30 de dez de 2014

Promoção: Sólidos Geométricos em Plástico


A Empresa MMP Materiais Pedagógicos nos forneceu um kit contendo $11$ sólidos geométricos em plástico para sorteio. Vejam o kit neste link: http://goo.gl/CVRM7N





Para participar:

- Seguir O Baricentro da Mente no Facebook
- Compartilhar o banner da promoção
- Preencher seus dados neste formulário: http://goo.gl/forms/cn5Q24qs6c
- Possuir um endereço fixo no Brasil para entrega

As inscrições serão aceitas até às 18h00 do dia 10/01/15. O resultado será divulgado até o fim do mesmo dia.

O sorteio será através da ferramenta online Sorteador: 

http://www.sorteador.com.br/index.php

Boa sorte!


Veja mais:

Conjunto de sólidos geométricos em plástico da MMP Materiais Pedagógicos

8 de dez de 2014

Conjunto de Sólidos Geométricos em Plástico da MMP Materiais Pedagógicos

O Conjunto de Sólidos Geométricos em Plástico é um aparato pedagógico desenvolvido pela empresa MMP Materiais Pedagógicos para que o professor possa explorar em sala de aula suas formas, reconhecendo seus elementos através de visualização, podendo ainda trabalhar na dedução de fórmulas, como as de áreas e volume.


O material:

O Conjunto é composto por $11$ sólidos geométricos, acondicionados em uma maleta plástica.

Os sólidos são construídos em plástico colorido e possuem um bom acabamento, com vértices e arestas bem definidas, possibilitando uma boa manipulação.

Os sólidos que compõem o kit são:

$1)$ Pirâmide de base triangular

$2)$ Pirâmide de base quadrada

$3)$ Pirâmide de base retangular

$4)$ Pirâmide de base hexagonal

$5)$ Pirâmide de base circular (cone)

$6)$ Prisma triangular

$7)$ Prisma retangular (paralelepípedo)

$8)$ Prisma hexagonal

$9)$ Hexaedro (cubo)

$10)$ Cilindro

$11)$ Esfera

Definições:

Antes de iniciar alguma atividade com os sólidos, talvez seja importante relembrar algumas definições.

Definição $1$: Sólido geométrico

Um sólido geométrico é uma região do espaço limitada por uma superfície fechada. Essas regiões são classificadas como poliedros e não-poliedros. Os poliedros, por sua vez, são divididos como côncavos e convexos, que é o nosso objetivo.

Definição $2$: Poliedros

Uma superfície poliédrica limitada convexa é o conjunto de um número finito de polígonos planos e convexos, tais que:

$a)$ dois polígonos não estão num mesmo plano;

$b)$ cada lado do polígono não está em mais do que dois polígonos;

$c)$ havendo lados de polígonos que estão em um só polígono, eles devem formar uma única poligonal fechada, plana ou não, chamada contorno;

$d)$ O plano de cada polígono deixa os demais num mesmo semi-espaço (condição de convexidade).

Exemplos de poliedros: cubo, paralelepípedo, tetraedro.

As superfícies poliédricas limitadas convexas que têm contorno são chamadas de abertas; as que não têm contorno são chamadas fechadas.

Definição $3$: Não-poliedros

Uma superfície não-poliédrica limitada convexa é o conjunto de um número finito de polígonos, sendo que pelo menos um polígono não seja plano.

Exemplos de não-poliedros: cilindro, cone, esfera.

Definição $4$: Poliedro regular (Poliedros de Platão)

Um poliedro é chamado de Poliedro de Platão se, e somente se, satisfaz as condições:

$a)$ todas as faces têm o mesmo número de arestas;

$b)$ todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número de arestas;

$c)$ a relação de Euler $V+F=A+2$ é verdadeira, onde $V$ é a quantidade de vértices, $A$ á quantidade de arestas e $F$ é a quantidade de faces do poliedro.

Relação de Euler:

O matemático suiço Leonhard Euler $(1707-1783)$ foi fantástico e uma de suas maravilhas é o que hoje conhecemos como Relação de Euler:
\begin{equation}
V+F=A+2
\end{equation}
onde $V$ é a quantidade de vértices, $F$ é a quantidade de faces e $A$ é a quantidade de arestas do poliedro.

Esta relação é válida para qualquer poliedro e pode-se utilizar os Sólidos Geométricos em Plástico em sala de aula para que os alunos encontrem esta relação em cada sólido.

O professor pode fornecer uma tabela contendo o nome dos poliedros e solicitar aos alunos que observem os sólidos e completem a tabela:

[Tabela 1 - a ser preenchida]

[Tabela 2 - preenchida]

A fim de testar o aluno, pode-se incluir nesta tabela o cone, o cilindro e a esfera, esperando que o aluno os identifique como não-poliedros e notem que falha a relação de Euler, pois:

$a)$ a esfera possui apenas uma superfície;

$b)$ o cone possui uma superfície curva (área lateral) e uma plana (base);

$c)$ o cilindro possui uma superfície curva (área lateral) e duas planas (bases).

Cálculo de áreas:

O professor pode usar os conceitos da Geometria Plana para trabalhar com os alunos o cálculo da área da base, das faces e da área lateral dos sólidos geométricos.

Área da base

Para os sólidos de base triangular é importante observar que a base é formada por um triângulo equilátero. Com isso, basta aplicar a fórmula trabalhada em sala.


