415926532889927759\\
\end{matrix}
Então, para obter uma aproximação ainda melhor de $\pi$, Takebe usava a seguinte fórmula, sem explicações ou demonstrações:
\begin{equation}
p=b+\frac{(b-a)(c-b)}{(b-a)-(c-b)}
\end{equation}
alegando que $p$ fornecia uma aproximação para $\pi$ melhor que os valores anteriores de $a$, $b$ e $c$. Nesse caso particular, os valores acima para $a$, $b$ e $c$ aplicado na fórmula $(2)$ efetivamente dá uma aproximação mais precisa:
$$p \approx 3,14159265358979$$
Takebe declarou ter estimado $\pi$ em $41$ casas decimais por aplicações repetidas da fórmulas dada em $(2)$.

Referências:

[1] A History of Japanese Mathematics - Smith & Mikami
[2] Tópicos de História da Matemática - Cálculo - Carl Boyer

Veja mais: 

Panorama da História do Cálculo
Uma Breve Cronologia de $\pi$
Teste da integral para convergências de séries

16/03/2013

Os Primeiros Matemáticos

Admite-se universalmente que os gregos foram os primeiros matemáticos. Primeiros no sentido de que foram eles que iniciaram o desenvolvimento da matemática a partir de princípios básicos. Hípias $(425a.C.)$, ou algum outro por volta de sua época, mostrou que, em termos de números inteiros, não era possível nenhuma comparação numérica exata entre os lados e a diagonal de um quadrado de lado unitário, assim como no pentágono regular ou num cubo. Na verdade, para muitas figuras geométricas conhecidas.

Foi um choque para a comunidade matemática grega tomar conhecimento de que há coisas como segmentos de reta incomensuráveis e que a ocorrência dessa situação é espantosamente comum, isto é, que conceitos afins ao cálculo aparecem nas mais elementares situações. Os diálogos de Platão mostram que os matemáticos da época ficaram profundamente perturbados com essa descoberta.

A descoberta da incomensurabilidade confrontou os matemáticos diretamente com um processo infinito. Sempre que o algoritmo euclidiano para achar o máximo divisor comum de dois números inteiros é aplicado em aritmética, o processo acaba num número finito de passos, pois o conjunto dos inteiros positivos tem um mínimo, o número $1$. Se, por outro lado, o esquema análogo é aplicado com uma visão geométrica para achar a medida comum a dois segmentos de reta incomensuráveis, o processo prosseguirá indefinidamente. Não há algo como menor segmento de reta, pelo menos não segundo a visão grega ortodoxa, nem segundo os conceitos modernos convencionais.

A perspectiva de um processo infinito perturbou os matemáticosantigos, pois se viam diante de uma crise. Eram incapazes de replicar aos sutis paradoxos de Zenão de Etéia propostos por volta da mesma época em que se deu a devastadora descoberta dos incomensuráveis. Aristóteles e outros filósofos gregos procuraram responder a esses paradoxos, mas o fizeram de maneira tão pouco convincente, que os matemáticos da época concluíram que era melhor evitar totalmente os processos infinitos.

Essa visão poderia parecer um impedimento a qualquer equivalente grego do cálculo. Eudóxio sugeriu uma abordagem que aos matemáticos pareceu irrefutável e que servia essencialmente aos mesmos propósitos de um processo infinito. Ele começou com um axioma, muitas vezes conhecido como "Lema de Arquimedes", que parece como Definição 4 no Livro $V$ dos Elementos de Euclides.

"Diz-se que grandezas têm uma razão, uma para a outra, se,
por multiplicação, uma for capaz de exceder à outra."

Eudóxio com certeza utilizou essa "definição", que realmente é uma suposição, de maneira muito semelhante à empregada por Euclides no Livro $X$, 1 (e ainda posteriormente por Arquimedes) para provar o procedimento básico no "método da exaustão", o equivalente grego do cálculo:

"Consideradas duas grandezas desiguais, se da maior subtraírmos uma grandeza maior que a metade, e da que resta uma grandeza maior que sua metade, e ese este processo é repetido continuamente, restará uma grandeza que será menor que a menor das grandezas consideradas."

Essa afirmação pode ser generalizada substituindo "maior que sua metade" por "maior que ou igual à sua metade (ou seu terço ou qualquer outra fração própria)".

