29 de mar de 2015

Prova do Teorema de Pitágoras, baseado nas relações métricas da circunferência

Esta demonstração do teorema de Pitágoras, baseia-se nas relações métricas da circunferência.


Considere o triângulo $ABC$. Tomando como centro o ponto $B$ e raio igual a hipotenusa $AB$, traçamos uma circunferência.

A seguir prolongamos os catetos $AC$ e $BC$, interceptando a circunferência nos pontos $L$, $D$ e $E$ respectivamente.

Pelo teorema das cordas, temos:
\begin{equation}
AC \cdot CL = DC \cdot CE
\end{equation}
Note que
\begin{equation}
DC = DB + BC = AB + BC
\end{equation}
e
\begin{equation}
CL = AC
\end{equation}
e
\begin{equation}
CE = BE - BC = AB - BC
\end{equation}
Substituindo $(2)$, $(3)$ e $(4)$ em $(1)$, segue que:
\begin{equation}
AC^2 = (AB + BC) \cdot (AB - BC) = AB^2 - BC^2
\end{equation}
Logo:
\begin{equation}
AB^2 = AC^2 + BC^2
\end{equation}

Referências:

[1] Prova do Teorema de Pitágoras (5) no blog Fatos Matemáticos

Veja mais:

O Teorema de Pitágoras segundo Euclides
Construção geométrica de $\varphi$ em circunferências
Ternos Pitagóricos: A tábua de Plimpton $322$




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