11/02/2014

Funções Trigonométricas Inversas: A Função Arco Seno


As funções trigonométricas inversas têm várias aplicações. No Cálculo, especialmente, as funções arco seno e arco tangente foram desenvolvidas para permitir a resolução de certas integrais, tais como:
\begin{equation}
\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\text{arcsen}(x)
\end{equation}
e
\begin{equation}
\int \frac{dx}{1+x^2}=\text{arctg}(x)
\end{equation}
Do estudo de trigonometria no Ensino Médio, sabemos, por exemplo, que o $\text{sen}(\pi/6)=1/2$. E se nos pedirem para encontrar um ângulo em radianos cujo seno vale $1/2$, facilmente respondemos que esse ângulo é $\pi/6$. Mas, se analisarmos o círculo trigonométrico, podemos concluir que existem muitos outros ângulo cujos seno vale $1/2$.

Simbolicamente, denotamos um ângul cujo seno é um dado número $x$ por:
\begin{equation}
\text{sen}^{-1}(x) \qquad \text{ou} \qquad \text{arcsen}(x)
\end{equation}
Apesar dessa notações serem equivalentes, as segunda é mais usual. A primeira lê-se "o seno inverso de $x$" e a segunda "o arco cujo seno de $x$". No entanto, ambas significam "um ângulo cujo seno é".

Temos que deixar claro que no símbolo $\text{sen}^{-1}(x)$, o $-1$ não é um expoente, de modo que $\text{sen}^{-1}(x)$ não é o mesmo que $1/\text{sen}(x)$.

Para ficar mais claro, podemos pensar assim:
\begin{equation*}
x=3y \qquad \text{e} \qquad y=\frac{1}{3}x
\end{equation*}
As duas equações têm o mesmo significado. A primeira resolvida para $x$ e a outra resolvida para $y$. Analogamente, temos:
\begin{equation}
x=\text{sen}(y) \qquad \text{e} \qquad y=\text{arcsen}(x)
\end{equation}
O gráfico da inversa $f^{-1}$ de uma função $f$ é obtido pela simetria do gráfico de $f$ em relação à reta $y=x$.


Entretanto, para que $f$ tenha realmente uma função inversa, a simetria do gráfico de $f$ em relação à reta $y=x$ não pode passar sob si mesma.

O gráfico da função seno forma um padrão que se repete indefinidamente por ser periódica:

Quando este gráfico é refletido sobre a reta $y=x$, o gráfico resultante passa repetidamente sob si mesmo:

Fica claro que $y$ existe somente quando $x$ está no intervalo $-1\leq x \leq 1$. Mas para qualquer valor de $x$ nesse intervalo, existem infinitos valores de $y$ correspondentes. Mas para que $y=\text{arcsen}(x)$ seja considerada uma função, essa situação não pode ser permitida.

No entanto, a função seno é monotonamente crescente no intervalo $[-\pi/2, \pi/2]$, logo, nesse intervalo, ela tem uma inversa. Então, por meio de um acordo universalmente aceito, os únicos valores de $y=\text{arcsen}(x)$ que consideramos são aqueles que estão no intervalo $-\pi/2 \leq y \leq \pi/2$ e é essa restrição que dá significado ao símbolo $y=\text{arcsen}(x)$ e seu gráfico fica:

Temos que deixar claro que para o símbolo $\text{arcsen}$, a terminologia não é totalmente correta, pois a função seno não tem inversa, se definida em todo $\mathbb{R}$. Logo, o $\text{arcsen}$ realmente não é a inversa da função seno, mas é a inversa da porção da função cujo gráfico está entre o intervalo $-\pi/2 \leq x \leq \pi/2$.

Para a derivada  $dy/dx$ da função $\text{arcsen}(x)$, tomamos inicialmente a derivada da função seno:
\begin{equation}
x=\text{sen}(y)
\end{equation}
Derivamos implicitamente em relação a $x$, obtendo:
\begin{equation*}
1=\cos(y)\frac{dy}{dx}
\end{equation*}
Manipulando esse resultado:
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos(y)}=\frac{1}{\sqrt{1-\text{sen}^2(y)}}
\end{equation*}
Mas, por $(5)$, $x=\text{sen}(y)$, logo:
\begin{equation}
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\end{equation}
Como a função $\text{arcsen}(x)$ é crescente, tomamos a raiz quadrada positiva.

