26 de jul de 2014

Resolução da Integral $\int \frac{1}{(x^2-1)^2}dx$

Integrais por frações parciais às vezes podem ser complicadas de serem resolvidas. Às vezes é mais complicado encontrar as frações parciais equivalente ao integrando do que resolver as integrais obtidas após este processo. Este é um exemplo interessante porque além de trabalharmos com métodos de integração, utilizamos o método de eliminação de Gauss na resolução do sistema linear que geram as frações parciais. Veremos passo a passo cada etapa desta resolução.

Seja a integral:
\begin{equation}
\int \frac{1}{(x^2-1)^2}dx=I
\end{equation}
Sugiro a leitura do artigo sobre o método de integração por frações parciais. Primeiramente, fatoramos o denominador do integrando:
\begin{equation}
I = \int \frac{1}{(x^2-1)(x^2-1)}dx = \int \frac{1}{(x+1)(x-1)(x+1)(x-1)}dx
\end{equation}
Como há fatores lineares no denominador e eles se repetem, este é o segundo caso do método para denominadores lineares. Vejam o o artigo aqui. O integrando deve ser:
\begin{equation}
\frac{1}{(x+1)^2(x-1)^2}=\frac{A}{(x+1)}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{(x-1)}+\frac{D}{(x-1)^2}
\end{equation}
 Eliminando o denominador, obtemos:
\begin{equation*}
1=A(x+1)(x-1)^2+B(x-1)^2+C(x-1)(x+1)^2+D(x+1)^2
\end{equation*}
Aplicando a distributiva:
\begin{equation*}
1=Ax^3-Ax^2-Ax+A+Bx^2-2Bx+B+Cx^3+Cx^2-Cx-C+Dx^2+2Dx+D
\end{equation*}
Fatorando as potências:
\begin{equation*}
1=x^3(A+C)+x^2(-A+B+C+D)+x(-A-2B-C+2D+A+B-C+D
\end{equation*}
Agora, igualamos os coeficientes dos dois membros da relação, obtendo o sistema linear:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
-A & +B & +C & +D &=0\\
-A & -2B & -C &+2D &=0 \\
A & +B & -C & +D &=1\\
A &  & +C & &=0
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Para resolver este sistema, utilizaremos o Método de Eliminação de Gauss (escalonamento), deixando o sistema triangular superior. Para eliminar o termo que contém $A$ da segunda equação, somamo-a à primeira equação multiplicada por $-1$; Para eliminar o termo que contém $A$ da terceira equação, basta somarmos com a primeira equação; E o mesmo ocorre com a quarta equação. Então obtemos:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
-A & +B & +C & +D &=0\\
 & -3B & -2C & +D &=0 \\
 & +2B &  & +2D &=1\\
 & B & +2C & D&=0
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Para facilitar o escalonamento, utilizaremos as propriedades, trocando a quarta pela segunda equação, e a segunda pela terceira equação:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
-A & +B & +C & +D &=0\\
 & B & +2C & D&=0\\
 & -3B & -2C & +D &=0 \\
 & +2B &  & +2D &=1\\
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Para eliminarmos o termo que contém $B$ da terceira e quarta equações, somamos a terceira equação com a segunda multiplicada por $3$; e somamos a quarta equação com a segunda multiplicada por $-2$. Obtemos:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
-A & +B & +C & +D &=0\\
 & B & +2C & D&=0\\
 &  & 4C & +4D &=0 \\
 &  & -4C &  &=1\\
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Temos imediatamente que $C=-1/4$. Substituindo $C$ na terceira equação, obtemos $D=1/4$. Substituindo $C$ e $D$ na segunda equação, obtemos $B=1/4$. Finalmente, substituindo $B$, $C$ e $D$ na primeira equação, obtemos $A=1/4$. Agora já temos condições de substituir estes valores nas frações parciais :
\begin{equation}
I=\int \left( \frac{1}{4(x+1)}+\frac{1}{4(x+1)^2}-\frac{1}{4(x-1)}+\frac{1}{4(x-1)^2}\right) dx
\end{equation}
Integrando termo a termo:
\begin{equation}
I=\frac{1}{4}\int\frac{dx}{(x+1)}+\frac{1}{4}\int \frac{dx}{(x+1)^2}-\frac{1}{4}\int \frac{dx}{(x-1)}+\frac{1}{4}\int \frac{dx}{(x-1)^2}
\end{equation}
Para resolvermos cada uma das quatro integrais acima, utilizaremos o Método da Substituição. Fazemos:

$\bullet$ Para o integrando $\displaystyle \frac{1}{(x+1)}$, fazemos $u=x+1$ e $du=dx$;
$\bullet$ Para o integrando $\displaystyle \frac{1}{(x+1)^2}$, fazemos $v=x+1$ e $dv=dx$;
$\bullet$ Para o integrando $\displaystyle \frac{1}{(x-1)}$, fazemos $p=x-1$ e $dp=dx$;
$\bullet$ Para o integrando $\displaystyle \frac{1}{(x-1)^2}$, fazemos $w=x-1$ e $dw=dx$.