Aqui, numa forma geométrica desajeitada, está um dos mais antigos teoremas sobre limites, pois o fulcro da questão é que se $A$ é a maior das grandezas dadas (positivas) $A$ e $a$, e se $u_n = \dfrac{A}{2^n}$, então:
$$\lim_{n\rightarrow \infty}u_n=0 < a$$
Notamos que, enquanto a notação moderna recorreu ao símbolo de infinito, a linguagem antiga cuidadosamente evitava qualquer referência aberta a um processo infinito. As duas formulações, no entanto, não estão distantes quanto a seu significado. Para mostrar que:
$$\lim_{n\rightarrow \infty}u_n=0$$
deve-se demonstrar que, dado um número positivo $\varepsilon $, mesmo que pequeno (o equivalente da grandeza menor $a$ na proposição de Euclides), pode-se achar um inteiro $N$ (o equivalente da frase de Euclides "se este processo é repetido continuamente") tal que para $n>N$ vale a relação $u_n<\varepsilon $.

O cálculo de Euclides (derivado, presumivelmente, de Eudóxio) pode ter sido menos efetivo que o de Newton e Leibniz, dois milênios mais tarde, mas, em termos de ideias básicas, não estava muito longe do conceito de limite usado rudemente por Newton e aprimorado no século $XIX$. 

Referências:

[1] Tópicos de História da Matemática - Cálculo - Carl Boyer - Atual Editora


Veja mais:

A Astronomia e os Astrônomos na Grécia Antiga
O Corpus Arquimediano
Períodos Matemáticos

14/03/2013

Retificação da Circunferência (Parte 7)

Hoje, 14 de março, (do inglês 3/14), comemora-se o dia internacional do $\pi$. Como forma de homenagear esta constante, que desde os egípcios antigos persegue os matemáticos, desenvolvi esta construção com apenas régua e compasso, onde podemos aproximar $\pi$ em três casas decimais por um seguimento de reta.



Construção:

1) Trace um par de eixos ortogonais e descreva uma circunferência de raio unitário centrada na origem $O$ marcando os pontos $B$ e $C$ na intersecção com a circunferência.

2) Com centro em $C$ e raio $CB=\sqrt{2}$, descreva uma circunferência e marque os pontos $D$ e $E$ no eixo vertical.

3) Trace a bissetriz do ângulo $\angle BAC$ e marque o ponto $F$ na intersecção com a circunferência de centro $C$.

4) Trace um seguimento vertical por $F$ e um segmento horizontal por $E$. A intersecção desses segmentos gera o ponto $G$.

5) O segmento $DG$ aproxima $\pi$ em $\pi=3,141$.


Demonstração:

Seja $\alpha:x^2+y^2=1$ a circunferência de raio unitário centrada na origem. Seja $\beta$ a circunferência de raio $\sqrt{2}$ centrada no ponto $C(0,1)$, ou seja:
$$\beta:x^2+(y-1)^2=2$$
Vejam que $\beta$ intercepta o eixo dos $y$ nos pontos $y=1\pm \sqrt{2}$. Assim, $D(0,1-\sqrt{2})$ e $E(1+\sqrt{2})$.

Por construção, $BC$ é a bissetriz dos quadrantes ímpares e, portanto, o ponto $F$ é resultante da intersecção de $r$ com $\beta$ e é dado pelo sistema de equações:
$$
\left\{\begin{matrix}
x^2+(y-1)^2&=&2\\
y&=&x
\end{matrix}\right.
$$
ou seja:
\begin{matrix}
x^2+(x+1)^2=2\\
2x^2-2x-1=0\\
x_F=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\\
\end{matrix}
Assim, as coordenadas do ponto $G$ são $x_F$ e $y_E$, ou seja:
$$G\left (\frac{1+\sqrt{3}}{2},1+\sqrt{2}\right )$$
Logo,
\begin{matrix}
DG^2=\left (\frac{1+\sqrt{3}}{2}-0 \right)^2 + \left (1+\sqrt{2}-1+\sqrt{2}\right)^2\\
DG^2=\frac{(1+\sqrt{3})^2}{4}+(2\sqrt{2})^2\\
DG^2=9+\frac{\sqrt{3}}{2}\\
DG=\sqrt{\frac{18+\sqrt{3}}{2}}\\
DG\simeq 3,141\\
\end{matrix}
Uma curiosidade nesta construção é que  temos a presença de uma outra constante irracional, o número prateado, representado por $\delta_S=1+\sqrt{2}$.