A partir do resultado acima, obtemos uma extensão da regra da cadeia:
\begin{equation}
\frac{d}{dx}\text{arcsen}(u)=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\frac{du}{dx}
\end{equation}
sendo $u$ qualquer função derivável de $x$.

Exemplo $1$: Calcular $dy/dx$ para $y=\text{arcsen}(4x)$.

Utilizaremos a fórmula dada em $(7)$, fazendo $u=4x$:
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-(4x)^2}}\frac{d}{dx}(4x)=\frac{4}{\sqrt{1-16x^2}}
\end{equation*}

Exemplo $2$: Calcular $dy/dx$ para $y=\text{arcsen}(x^3)$.

Fazemos $u=x^3$:
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-(x^3)^2}}\frac{d}{dx}(x^3)=\frac{3x^2}{\sqrt{1-x^6}}
\end{equation*}

Podemos obter a integral em $(1)$, simplesmente invertendo a fórmula de diferenciação para a função arco seno. Assim:
\begin{equation}
\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\text{arcsen} (x)+C , \forall \mid x \mid <1
\end{equation}
vem diretamente da fórmula de derivada de $\text{arcsen}(x)$. Podemos generalizar $(8)$ como:
\begin{equation}
\int \frac{du}{\sqrt{a^2-x^2}}=\text{arcsen}\left( \frac{x}{a} \right)+C, \forall a>0 \text{ e} \mid x \mid <a
\end{equation}
Para a prova de $(9)$, fazemos a substituição $x=au$ de modo que $dx=adu$, assim:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int \frac{adu}{\sqrt{a^2-a^2u^2}}=\int \frac{adu}{\sqrt{a^2}\sqrt{1-u^2}}=\int \frac{adu}{a\sqrt{1-u^2}}=\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\text{arcsen}(u)+C
\end{equation*}
Mas $u=x/a$, logo:
\begin{equation}
\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\text{arcsen}\left(\frac{x}{a}\right)+C
\end{equation}

Exemplo $3$: Calcular a integral $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{1-9x^2}}$.

Fazemos $u=3x$ e $du=3dx$. Assim:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{\sqrt{1-9x^2}}=\frac{1}{3} \int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\frac{1}{3} \text{arcsen}(u)+C=\frac{1}{3}\text{arcsen}(3x)+C
\end{equation*}

Exemplo $4$: Calcular a integral $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}$.

Podemos reescrever a integral como:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{\sqrt{3^2-x^2}}
\end{equation*}
E aplicando a fórmula $(9)$, obtemos:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{\sqrt{3^2-x^2}}=\text{arcsen}\left(\frac{x}{3}\right)+C
\end{equation*}

Exemplo $5$: Calcular a integral $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{1-16x^2}}$.

Fazemos $u=4x$ e $du=4dx$. Assim:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{\sqrt{1-(4x)^2}}=\frac{1}{4}\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\frac{1}{4}\text{arcsen}(4x)+C
\end{equation*}

Referências:

[1] Cálculo V1 - Munem-Foulis
[2] Cálculo com Geometria Analítica V1 - Simmons


Veja mais:

Integração por Substituição Trigonométrica
Uma Série Infinita para a Função Arco Seno
Aplicações da Sagita no blog Fatos Matemáticos

8 comentários:

  1. A integral do exemplo 4 ficaria
    $$ \frac{1}{9} \int \sec \theta \,\, \mathrm{d}\theta = \frac{1}{9} \ln \left| \sec\theta + \tan\theta\right| + C $$
    $$ = \frac{1}{9} \ln \left| \frac{x+3}{\sqrt{9 - x^2}} \right| + C $$
    $$ = \frac{1}{18} \ln \left| \frac{3+x}{3-x} \right| + C $$

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    Respostas
    1. Olá Mateus. Seu comentário me fez ver que havia faltado digitar a raiz no denominador. Corrigido.

      Obrigado e um abraço.

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  2. professor, obrigado mais uma vez!

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  3. ÓTIMO PARA CRIANÇAS E ADOLESCENTES SUPERDOTADOS!!!!!!!

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  4. realmente uma demonstração perfeita, ajudou bastante muito obrigado!!!

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  5. Professor, o senhor poderia me ajuda com essa integral (integral de dx/sqrt(2-5x^2)

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    Respostas
    1. Veja a resolução nos links:

      https://goo.gl/photos/EQ7mpzmqzQtXmTLN6

      https://goo.gl/photos/25D5iyvUsBH14fbN9

      Excluir

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