Substituindo em cada integral de  $(9)$, obtemos:
\begin{equation}
\begin{matrix}
I=\frac{1}{4}\int \frac{du}{u}+\frac{1}{4}\int \frac{dv}{v^2}-\frac{1}{4}\int \frac{dp}{p}+\frac{1}{4}\int \frac{dw}{x^2}\\
I=\frac{1}{4}\ln (u)-\frac{1}{4v}-\frac{1}{4}\ln(p) - \frac{1}{4w}+C\\
I=\frac{1}{4}\left[\ln(u)-\ln(p)-\frac{1}{v}-\frac{1}{w}\right]+C
\end{matrix}
\end{equation}
Substituindo $u$, $v$, $p$ e $w$:
\begin{equation}
\begin{matrix}
I=\frac{1}{4}\left[\ln(x+1)-\ln(x-1)-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}\right]+C\\
I=\frac{1}{4}\left[\ln(x+1)-\ln(x-1)-\frac{(x-1)-(x+1)}{(x^2-1)}\right]+C\\
I=\frac{1}{4}\left[\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)-\frac{2x}{(x^2-1)}\right]+C
\end{matrix}
\end{equation}

Veja mais

Integral por Substituição
Integral por Frações Parciais - Fatores Lineares
Integral por Frações Parciais - Fatores Quadráticos

3 comentários:

  1. Eu acho que houve um erro ortográfico. A parte onde tá
    "Eliminando o denominador, obtemos:

    1=A(x+1)(x-1)²+B(x-1)²+C(x-1)(x+1)²+D(x-1)²"

    ao invés de termos D(x-1)² não seria D(x+1)² ?

    porque se dividirmos (x+1)²(x-1)² por (x-1)² teríamos (x+1)²..
    gostaria que conferisse.

    Sempre leio o site. Valeu ! \o

    Alex Chacon

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Chacon, preciso como sempre. Vacilo meu. Já está corrigido. Obrigado pela leitura atenta e por reportar o erro.

      Um abraço!

      Excluir
  2. Mateus Honório27/07/2014 16:22

    Aqui estão dois métodos que preferiria utilizar nesta integral:

    A primeira seria aplicar integração por partes na integral

    $$ \int \frac{1}{1 - x^2} \, \mathrm{d}x, $$
    cuja resolução é bem mais simples, bastando notar que
    $$ \frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x} \right ), $$
    resultando que
    $$ \int \frac{1}{1 - x^2} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\ln \left| \frac{1+x}{1-x}\right| + C. $$

    Sendo
    $$ I = \int \frac{1}{1 - x^2} \, \mathrm{d}x $$
    e integrando por partes com
    $$ v = x \qquad u = \frac{1}{1 - x^2} \qquad \mathrm{d}u = \frac{2x}{\left( 1 - x^2 \right)^2} \, \mathrm{d}x, $$

    vem que

    $$ \begin{aligned}I & =\frac{x}{1-x^{2}}-\int\frac{2x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}\,\mathrm{d}x\\
    & =\frac{x}{1-x^{2}}-2\int\frac{x^{2}-1+1}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}\,\mathrm{d}x\\
    & =\frac{x}{1-x^{2}}+2\int\frac{1-x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}\,\mathrm{d}x-2\int\frac{1}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}\,\mathrm{d}x\\
    & =\frac{x}{1-x^{2}}+2\int\frac{1}{1-x^{2}}\,\mathrm{d}x-2\int\frac{1}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}\,\mathrm{d}x.
    \end{aligned} $$

    Ou seja,

    $$ \begin{aligned}\int\frac{1}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}\,\mathrm{d}x & =\frac{1}{2}I+\frac{1}{2}\frac{x}{1-x^{2}}+C\\
    & =\frac{1}{4}\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|+\frac{1}{2}\frac{x}{1-x^{2}}+C.
    \end{aligned} $$

    O segundo método, bem mais elegante, é este:

    $$ \begin{aligned}\int\frac{1}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}\,\mathrm{d}x & =\frac{1}{2}\int\frac{x^{2}+1-\left(x^{2}-1\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}\,\mathrm{d}x\\
    & =\frac{1}{2}\int\frac{x^{2}+1}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}\,\mathrm{d}x+\frac{1}{2}\int\frac{1}{1-x^{2}}\,\mathrm{d}x\\
    & =\frac{1}{2}\int\frac{x^{2}\left({\displaystyle 1+\frac{1}{x^{2}}}\right)}{\left[x\left({\displaystyle x-\frac{1}{x}}\right)\right]^{2}}\,\mathrm{d}x+\frac{1}{4}\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|\\
    & =\frac{1}{2}\int\frac{{\displaystyle 1+\frac{1}{x^{2}}}}{\left({\displaystyle x-\frac{1}{x}}\right)^{2}}\,\mathrm{d}x+\frac{1}{4}\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right|\\
    & =\frac{1}{2}\int\frac{\left({\displaystyle x-\frac{1}{x}}\right)^{\!\prime}\mathrm{d}x}{\left({\displaystyle x-\frac{1}{x}}\right)^{2}}\,\mathrm{d}x+\frac{1}{4}\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right|\\
    & =-\frac{1}{2}\frac{1}{{\displaystyle x-\frac{1}{x}}}+\frac{1}{4}\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right|+C\\
    & =\frac{1}{2}\frac{x}{1-x^{2}}++\frac{1}{4}\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right|+C.
    \end{aligned} $$

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