Veja mais:

Retificação da Circunferência (Parte 6) - Método de Specht
Newton e a Série Infinita para $\pi$
Aproximação de $\pi$ Como Soma de Dois Números Irracionais
O Número Prateado

10/03/2013

Os Pontos de Brocard (Parte 2)

Na primeira postagem desta série, vimos as definições dos Pontos de Brocard e suas construções geométricas. Nesta postagem, veremos algumas propriedades importantes, teorema, corolários e suas respectivas demonstrações.

Por: 
Kleber Kilhian
Paulo Sérgio C. Lino

4 - Propriedades Importantes

Somente a construção geométrica dos Pontos de Brocard e sua demonstração, por si só, já é um fato interessantíssimo, e único, num triângulo qualquer. Durante este estudo, foi encontrada algumas propriedades e relações muito interessantes, que seguem a seguir.

Teorema 1: Em um triângulo $(T)=A_1A_2A_3$, existe um ponto único denotado por $\Omega$, tal que:
$$\angle \Omega A_1A_2=\angle \Omega A_2A_3=\angle \Omega A_3A_1$$
Demonstração: A existência deste ponto foi apresentada na postagem anterior. Para a unicidade, suponha que exista um ponto $\Omega$ no triângulo $(T)=A_1A_2A_3$, tal que:
$$\angle \Omega A_1A_2=\angle \Omega A_2A_3=\angle \Omega A_3A_1$$
Assim, o segmento $A_2A_3$ é tangente em $A_2$ ao círculo $C_1$ que passa pelos pontos $A_1$, $\Omega$ e $A_2$. Isto pode ser provado observando que o triângulo $O_1 \Omega A_2$ é isósceles.

[Figura 8]

Pelas propriedades existentes num triângulo isósceles, segue que:
$$\omega=\frac {\theta}{2}=\frac{\left (180^\circ -2\beta \right )}{2}=90^\circ - \beta \Rightarrow$$
$$\beta + \omega=90^\circ$$
Demonstrando, assim, que o segmento $A_2A_3$ é tangente ao círculo $C_1$ em $A_2$. Isto significa que $\Omega$ é um ponto em comum aos três círculos, sendo que os lados do triângulo $(T)$ são tangentes a cada círculo. Reciprocamente é possível provar que os três círculos $C_1$, $C_2$ e $C_3$ onde $C_1$ é tangente a $A_2A_3$ e passa por $A_1$; $C_2$ é tangente a $A_1A_3$ e passa por $A_2$ e finalmente $C_3$ é tangente a $A_1A_2$ e passa pelo ponto $A_3$ são concorrentes em um único ponto que está necessariamente no interior do triângulo $(T)$. Desta forma, $\Omega$ é único.

Teorema 2: Em um triângulo $(T)=A_1A_2A_3$, de ângulos internos $\alpha_1$, $\alpha_2$ e $\alpha_3$ e lados opostos $a_1$, $a_1$ e $a_3$, respectivamente, contendo o ponto $\Omega$, existe o ângulo $\omega$ tal que $\omega=\angle \Omega A_1A_2=\angle \Omega A_2A_3=\angle \Omega A_3A_1$, de modo que vale a relação:
$$\cot (\omega)=\cot (\alpha_1)+\cot (\alpha_2)+\cot (\alpha_3)$$
Demonstração: Considere o triângulo abaixo:

[Figura 9]

Aplicando a lei dos senos no triângulo $A_1A_3\Omega$, obtemos:
$$\frac{A_3\Omega}{\text {sen}(\alpha_1-\omega)}=\frac{a_2}{\text{sen}(180^\circ-\alpha_1)}$$
\begin{equation}
\frac{A_3\Omega}{\text{sen}(\alpha_1-\omega)}=\frac{a_2}{\text{sen}(\alpha_1)}
\end{equation}
Note que pelo Teorema do Ângulo Externo $\alpha_1=\omega+(\alpha_1-\omega)$.