Primeiramente encontramos a altura $a$ do triângulo equilátero que compõe a base em função do lado $\ell$, fazendo uso do teorema de Pitágoras:
\begin{equation}
 \ell ^2=a^2+\frac{\ell ^2}{4} \Longrightarrow  a=\frac{\ell \sqrt{3}}{2}
\end{equation}
E para a área da base:
\begin{equation}
A_T = \frac{\ell \cdot a}{2} = \frac{\ell ^2 \sqrt{3}}{4}
\end{equation}

Para os sólidos de bases retangulares, a área da base é dada pelo produto do comprimento pela profundidade, ou seja pelo produto dos lados adjacentes:


\begin{equation}
A_R = c \cdot p
\end{equation}

Para os sólidos de base hexagonal, deve-se notar que o polígono que forma a base é um hexágono regular. Isto implica que é formado por seis triângulos equiláteros:


\begin{equation}
A_H = 6\cdot \frac{\ell \cdot a}{2}
\end{equation}
Substituindo a relação $(2)$ na relação acima, obtém-se:
\begin{equation}
A_H=\frac{3 \ell^2 \sqrt{3}}{2}
\end{equation}
Para os sólidos com base circular (cone e cilindro), o professor pode fornecer o valor do raio $r$ do círculo ou pedir para os alunos medirem com um régua o seu diâmetro.


A área do círculo é dada por:
\begin{equation}
A_C=\pi r^2
\end{equation}
Aqui o professor pode relembrar que $\pi$ é uma constante irracional obtida pela razão do comprimento $C$ da circunferência pelo seu diâmetro $D$ e que independe do tamanho do raio:
\begin{equation}
\pi = \frac{C}{D}
\end{equation}

Área lateral:

Outro aspecto importante para o professor trabalhar com este material é a área lateral dos sólidos, pedido aos alunos que calculem a área de uma das faces e posteriormente, a área lateral multiplicando a área de uma face pela quantidade de faces que o sólido possui.

No caso das pirâmides, o aluno deve atentar-se que a altura do sólido não é a altura do triângulo que forma a face lateral (apótema da pirâmide). Se for necessário o professor deve orientar, deduzindo juntamente com o aluno uma forma de encontrar o apótema, para que tenha condições de calcular a área lateral.

Para os prismas, cada face é formada por um retângulo e a altura do sólido é a altura da face. A área da face é dada pelo produto do comprimento pela altura:

\begin{equation}
A_F=c\cdot a
\end{equation}

Para as pirâmides, cada face é formada por triângulos isósceles e a altura do sólido é diferente do apótema da pirâmide. Uma forma de encontrar o apótema da pirâmide é desenhar uma pirâmide e observar o triângulo retângulo formado. Basta então aplicar o Teorema de Pitágoras:


\begin{equation}
a^2=H^2+\left(\frac{\ell}{2}\right) ^2
\end{equation}
onde $a$ é o apótam da pirâmide, $H$ é a altura do sólido e $\ell$ é a medida da aresta da base, logo $\ell /2$ é o apótema da base.

Desta forma, a área lateral é calculada utilizando a fórmula para a área de triângulos, mas o aluno deve estar atento a cada elemento do sólido para que não haja confusão nas substituições.


Primeiramente deve-se calcular o apótema da pirâmide:
\begin{equation}
a^2=H^2+\frac{\ell ^2}{4}\\
a^2=\frac{4H^2 +\ell ^2}{4}\\
a=\frac{\sqrt{4H^2+\ell ^2}}{2}
\end{equation}
Agora calculamos a área da face:
\begin{equation}
A_F=\frac{\ell \cdot a}{2}=\frac{\displaystyle \ell \cdot \frac{\sqrt{4H^2+\ell ^2}}{2}}{2}=\frac{\ell \sqrt{4H^2 +\ell ^2}}{4}
\end{equation}
Para calcular a área lateral, basta multiplicar a área da face encontrada pela quantidade de faces do sólido.

Volume

O volume de um prisma é mais fácil de ser calculado, pois é o produto da área da base pela altura do sólido:
\begin{equation}
V_{\text{prisma}} = A_{\text{base}} \times \text{altura}\\
V_{\text{prisma}} = A_b \cdot H
\end{equation}
A fórmula acima é válida para qualquer prisma, seja de base triangular, retangular, hexagonal ou circular.

O volume de uma pirâmide é a terça parte do produto da área da base pela altura do sólido:
\begin{equation}
V_{\text{pirâmide}} = \frac{1}{3}\cdot A_{\text{base}} \times \text{altura}\\
V_{\text{pirâmide}} = \frac{A_b \cdot H}{3}
\end{equation}
Esta fórmula é válida para qualquer pirâmide regular, seja de base triangular, quadrada, hexagonal ou outra qualquer.

Esfera

A esfera é um caso à parte, pois as fórmulas acima não se aplicam a ela. Para sua área, usamos a fórmula:
\begin{equation}
A_{\text{esfera}} = 4\pi r^2
\end{equation}
E para seu volume, usamos:
\begin{equation}
V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3} \pi r^3
\end{equation}
Uma forma de obter o volume da esfera é através do Princípio de Cavalieri, que diz:

Se dois sólidos são tais que todo plano secante a eles e paralelo a um plano dado determina nos sólidos secções cuja razão é constante, então a razão entre os volumes desses sólidos é a mesma constante. Em outras palavras: dois sólidos com mesma altura têm o mesmo volume se seccionados por um plano paralelo ao plano onde estão assentados, geram áreas iguais.

Pode-se ainda encontrar a área da esfera a partir de seu volume utilizando apenas conceitos básicos de Geometria, dividindo a superfície da esfera em infinitos polígonos, sendo estes, bases de pirâmides com vértice no centro da esfera.

Veja mais:

A Prancha Trigonométrica
O Princípio de Cavalieri
O Volume da Pirâmide



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