05/04/2014

Soma dos Ângulos Internos e Externos de um Polígono Convexo

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo depende da quantidade de lados que esse polígono possui; já a soma dos ângulos externos de um polígono convexo é uma constante e vale $360^\circ$.

Ângulos Internos

Definição $1$: Ângulo interno de um polígono é o ângulo formado por dois de seus lados, que seja interno ao polígono.

[Figura 1]

Teorema $1$: A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de $N$ lados é dada pela fórmula:
\begin{equation}
S_\alpha = (N-2)\cdot 180^\circ
\end{equation}
onde:

$\bullet$ $S_\alpha$ é a soma dos ângulos internos;
$\bullet$ $N$ é o número de lados do polígono.

Demonstração: Tomando um polígono convexo, para $N>3$, podemos decompô-lo em triângulos, traçando diagonais a partir de um vértice qualquer:

[Figura 2]

Vejam que há uma relação entre o número de lados do polígono e a quantidade de triângulos em que podemos decompô-lo:

[Tabela 1]

Como soma das medidas dos ângulo internos de um polígono é igual à soma das medidas dos ângulos internos de todos os $N-2$ triângulos que o compõe, e como a soma das medidas dos ângulos internos de cada triângulo é igual a $180^\circ$, temos:
\begin{equation}
S_\alpha = (N-2) \cdot 180^\circ
\end{equation}
Uma consequência direta desse resultado é a determinação do ângulo interno de um polígono regular, dado por:
\begin{equation}
\alpha = \frac{(N-2)\cdot 180^\circ}{N}
\end{equation}
onde $\alpha$ é a medida de cada ângulo interno de um polígono regular de $N$ lados.

Ângulos Externos


Definição $2$: Ângulo externo de um polígono é aquele suplementar ao ângulo interno em um dado vértice, formado pelo prolongamento de um dos lados e o lado adjacente.

[Figura 3]

Teorema $2$: A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo de $N$ lados é igual a $360^\circ$:
\begin{equation}
S_\beta = \beta_1, \beta_2, \beta_3, \cdots, \beta_N=360^\circ
\end{equation}
onde:

$\bullet$ $\beta_N$ é o ângulo externo do polígono;
$\bullet$ $S_\beta$ é a soma dos ângulos externos.

Demonstração: Partimos do fato que a soma dos ângulos interno e externo é igual a um ângulo raso. Assim:
\begin{equation}
\alpha + \beta = 180^\circ
\end{equation}
Então, para cada par de ângulos associados a um lado $N$ do polígono, temos:
\begin{equation}
\begin{matrix}
\alpha_1 + \beta_1 = 180^\circ\\
\alpha_2 + \beta_2 = 180^\circ\\
\alpha_3 + \beta_3 = 180^\circ\\
\vdots \\
\alpha_N + \beta_N = 180^\circ\\
\end{matrix}
\end{equation}
Somando membro a membro as $N$ igualdades, obtemos:
\begin{equation}
S_\alpha + S_\beta = N \cdot 180^\circ
\end{equation}
onde:

$\bullet$ $S_\alpha$ é a soma dos ângulos internos;
$\bullet$ $S_\beta$ é a soma dos ângulos externos;
$\bullet$ $N$ é o número de lados do polígono.

Manipulando a equação $(7)$, obtemos:
\begin{equation}
S_\beta = N \cdot 180^\circ - S_\alpha
\end{equation}
Substituindo $S_\alpha$ dada na equação $(2)$, obtemos:
\begin{equation}
\begin{matrix}
S_\beta = N\cdot 180^\circ - (N-2) \cdot 180^\circ\\
S_\beta = N\cdot 180^\circ - N\cdot 180^\circ + 360^\circ\\
S_\beta = 360^\circ
\end{matrix}
\end{equation}
Uma consequência imediata desse resultado é a determinação da medida de um ângulo externo de um polígono regular, dada por:
\begin{equation}
\beta = \frac{S_\beta}{N} \qquad \text{ou} \qquad \beta = \frac{360^\circ}{N}
\end{equation}
onde $\beta$ é a medida de cada ângulo externo de um polígono regular de $N$ lados.

Exemplo $1$: Calcular a soma das medidas dos ângulos internos de um heptágono.

Temos que $N=7$, já que o polígono é um heptágono. Assim:
\begin{matrix}
S_\alpha=(N-2)\cdot 180^\circ \\
S_\alpha= (7-2)\cdot 180^\circ\\
S_\alpha= 5\cdot 180^\circ\\
S_\alpha = 900^\circ
\end{matrix}
Desse modo, a soma dos ângulos internos de um heptágono vale $900^\circ$.

Exemplo $2$: Calcular a soma das medidas dos ângulos internos de um eneágono regular e determinar a medida de cada ângulo externo.