Analogamente, aplicando a lei dos senos no triângulo $A_2A_3\Omega$, obtemos:
$$\frac{A_3\Omega}{\text {sen}(\omega)}=\frac{a_1}{\text {sen}(\alpha_1+\alpha_2)}=\frac{a_1}{\text {sen}(180^\circ -\alpha_1-\alpha_2)}$$
\begin{equation}
\frac{A_3\Omega}{\text {sen}(\omega)}=\frac{a_1}{\text {sen}(\alpha_3)}
\end{equation}
Aplicnado a lei dos senos no triângulo $A_1A_2A_3$, obtemos:
\begin{equation}
\frac{a_1}{\text {sen}(\alpha_1)}=\frac{a_2}{\text{sen}(\alpha_2)}
\end{equation}
De $(1)$ e $(2)$, temos:
$$\frac{a_2\cdot \text {sen}(\alpha_1-\omega)}{\text {sen}(\alpha_1)}=\frac{a_1 \cdot \text {sen}(\omega)}{\text {sen}(\alpha_3)}$$
\begin{equation}
\frac{a_2}{a_1}=\frac{\text {sen}(\alpha_1)\cdot \text {sen}(\omega)}{\text {sen}(\alpha_1-\omega)\cdot \text{sen}(\alpha_3)}
\end{equation}
Mas de $(3)$, temos que:
$$\frac{a_2}{a_1}=\frac{\text {sen}(\alpha_2)}{\text {sen}(\alpha_1)}$$
De modo que:
$$\frac{\text {sen}(\alpha_2)}{\text {sen}(\alpha_1)}=\frac{\text {sen}(\alpha_1)\cdot \text {sen}(\omega)}{\text {sen}(\alpha_1-\omega)\cdot \text {sen}(\alpha_3)}$$
\begin{equation}
\frac{\text {sen}(\alpha_1-\omega)\cdot \text {sen}(\alpha_2)\cdot \text {sen}(\alpha_3)}{\text {sen}(\alpha_1)\cdot \text {sen} (\omega)}=\text {sen}(\alpha_1)
\end{equation}
Mas, $a_1+a_2+a_3=180^\circ$, de modo que:
$$\text {sen}(\alpha_1)=\text{sen}(180^\circ -\alpha_2-\alpha_3)$$
\begin{equation}
\text {sen}(\alpha_1)=\text{sen} (\alpha_2+\alpha_3)
\end{equation}
Substituindo $(6)$ em $(5)$, obtemos:
\begin{equation}
\frac{\text {sen}(\alpha_1-\omega)\cdot \text {sen}(\alpha_2)\cdot \text {sen}(\alpha_3)}{\text {sen}(\alpha_1)\cdot \text{sen}(\omega)}=\text {sen}(\alpha_2+\alpha_3)
\end{equation}
Mas,
$$\text {sen}(\alpha_1-\omega)=\text {sen}(\alpha_1)\cdot \cos(\omega)-\text {sen}(\omega)\cdot \cos(\alpha_1)$$
De modo que:
\begin{equation}
\frac{\text {sen}(\alpha_1-\omega)}{\text {sen}(\alpha_1)\cdot \text {sen}(\omega)}=\cot(\omega)-\cot(\alpha_1)
\end{equation}
Substituindo $(8)$ em $(7)$, segue que:
$$\left (\cot (\omega)-\cot (\alpha_1)\right) \cdot \text {sen}(\alpha_2)\cdot \text{sen}(\alpha_3)=\text{sen}(\alpha_2+\alpha_3)$$
$$\left (\cot (\omega)-\cot (\alpha_1)\right) \cdot \text {sen}(\alpha_2)\cdot \text{sen}(\alpha_3)= \text {sen}(\alpha_2)\cdot \cos(\alpha_3)+\text {sen}(\alpha_3)\cdot \cos (\alpha_2)$$
$$\cot(\omega)-\cot(\alpha_1)=\frac{\text {sen}(\alpha_2)\cdot \cos(\alpha_3)+\text {sen}(\alpha_3)\cdot \cos(\alpha_2)}{\text {sen}(\alpha_2)\cdot \text {sen}(\alpha_3)}$$
$$\cot (\omega)-\cot (\alpha_1)=\cot (\alpha_3)+\cot (\alpha_2)$$
\begin{equation}
\cot (\omega)=\cot (\alpha_1)+\cot(\alpha_2)+\cot (\alpha_3)
\end{equation}
Corolário 1: Se $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=60^\circ$, então:
$$\omega =30^\circ$$ 
Demonstração: Como $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=60^\circ$, fatoramos a expressão $(9)$:
\begin{matrix}
\cot (\omega)=3 \cot (60^\circ)\\
\cot (\omega)=\frac{3}{\tan (60^\circ)}=\frac{3}{\sqrt {3}}\\
\tan (\omega)=\frac{\sqrt{3}}{3}\\
\omega=30^\circ\\
\end{matrix}

