26/04/2015

Relações métricas no triângulo retângulo

O triângulo retângulo possui diversas relações interessantes. Neste artigo veremos algumas relações métricas utilizando semelhança de triângulos.



Primeiramente, vamos relembrar algumas definições que serão importantes nas deduções que seguem:

Definição $1$: Triângulo retângulo

Um triângulo é chamado de triângulo retângulo se possuir um ângulo interno reto. O lado oposto ao ângulo reto recebe o nome de hipotenusa e os outros dois lados que formam o ângulo reto são chamados de catetos.


Definição $2$: Semelhança de triângulos

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, existe uma correspondência biunívuca, que associa os três vértices de um triângulo aos três vértices do outro triângulo, tais que:

$a)$ ângulos com vértices correspondentes são congruentes;
$b)$ Lados opostos a vértices correspondentes são iguais.



\begin{equation*}
\triangle ABC \sim \triangle DEF \Longleftrightarrow \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF} ~~\text{e} ~\left\{\begin{matrix}
\hat{A} & \cong  & \hat{D}\\
\hat{B} & \cong & \hat{E}\\
\hat{C} & \cong & \hat{F}
\end{matrix}\right.
\end{equation*}

Seja o triângulo $ABC$, reto em $\hat{A}$:


Temos que:

$\bullet$ $a$ é a hipotenusa;
$\bullet$ $b$ e $c$ são os catetos;
$\bullet$ $h$ é a altura do triângulo relativa à hipotenusa;
$\bullet$ $m$ é a projeção ortogonal do cateto $c$ sobre a hipotenusa;
$\bullet$ $n$ é a projeção ortogonal do cateto $b$ sobre a hipotenusa.

Demonstrações:

Para as demonstrações que seguem, vamos separar o triângulo $ABC$ em dois triângulos. Assim, teremos três triângulos semelhantes:



de modo que:
\begin{equation*}
\triangle ABC \sim \triangle DAB \sim \triangle DAC
\end{equation*}

$\bullet$ O triângulo $ABC$ é semelhante ao triângulo $DBA$:
\begin{equation*}
\triangle ABC \sim \triangle DBA \Longleftrightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{h} = \frac{c}{m}
\end{equation*}
Assim:
\begin{gather}
ah = bc \\
c^2 = am \\
bm = ch
\end{gather}

$\bullet$ O triângulo $ABC$ é semelhante ao triângulo $DAC$:
\begin{equation*}
\triangle ABC \sim \triangle DAC \Longleftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{b}{n} = \frac{c}{h}
\end{equation*}
Assim:
\begin{gather}
ah = bc \\
b^2 = an \\
bh = cn
\end{gather}

$\bullet$ O triângulo $DAB$ é semelhante ao triângulo $DAC$:
\begin{equation*}
\triangle DAB \sim \triangle DAC \Longleftrightarrow \frac{c}{b} = \frac{h}{n} = \frac{m}{h}
\end{equation*}
Assim:
\begin{gather}
cn = bh \\
bm = ch\\
h^2 = mn
\end{gather}

Somando membro a membro as relações $(2)$ e $(5)$ obtemos:
\begin{equation*}
b^2 +c^2 = an+am \\
b^2+c^2 = a(m+n)
\end{equation*}
No entanto,as projeções ortogonais $m$ e $n$ dos catetos $b$ e $c$ sobre a hipotenusa $a$, tem comprimento igual a $m+n=a$. Assim, chegamos ao Teorema de Pitágoras:
\begin{equation}
b^2+c^2 = a^2
\end{equation}

Exemplo $1$:

Determinar as medidas $a$, $h$, $m$ e $n$ no triângulo $ABC$ abaixo:



Da relação $(10)$, temos que:
\begin{equation*}
a^2=b^2+c^2 \Rightarrow a^2=3^2+4^2 \Rightarrow a^2=25 \Rightarrow a=5
\end{equation*}
Da relação $(4)$, temos que:
\begin{equation*}
ah=bc \Rightarrow 5h=3\cdot 4 \Rightarrow h = \frac{12}{5}
\end{equation*}
Da relação $(2)$, temos que:
\begin{equation*}
c^2=am \Rightarrow 3^2 = 5m \Rightarrow m=\frac{9}{5}
\end{equation*}
Da relação $(5)$, temos que:
\begin{equation*}
b^2=an \Rightarrow 4^2=5n \Rightarrow n=\frac{16}{5}
\end{equation*}
Assim, os valores procurados são: $a=5$, $\displaystyle \frac{12}{5}$, $\displaystyle m=\frac{9}{5}$ e $\displaystyle n=\frac{16}{5}$.

Exemplo $2$:

Calcular a altura relativa à base $\overline{BC}$ do triângulo isósceles abaixo:



Como o triângulo é isósceles,  altura $h$ divide o segmento $\overline{BC}$ em duas partes iguais. Assim, $\overline{BD}=\overline{CD}=4$. Aplicamos, então, o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo $DAC$:
\begin{equation*}
5^2=4^2+h^2 \Rightarrow h^2=9 \Rightarrow h=3
\end{equation*}
A medida procurada é $h=3$.

Exemplo $3$:

Num triângulo isósceles $ABC$, de lados iguais a $\overline{AB}=\overline{AC}=5$ e $\overline{BC}=8$, calcular a distância entre o ponto médio $M$ do segmento $\overline{BC}$ e um dos catetos.

Podemos representar o problema como a imagem abaixo:


Lembrando que a distância de um ponto a uma reta é o segmento que une o ponto à reta sendo perpendicular a ela. Na figura está representada pelo segmento $d=\overline{MN}$.

Primeiramente, vamos encontrar a medida $h$, utilizando-se do fato do triângulo ser isósceles. Assim, o segmento $\overline{CM}=4$. Aplicamos o teorema de Pitágoras:
\begin{equation*}
5^2 = 4^2 + h^2 \Rightarrow h^2 = 9 \Rightarrow h = 3
\end{equation*}
Agora, podemos aplicar a relação $(1)$ no triângulo $ACM$ para encontrarmos o segmento $d$:
\begin{equation*}
5d=3\cdot 4 \Rightarrow 5d = 12 \Rightarrow d = \frac{12}{5}
\end{equation*}
Assim, a medida procurada é $d=12/5$.

Referências:

[1] Matemática Volume Único - Manoel Paiva - Ed. Moderna

Veja mais:

Pontos notáveis de um triângulo
Teorema da base média de um triângulo
O Teorema de Pitágoras, segundo Euclides



19/04/2015

Integral indefinida do produto de cossenos de monômios de coeficientes angulares diferentes

Neste artigo, veremos como encontrar uma fórmula para calcular a integral do produto de dois cossenos, cujos argumentos são monômios.



Vamos demonstrar que:
\begin{equation}
\int \cos(ax) \cos(bx)dx = \frac{\text{sen}[(a-b)x]}{2(a-b)} + \frac{\text{sen}[(a+b)x]}{2(a+b)}
\end{equation}
onde $a$ e $b$ são constantes, tal que $a$ e $b$ $\in \mathbb{R}$ e $a \neq |b|$.

Demonstração:

Seja a integral:
\begin{equation}
I=\int \cos(ax) \cos(bx)dx
\end{equation}
Das fórmulas de adição e subtração de arcos, obtemos uma identidade trigonométrica que transforma um produto de cossenos em uma soma:
\begin{equation}
\cos(m+n) = \cos(m)\cos(n) - \text{sen}(m)\text{sen}(n)
\end{equation}
e
\begin{equation}
\cos(m-n) = \cos(m)\cos(n) + \text{sen}(m)\text{sen}(n)
\end{equation}
Somando $(3)$ e $(4)$, obtemos:
\begin{equation}
\cos(m-n)+\cos(m+n)= 2\cos(m)\cos(n)
\end{equation}
O que nos leva a:
\begin{equation}
\cos(m)\cos(n) = \frac{1}{2} \cos(m-n) + \frac{1}{2} \cos(m+n)
\end{equation}
Fazendo $m=ax$ e $n=bx$, temos que:
\begin{equation}
\cos(ax)\cos(bx) = \frac{1}{2} \cos[(a-b)x] + \frac{1}{2} \cos[(a+b)x]
\end{equation}
Substituindo na integral $(2)$, obtemos:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2} \int \left[ \cos[(a-b)x] + \cos[(a+b)x] \right] dx
\end{equation}
Integrando termo a termo:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2} \int \cos[(a-b)x] dx + \frac{1}{2} \int \cos[(a+b)x] dx
\end{equation}
Para o integrando $\cos[(a-b)x]$, fazemos a substituição $u=(a-b)x$. Assim, $du=(a-b)dx$ e $\displaystyle dx=\frac{du}{a-b}$. E para o integrando $cos[(a+b)x]$, fazemos a substituição $v=(a+b)x$. Assim $dv=(a+b)dx$ e $\displaystyle dx=\frac{dv}{a+b}$.

A integral fica:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2(a-b)}\int \cos(u)du + \frac{1}{2(a+b)} \int \cos(v)dv
\end{equation}
A integral de $\cos(\theta) = \text{sen}(\theta)$. Assim:
\begin{gather}
I = \frac{1}{2(a-b)} \cdot \text{sen}(u) + \frac{1}{2(a+b)} \text{sen}(v) +C\\

I = \frac{\text{sen}[(a-b)x]}{2(a-b)} + \frac{\text{sen}[(a+b)x]}{2(a+b)} + C
\end{gather}

Veja mais:

Integral indefinida do produto de senos de monômios de coeficientes angulares diferentes
Método de integração por substituição
Adição e subtração de arcos

18/04/2015

Integral indefinida do produto de senos de monômios de coeficientes angulares diferentes

Neste artigo, veremos como encontrar uma fórmula para calcular a integral do produto de dois senos, cujos argumentos são monômios.


Vamos demonstrar que:
\begin{equation*}
\int \text{sen}(ax) \cdot \text{sen}(bx)\ dx=\frac{\text{sen} [(a-b) x]}{2 (a-b)} - \frac{\text{sen}[(a+b) x]}{2 (a+b)}
\end{equation*}
onde $a$ e $b$ são constantes, tal que $a$ e $b$ $\in \mathbb{R}$, sendo $a \neq |b|$.

Demonstração:

 Pelas fórmulas de somas de ângulos, temos:
\begin{equation}
\cos(m+n) = \cos(m) \cos(n) - \text{sen}(m) \text{sen}(n)
\end{equation}
e
\begin{equation}
\cos(m-n) = \cos(m) \cos(n) + \text{sen}(m) \text{sen}(n)
\end{equation}
Subtraindo $1$ de $2$, vem que:
\begin{equation*}
\cos(m-n) - \cos(m+n) = \cos(m)\cos(n) + \text{sen}(m)\text{sen}(n) \\- \cos(m) \cos(n) + \text{sen}(m)\text{sen}(n)\\
\cos(m-n)-\cos(m+n) = 2~\text{sen}(m)\text{sen}(n)
\end{equation*}
Fazendo $m=ax$ e $n=bx$, obtemos:
\begin{equation*}
\cos(ax-bx) - \cos(ax+bx) = 2~\text{sen}(ax)\text{sen}(bx)\\
\frac{1}{2}\cos[(a-b)x] -\frac{1}{2}\cos[(a+b)x] = \text{sen}(ax)\text{sen}(bx)
\end{equation*}
Integrando ambos os lados, na variável $x$:
\begin{equation*}
L=\frac{1}{2} \int \cos [(a-b)x]dx - \frac{1}{2} \int \cos[(a+b)x]dx = \int \text{sen}(ax) \text{sen}(bx)dx
\end{equation*}
\begin{equation}
L=\frac{1}{2}(I-J) = \int \text{sen}(ax) \text{sen}(bx)dx\\
\end{equation}
onde:
\begin{equation}
I = \int \cos[(a-b)x]dx
\end{equation}
e
\begin{equation}
J = \int \cos [(a+b)x]dx
\end{equation}
Seja $u(x) = (a-b)x$. Derivamos o monômio de grau um para utilizarmo-nos do teorema da derivada da função inversa na integral $I$:
\begin{equation*}
u'(x) = a-b \Longrightarrow x'(u) = \frac{dx}{du} = \frac{1}{(a-b)}
\end{equation*}
Multiplicando o diferencial por $\displaystyle 1 = \frac{du}{du}$, o que não altera o resultado da expressão, obtemos:
\begin{equation*}
I = \int \cos [(a-b)x]dx = \int \cos(u)\frac{du}{du} dx = \int \cos (u) \frac{dx}{du} du \\
 I = \int \cos(u) \frac{1}{(a-b)} du
\end{equation*}
Lembrando-nos do fato de que $(a-b)$ é uma constante, pois $a$ e $b$ também os são, o inverso da constante também deve ser, contanto que exista, ou seja $a-b \neq 0 \Longrightarrow a\neq b$.

A primeira integral se resume a:
\begin{equation}
I = \frac{1}{(a-b)} \int \cos (u) du
\end{equation}
Chegamos à simples expressão da integral da função cosseno, que em uma breve consulta às tabelas de integrais notáveis, verificamos que deve ser igual à função seno, mantendo o argumento. Daí:
\begin{equation}
I = \frac{1}{(a-b)} \int \cos(u)du = \frac{1}{(a-b)} \text{sen}(u) = \frac{\text{sen}[(a-b)x]}{(a-b)} + C_1
\end{equation}
Faremos o mesmo processo para encontrar a integral $J$.

Seja $v(x) = (a+b)x$. Assim:
\begin{equation*}
v'(x) = a+b \Longrightarrow x'(v) = \frac{dx}{dv} = \frac{1}{(a+b)}
\end{equation*}
Multiplicando o diferencial por $\displaystyle 1 = \frac{dv}{dv}$, obtemos:
\begin{equation*}
J = \int \cos[(a+b)x]dx = \int \cos(v)\frac{dv}{dv} dx = \int \cos (v) \frac{dx}{dv} dv\\
J = \int \cos(v) \frac{1}{(a+b)}dv = \frac{1}{(a+b)} \int \cos(v)dv
\end{equation*}
Integrando obtemos:
\begin{equation}
J = \frac{1}{(a+b)} \int \cos(v)dv = \frac{1}{(a+b)} \text{sen}(v) = \frac{\text{sen}[(a+b)x]}{(a+b)} + C_2
\end{equation}
Novamente devemos verificar as condições de existência da constante. Uma rápida verificação nos mostra que $a+b \neq 0 \Longrightarrow a \neq -b$.

Unindo as relações $(7)$ e $(8)$ na integral $(3)$, obtemos:
\begin{equation*}
\int \text{sen}(ax) \text{sen}(bx) = \frac{1}{2}(I-J) = \frac{\text{sen}[(a-b)x]}{2(a-b)} - \frac{\text{sen}[(a+b)x]}{2(a+b)} + C
\end{equation*}

Autor: Mikael Marcondes
Graduação em Física pela USP e
Técnico em Eletrônica

Veja mais:

Resolução da integral $\int \text{sen}(3x) \text{sen}(5x)dx$
Fórmula de redução para alguns casos de integrais
Teste da integral para convergência de séries




11/04/2015

Resolução da integral $ \int \text{sen}(3x) \text{sen}(5x)dx$

Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma produto de senos em uma subtração de cossenos.