Temos que $N=9$. Fazemos:
\begin{matrix}
S_\alpha = (N-2)\cdot 180^\circ\\
S_\alpha = (9-2) \cdot 180^\circ\\
S_\alpha = 7 \cdot 180^\circ\\
S_\alpha = 1260^\circ
\end{matrix}
Para sabermos quanto vale cada ângulo interno, dividimos a soma dos ângulos internos por $9$, obtendo $140^\circ$. Agora, para calcularmos o ângulo externo, basta fazermos:
\begin{matrix}
\beta = 180^\circ - \alpha\\
\beta = 180^\circ - 140^\circ\\
\beta = 40^\circ
\end{matrix}

Exemplo $3$: Qual polígono possui a soma das medidas dos ângulos internos igual a $1800^\circ$?

Basta aplicarmos a fórmula:
\begin{matrix}
S_\alpha = (N-2) \cdot 180^\circ\\
1800^\cdot = 180^\circ \cdot N - 360^\circ\\
180^\circ \cdot N = 2160^\circ\\
N = 12
\end{matrix}
Logo, o polígono procurado é o dodecágono.

Exemplo $4$: Qual polígono regular possui a medida dos ângulos externos igual a $60^\circ$?

Aplicamos a fórmula dada em $(10)$:
\begin{matrix}
\beta = \frac{360^\circ}{N}\\
N = \frac{360^\circ}{60}=6
\end{matrix}
Logo, o polígono em questão é um hexágono.

Exemplo $5$: Qual é o polígono regular cuja medida do ângulo interno é o triplo da medida do ângulo externo?

Podemos escrever que $\alpha = 3\beta$. E agora substituirmos as equações $(3)$ e $(10)$:
\begin{matrix}
\frac{(N-2)\cdot 180^\circ}{N} = 3\cdot \frac{360^\circ}{N}\\
180^\circ \cdot N - 360^\circ = 1080^\circ\\
180^\circ \cdot N = 1440^\circ\\
N=8
\end{matrix}

Referências:

$[1]$ Fundamentos de Matemática $7^a$ - Ismael Reis - Ed. Moderna 


Veja mais:

O Ângulo Interno de um Polígono Regular
Teorema do Ângulo Inscrito
A Soma dos Ângulos Internos de um Triângulo  no blog Fatos Matemáticos

15 comentários:

  1. Ótima abordagem, o assunto foi explicado de uma maneira bastante objetiva e clara, tenho certeza que esse post irá tirar a dúvida de muitas pessoas que desejam saber o motivo da soma interna e externa dos ângulos terrem essas relações!

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    1. Olá Diego. Obrigado pelo comentário motivador. É um assunto interessante. Espero que possa ajudar aos estudantes.

      Um grande abraço!

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  2. Olá conheci seu blog através do Educadores e Multiplicadores
    Suas postagens são interessantes e esclarecedoras, e de um modo geral irá produzir frutos.
    Continue nesta missão, de espalhar o conhecimento e o amor.

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  3. Ajudooooooooooooo muitooooooo , Goosteei , Vleeu paarçaaa !" sz

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  4. Ótima postagem, Parabéns !!!

    Só deixando uma correção. No Teorema 2 está:

    "Teorema 2: A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo de N lados é igual a 180∘:".

    No final é 360º, mas dá pra notar que é um erro de digitação pois abaixo disso está 360º.

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    1. Obrigado amigo pela leitura atenta. Já está corrigido.

      Um abraço.

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  5. um polígono de cinco lados possui cinco ângulos externos ?E vredadeirp ou falso? me ajuda por favor !

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  6. Muito bom , muito boa a abordagem e as explicações estão muito claras

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  7. Qual é a soma dos ângulos internos de um dodecágono

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    1. Um dodecágono é o polígono que possui 12 lados. Assim, utilizamos a fórmula:
      $$S_{\alpha} = (N-2)\cdot 180$$
      $$S_{\alpha} = (12-2)\cdot 180$$
      $$S_{\alpha} = 10 \cdot 180$$
      $$S_{\alpha} = 1800$$
      Assim, a soma dos ângulos internos de um dodecágono é de $1800^\circ$.

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  8. Quantos lados têm um polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é 2160

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    1. Substituimos $2160$ na fórmula:
      $$S_{\alpha} = (N-2)\cdot 180$$
      $$2160 = (N-2) \cdot 180$$
      $$\frac{2160}{180} = N-2$$
      $$12 = N-2$$
      $$N=14$$
      Assim, o polígono cuja soma dos ângulos internos é de $2160$, possui $14$ lados.

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  9. Muito obrigado seu site e um dos melhores Valeu!!!

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  10. Qual a soma dos angulo externos de 14 ??

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$$a^2+b^2=c^2$$
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