Corolário 2: Do Teorema $2$, segue que:
$$\cot^2(\omega)=\cot^2(\alpha_1)+\cot^2(\alpha_2)+\cot^2(\alpha_3)+2$$
Demonstração: Elevando ao quadrado ambos os membro da expressão $(9)$, obtemos:
$$\cot^2(\omega)=\biggr[\cot(\alpha_1)+\cot(\alpha_2)+\cot(\alpha_3)\biggr]^2$$
\begin{equation}
\begin{matrix}
\cot^2(\omega)=\cot^2(\alpha_1)+\cot^2(\alpha_2)+\cot^2(\alpha_3)+\\
2\cot(\alpha_1)\cot(\alpha_2)+2\cot(\alpha_1)\cot(\alpha_3)+\\
2\cot(\alpha_2)\cot(\alpha_3)\\
\end{matrix}
\end{equation}
Mas,
$$\cot(\alpha_1)\cot(\alpha_2)+\cot(\alpha_1)\cot(\alpha_3)+\cot(\alpha_2)\cot(\alpha_3)=$$
$$=\cot(\alpha_1)\cot(\alpha_2)+\cot(\alpha_3)\left[\cot(\alpha_1)+\cot(\alpha_2)\right]=$$
$$=\frac{\cos(\alpha_1)\cos(\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_1)\text {sen}(\alpha_2)}+\frac{\cos(180^\circ -\alpha_1-\alpha_2)}{\text {sen}(180^\circ -\alpha_1-\alpha_2)}\cdot \left[\cot(\alpha_1)+\cot(\alpha_2)\right]=$$
$$=\frac{\cos(\alpha_1)\cos(\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_1)\text{sen}(\alpha_2)}-\frac{\cos(\alpha_1+\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_1+\alpha_2)}\cdot \left[\frac {\cos(\alpha_1)\text{sen}(\alpha_1)+\cos(\alpha_2)\text{sen}(\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_1)\text{sen}(\alpha_2)}\right]=$$
$$=\frac{\cos(\alpha_1)\cos(\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_1)\text{sen}(\alpha_2)}-\frac{\cos(\alpha_1+\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_1)\text{sen}(\alpha_2)}=$$
$$=\frac{\cos(\alpha_1)\cos(\alpha_2)-\left[\cos(\alpha_1)\cos(\alpha_2)-\text{sen}(\alpha_1)\text{sen}(\alpha_2)\right]}{\text{sen}(\alpha_1)\text{sen}(\alpha_2)}=$$
$$\frac{\text{sen}(\alpha_1)\text{sen}(\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_1)\text{sen}(\alpha_2)}=1$$
Assim, da expressão $(10)$ segue que:
\begin{equation}
\cot^2(\omega)=\cot^2(\alpha_1)+\cot^2(\alpha_2)+\cot^2(\alpha_3)+2
\end{equation}

Corolário 3: Do Teorema $2$, segue que:
$$\frac{1}{\text{sen}^2(\omega)}=\frac{1}{\text{sen}^2(\alpha_1)}+\frac{1}{\text{sen}^2(\alpha_2)}+\frac{1}{\text{sen}^2(\alpha_3)}$$
Demonstração: da expressão $11$, de outro modo, usando a relação trigonométrica fundamental:
$$\cos^2(\theta)+\text{sen}^2(\theta)=1$$
De fato:
$$\frac{\cos^2(\omega)}{\text{sen}^2(\omega)}=\frac{\cos^2(\alpha_1)}{\text{sen}^2(\alpha_1)}+\frac{\cos^2(\alpha_2)}{\text{sen}^2(\alpha_2)}+\frac{\cos^2(\alpha_3)}{\text{sen}^2(\alpha_3)}+2$$
$$\frac{1-\text{sen}^2(\omega)}{\text{sen}^2(\omega)}=\frac{1-\text{sen}^2(\alpha_1)}{\text{sen}^2(\alpha_1)}+\frac{1-\text{sen}^2(\alpha_2)}{\text{sen}^2(\alpha_2)}+\frac{1-\text{sen}^2(\alpha_3)}{\text{sen}^2(\alpha_3)}+2$$
$$\frac{1}{\text{sen}^2(\omega)}-1=\frac{1}{\text{sen}^2(\alpha_1)}-1+\frac{1}{\text{sen}^2(\alpha_2)}-1+\frac{1}{\text{sen}^2(\alpha_3)}-1+2$$
\begin{equation}
\frac{1}{\text{sen}^2(\omega)}=\frac{1}{\text{sen}^2(\alpha_1)}+\frac{1}{\text{sen}^2(\alpha_2)}+\frac{1}{\text{sen}^2(\alpha_3)}
\end{equation}

Na próxima postagem, apresentaremos outros teoremas a respeito dos pontos de Brocard.