Seja a integral:
\begin{equation}
I = \int \text{sen}(3x) \text{sen}(5x) dx
\end{equation}
Temos um produto de senos que pode ser transformado em uma subtração de cossenos fazendo uso da seguinte identidade trigonométrica:
\begin{equation}
\text{sen}(a)\text{sen}(b) = \frac{1}{2}\left[\cos(a-b) - \cos(a+b)\right]
\end{equation}
Tomando esta identidade, fazemos $a=5x$ e $b=3x$. Assim, a integral se transforma:
\begin{gather}
I = \frac{1}{2} \int \left[\cos(5x-3x) - \cos(5x+3x)\right]dx\\
I = \frac{1}{2} \int \left[\cos(2x) - \cos(8x)\right] dx
\end{gather}
Integrando membro a membro:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2}\int \cos(2x)dx - \frac{1}{2}\int \cos(8x)dx
\end{equation}
Para o integrando $\cos(2x)$, usamos a substituição $u=2x$. Assim, $du=2dx$ e $\displaystyle dx =\frac{1}{2}du$. E para o integrando $\cos(8x)$, usamos a substituição $v=8x$. Assim, $dv=8dx$ e $\displaystyle dx = \frac{1}{8}dv$:
\begin{gather}
I = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \int \cos(u)du - \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{8} \int \cos(v)dv\\
I = \frac{1}{4} \int \cos(u)du - \frac{1}{16} \int \cos(v)dv
\end{gather}
A integral de $\cos(x)$ é $\text{sen}(x)$, assim:
\begin{gather}
I = \frac{1}{4} \text{sen}(u) - \frac{1}{16}\text{sen}(v) + C\\
I = \frac{1}{4} \text{sen}(2x) - \frac{1}{16} \text{sen}(8x) +C\\
I = \frac{1}{16} \left(4~\text{sen}(2x) - \text{sen}(8x)\right) + C
\end{gather}

Exemplo $1$:

Vamos determinar a área sob a curva $\text{sen}(3x)\text{sen}(5x)$ no intervalo $[0,\pi/4]$



A integral definida fica:
\begin{equation*}
I = \int_0^{\pi/4} \text{sen}(3x)\text{sen}(5x)dx
\end{equation*}
\begin{equation*}
I = \left[\frac{1}{4}\text{sen}(2x)-\frac{1}{16}\text{sen}(8x)\right]_0^{\pi/4}\\
I = \left[\frac{1}{4}\text{sen}\left(\frac{2\pi}{4}\right) - \frac{1}{16}\text{sen}\left(\frac{8\pi}{4}\right)\right] - \left[\frac{1}{4}\text{sen}(0) - \frac{1}{16}\text{sen}(0)\right]\\
I = \frac{1}{4}\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{1}{16}\text{sen}\left(2\pi\right)\\
I = \frac{1}{4}\cdot 1 - \frac{1}{16}\cdot 0\\
I = \frac{1}{4} = 0,25
\end{equation*}

Fórmula geral:

Percebi uma forma geral que esta integral em particular se apresenta. Carece de demonstração, mas funcionou para todos os valores que testei.

Se tivermos uma integral do tipo:
\begin{equation}
I= \int \text{sen}(ax)\text{sen}(bx)dx
\end{equation}
A solução será dada por:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2(b-a)}\text{sen}\left((b-a)x\right) - \frac{1}{2(b+a)}\text{sen}\left((b+a)\right)
\end{equation}
Vejamos alguns exemplos:
\begin{align*}
1)~I &= \int \text{sen}(4x) \text{sen}(5x)\\
&= \frac{1}{2(5-4)} \text{sen}((5-4)x) - \frac{1}{2(5+4)} \text{sen}((5+4)x)\\
&= \frac{1}{2}\text{sen}(x)-\frac{1}{18}\text{sen}(9x)
\end{align*}

