3 de jun de 2015

Triângulos de áreas constantes na elipse

Leonhard Euler foi o matemático mais prolífico de todos os tempos, estudando vários problemas em várias áreas da Matemática. Em um pequeno artigo, ele discute algumas propriedades de triângulos inscritos em seções cônicas e neste post, veremos um relacionado a elipse na proposição abaixo.


Proposição

Seja $A(x_0,y_0)$ um ponto sobre a elipse
\begin{equation}
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\end{equation}
e passe por ele uma reta tangente $t$. A linha traçada do centro da elipse (ponto $B$) paralela a reta tangente $t$ intercepta a elipse no ponto $C$ conforme a figura acima. Então a área do triângulo $ABC$ não depende do ponto $A$ e sua área é igual ao semi-produto dos semi-eixos $a$ e $b$, isto é,
\begin{equation*}
S_{\triangle ABC} = \frac{ab}{2}
\end{equation*}

Demonstração

Seja $C(x_1,y_1)$ o ponto sobre a elipse tal que $BC$ é paralelo a reta tangente que passa pelo ponto $A(x_0,y_0)$. Por outro lado, derivando implicitamente a expressão $(1)$ em relação a $x$, temos:
\begin{equation}
\frac{2x}{a^2} + \frac{2yy^{\prime}}{b^2} = 0 \quad \Longrightarrow \quad y^{\prime} = -\frac{b^2x}{a^2y}
\end{equation}
No ponto $A(x_0,y_0)$, o coeficiente angular da reta tangente é dado por
\begin{equation*}
y^{\prime}(x_0,y_0) = -\frac{b^2x_0}{a^2y_0}
\end{equation*}
de modo que a equação da reta que passa pelos pontos $B$ e $C$ é dada por
\begin{equation*}
y - 0 = - \frac{b^2x_0}{a^2y_0}(x - 0) \quad \text{ou} \quad BC: \ y = -\frac{b^2x_0x}{a^2y_0}
\end{equation*}
Como $C \in BC$, então
\begin{equation}
a^2y_0y_1 = -b^2x_0x_1
\end{equation}
Mas,
\begin{equation*}
S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}|\vec{BA}\times \vec{BC}| = \frac{1}{2}|(x_0,y_0,0)\times (x_1,y_1,0)|
\end{equation*}
Sendo
\begin{equation*}
(x_0,y_0,0)\times (x_1,y_1,0) =\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_0 & y_0 & 0 \\x_1 & y_1 & 0 \\ \end{vmatrix} = (0,0,x_0y_1 - x_1y_0)
\end{equation*}
segue que
\begin{equation*}
4S_{\triangle ABC}^2 = (x_0y_1 - x_1y_0)^2 = x_0^2y_1^2 - 2x_0x_1y_0y_1 +x_1^2y_0^2
\end{equation*}
Substituindo $(3)$ nesta expressão, temos:
\begin{equation*}
4S_{\triangle ABC}^2 = x_0^2y_1^2 - 2x_0x_1\cdot \biggl(\frac{-b^2x_0x_1}{a^2}\biggr) + x_1^2y_0^2 \\

4S_{\triangle ABC}^2 = x_0^2\biggl(y_1^2 + \frac{2b^2x_1^2}{a^2}\biggr) + x_1y_0^2 \\

4S_{\triangle ABC}^2 = x_0^2\biggl[b^2\biggl(1 - \frac{x_1^2}{a^2}\biggr) + \frac{2b^2x_1^2}{a^2}\biggr] + b^2x_1^2\biggl(1 - \frac{x_0^2}{a^2}\biggr) \\

4S_{\triangle ABC}^2 = x_0^2\biggl(b^2 + \frac{b^2x_1^2}{a^2}\biggr) + b^2x_1^2 - \frac{b^2x_0^2x_1^2}{a^2}
\end{equation*}
\begin{equation}
4S_{\triangle ABC}^2 = b^2(x_0^2 + x_1^2)
\end{equation}

Novamente da expressão $(3)$,
\begin{equation*}
b^4x_0^2x_1^2 = a^4y_0^2y_1^2 \\
\ \\
b^4x_0^2x_1^2 = a^4b^2\biggl(1 - \frac{x_0^2}{a^2} \biggr)b^2\biggl(1 - \frac{x_1^2}{a^2} \biggr) \\
\ \\

x_0^2x_1^2 = (a^2 - x_0^2)(a^2 - x_1^2) = a^4 - a^2x_1^2 - a^2x_0^2 + x_0^2x_1^2 \\
\end{equation*}
\begin{equation}
x_0^2 + x_1^2 = a^2
\end{equation}

Substituindo $(5)$ em $(4)$, temos
\begin{equation*}
4S_{\triangle ABC}^2 = a^2b^2 \quad \Longrightarrow \quad S_{\triangle ABC} = \frac{ab}{2}
\end{equation*}

*Este artigo é uma republicação. O link do artigo original encontra-se nas referências.

Referências

[1] Triângulos de áreas constantes na elipse no blog Fatos Matemáticos

Veja mais:

A equação da elipse
O princípio de Cavalieri
Pontos notáveis de um triângulo



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$$a^2+b^2=c^2$$
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