Veja mais:

Os Pontos de Brocard (Parte 1)
Os Pontos de Brocard (Parte 3)
Adição e Subtração de Arcos
A Relação Trigonométrica Fundamental

02/03/2013

Usando Derivadas Para Aproximar Funções

O simples fato geométrico de que a tangente a uma curva é uma boa aproximação da curva próximo ao ponto de tangência $P$, pode ser usado para obter valores aproximados de funções.


[Figura 1]

Vamos estimar o valor de uma função $f(x)$ quando $x$ é um número próximo de um número conhecido.

Seja $f$ uma função continua num intervalo $I=\left [ a,b \right ]$. Suponha que $x_1$ é um número pertencente ao intervalo $I$ e ao domínio de $f$ e que $y_1=f(x_1)$ seja conhecido.

Sendo $f$ diferenciável em $x_1$, então a reta tangente à curva em $P=f(x_1,y_1)$ tem um coeficiente angular dado por $m=f^\prime=(x_1)$. O coeficiente angular de uma reta é definido por:
\begin{equation}
\displaystyle{m=\frac{y-y_1}{x-x_1}}
\end{equation}
Analisando a figura 1, podemos escrever a equação $(1)$ como:
\begin{equation}
\displaystyle{m=\frac{f(x_1+\Delta x)-f(x_1)}{(x_1+\Delta x)-x_1}=\frac{\Delta x}{\Delta y}}
\end{equation}
Se $\Delta x \rightarrow 0$, então $Q\rightarrow P$ e
\begin{equation}
\displaystyle{m=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_1+\Delta x)-f(x_1)}{\Delta x}}
\end{equation}
Que é a definição de derivada, logo:
\begin{equation}
m=f^\prime (x_1)
\end{equation}
Substituindo $(4)$ em $(1)$, obtemos:
$$\displaystyle{f^\prime(x_1)=\frac{y-y_1}{x-x_1}}$$
$$y-y_1=f^\prime (x_1)(x-x_1)$$
\begin{equation}
y=y_1+f ^\prime (x_1)(x-x_1)
\end{equation}
Fazendo $x=x_1+\Delta x$, notem que quando $x$ se aproxima de $x_1$ a altura do gráfico de $f$ acima de $(x,0)$ é aproximadamente igual à altura da reta tangente nesse ponto. Ou seja, $f(x)$ é aproximadamente o mesmo que:
$$y_1+f^\prime (x_1)(x-x_1)$$
Este é um processo de aproximação linear, já que é baseado no uso da reta tangente.

Sendo $f$ diferenciável em $x_1$ e que $y_1=f(x_1)$ é conhecido, então para valores de $x$ próximos de $x_1$, temos que:
$$f(x) \approx y_1+f^\prime (x_1)(x-x_1)$$
que é o mesmo que:
\begin{equation}
f(x)\approx f(x_1)+f^\prime (x_1)(x-x_1)
\end{equation}

Exemplo 1: Aproxime $1/1,03$ usando o processo de aproximação linear.

Seja $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$. Sua derivada será: $\displaystyle f^\prime(x)=-\frac{1}{x^2}$. Sabemos que o valor para $1/1,03$ é próximo de $1$. Fazemos então $x_1=1$. Assim:
\begin{matrix}\frac{1}{1,03}&=&f(1,03)\approx f(1)+f^\prime (1)(1,03-1)\\
&=&1+\frac{(-1)}{1^2}(1,03-1)=0,97\\
\end{matrix}
Pela calculadora, temos que a divisão dada com quatro casas decimais corretas é $0,9709$.

Exemplo 2: Aproxime $\sqrt{1,02}$ usando o procedimento de aproximação linear.

Neste caso, $f(x)=\sqrt{x}$ e sua derivada será: $\displaystyle f^\prime (x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Tomando $x_1=1$, que é um valor próximo de $\sqrt{1,02}$, temos:
\begin{matrix}
\sqrt{1,02}&=&f(1,02) \approx f(1)+f^\prime (1)(1,02-1) \\ &=&1+\frac{1}{2}(0,02)=1,01 \\
\end{matrix}
O valor exato até a quinta casa decimal é  $1,00995$.