\begin{align*}
2)~I &= \int \text{sen}(12x) \text{sen}(13x)\\
 &= \frac{1}{2(13-12)} \text{sen}((13-12)x) - \frac{1}{2(13+12)} \text{sen}((13+12)x)\\
&= \frac{1}{2}\text{sen}(x)-\frac{1}{50}\text{sen}(25x)
\end{align*}

\begin{align*}
3)~I &= \int \text{sen}(15x) \text{sen}(27x)\\
 &= \frac{1}{2(27-15)} \text{sen}((27-15)x) - \frac{1}{2(27+15)} \text{sen}((27+15)x)\\
&= \frac{1}{24}\text{sen}(12x)-\frac{1}{84}\text{sen}(42x)
\end{align*}

Veja mais:

Resolução da integral $\int \cos(x)\cos(2x)dx$
Método de integração por substituição
Teste da integral para convergências de séries



04/04/2015

Resolução da integral $\int \cos(x) \cos(2x)dx$

Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma um produto de cossenos em soma.



Seja a integral:
\begin{equation}
\int \cos(2x) \cos(x) dx
\end{equation}
Temos um produto de cossenos e os cálculos são facilitados utilizando a seguinte identidade trigonométrica, que transforma um produto de cossenos em uma soma:
\begin{equation}
\cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2} \left[ \cos(a-b) + \cos(a+b) \right]
\end{equation}
Tomando esta identidade, fazemos $a=2x$ e $b=x$. Assim, a integral se transforma:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2}\int \left[ \cos(2x-x) + \cos(2x+x)\right ] dx\\
I = \frac{1}{2}\int \left[ \cos(x) + \cos(3x)\right]dx
\end{equation}
Integrando termo a termo:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2} \int \cos(x) dx + \frac{1}{2} \int \cos(3x) dx
\end{equation}
A integral de $\cos(x) = \text{sen}(x)$. Assim:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2} \text{sen}(x) + \frac{1}{2} \int \cos(3x) dx
\end{equation}
Para o integrando $\cos(3x)$, usamos a substituição $u=3x$. Assim, $du=3dx$ e $\displaystyle dx=\frac{1}{3} du$:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{2} \text{sen}(x) + \frac{1}{2} \frac{1}{3} \int \cos(u) du\\
I = \frac{1}{2} \text{sen}(x) + \frac{1}{6} \int \cos(u) du\\
I = \frac{1}{2} \text{sen}(x) + \frac{1}{6} \text{sen}(u) + C\\
I = \frac{1}{2} \text{sen}(x) + \frac{1}{6} \text{sen}(3x) + C
\end{equation*}
ou
\begin{equation*}
I = \frac{1}{2} \left[\text{sen}(x) + \frac{1}{3} \text{sen}(3x)\right] + C
\end{equation*}
ou ainda:
\begin{equation}
I = \frac{1}{6} \left[ 3~\text{sen}(x) + \text{sen}(3x) \right] + C
\end{equation}

Exemplo $1$:

Vamos determinar a área sob a curva $\cos(x)\cos(2x)$ no intervalo $[0,\pi/2]$.



A integral definida fica:
\begin{equation*}
I = \int_0^{\pi /2} \cos(x)\cos(2x)dx
\end{equation*}
\begin{equation*}
I = \left[\frac{1}{2} \text{sen}(x) +\frac{1}{6} \text{sen}(3x)\right]_0^{\pi/2}\\
I = \left[\frac{1}{2} \text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)+\frac{1}{6}\text{sen}\left(\frac{3\pi}{2}\right)\right] - \left[\frac{1}{2}\text{sen}(0)+\frac{1}{6}\text{sen}(0)\right]\\
I = \frac{1}{2}\cdot 1 + \frac{1}{6}\cdot(-1)\\
I = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \approx 0,33333
\end{equation*}

Veja mais:

Integral de $\cos^2(x)dx$
Método de integração por substituição
Teste da integral para convergências de séries

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