Por mais que escolhamos uma valor $x_1$ próximo de $x$, sempre será uma aproximação (muitas vezes, muito boa), pois sempre haverá um erro. Por isso, esse processo de aproximação é limitado.

O erro $E$ do processo de aproximação linear é dado por:
$$E=V_v-V_a$$
onde $V_v$ é o valor verdadeiro e $V_a$ é o valor aproximado. Assim:
$$E=f(x)-\biggr[f(x_1)-f^\prime (x_1)(x-x_1)\biggr]$$
Vejam que o erro depende de $x$, determinando uma função $E$ dada pela equação:
\begin{equation}
E(x)=f(x)-f(x_1)-f^\prime (x_1)(x-x_1)
\end{equation}
Geometricamente, $E(x)$ é a diferença entre a altura acima de $(x,0)$ do gráfico de $f$ e a altura acima de $(x,0)$ da reta tangente a esse gráfico em $(x_1,y_1)$.
[Figura 2]

Notem que:
\begin{equation}
\lim _{x \rightarrow x_1} E(x)=\lim _{x \rightarrow x_1} \biggr[f(x)-f(x_1)-f^\prime (x_1)(x-x_1) \biggr]=0
\end{equation}
De modo que o erro $E(x)$ tende a zero quando $x$ se aproxima de $x_1$. Na verdade, o fato mais importante é perceber que quando $x$ tende a $x_1$, $E(x)$ tende a zero tão rapidamente quanto a razão $\displaystyle \frac{E(x)}{x-x_1}$ continua  tendendo a zero.

Quando $x$ tende a $x_1$, o denominador $x-x_1$ tende a zero, mas o numerador $E(x)$ tende a zero tão rapidamente que a influência do denominador é desprezada.

Para vermos que o limite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_1} \frac{E(x)}{x-x_1}=0$, fazemos:
\begin{matrix}
\lim_{x \rightarrow x_1} \frac{E(x)}{x-x_1}&=&\lim_{x \rightarrow x_1} \frac{f(x)-f(x_1)-f^\prime (x_1)(x-x_1)}{x-x_1}\\
&=& \lim_{x \rightarrow x_1}\biggr[\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}-f^\prime(x_1)\biggr]\\
&=& \lim_{x \rightarrow x_1}\biggr[\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1} \biggr]-f^\prime(x_1)\\
\end{matrix}
Seja $\Delta x=x-x_1$. Assim $x=\Delta x+x_1$ e a condição $x \rightarrow x_1$ é equivalente à condição $\Delta x \rightarrow 0$. Segue que:
\begin{matrix}
\lim_{x \rightarrow x_1} \frac{E(x)}{x-x_1}&=&\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\biggr[ \frac{f(x_1+\Delta x)-f(x_1)}{\Delta x}\biggr] -f^\prime(x_1)\\
&=& f^\prime(x_1)-f^\prime(x_1)=0\\
\end{matrix}

Exemplo 3: Aproxime a raiz cúbica $\displaystyle \sqrt[3]{1,008}$ e calcule o erro da aproximação.

Fazemos $f(x)=\sqrt[3]{x}$ e sua derivada será $\displaystyle f^\prime (x)=\frac{1}{3x^{2/3}}$. Uma boa aproximação é 1, assim, $x_1=1$.
$$\sqrt[3]{1,008}\approx f(1)+f^\prime \left(1\right)(1,008-1)$$
$$\sqrt[3]{1,008}\approx1,002666\cdots$$
O valor real para $\sqrt[3]{1,008}$ até a sexta casa decimal é $1,002659$. Vejam que o valor aproximado é muito bom.

O erro $E(x)$ da aproximação é dado por:
$$E(x)=(1,002659)-1-\frac{1}{3}(1,008-1)=-7,6\times 10^{-6}$$
Realmente um erro muito pequeno, mas ainda assim é apenas uma aproximação. Para aplicações no mundo real, talvez fosse aceitável uma aproximação com $50$ casas decimais.

Referências:

[1] Cálculo - Munem-Foulis
[2] Cálculo com Geometria Analítica - Simmons

Veja mais:

Aplicação de Derivadas Para Determinação de Máximos e Mínimos
Utilizando Tábuas de Logaritmos Para Encontrar Aproximações de Raízes
Algumas Observações Sobre Notação de Derivada

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