28 de nov de 2015

Como encontrar o foco e a diretriz de uma parábola com régua e compasso

Neste artigo veremos como encontrar o foco e a reta diretriz de uma parábola dada, utilizando para isso, apenas régua não-graduada e compasso.



Para a construção da parábola, dispomos de $4$ métodos apresentados aqui no blog. Veja no rodapé deste artigo.

Dada uma parábola com sua concavidade voltada para cima e seu vértice $V$, traçamos seu eixo de simetria e a perpendicular passando por $V$. Se pensarmos no plano cartesiano, o eixo de simetria é o eixo dos $y$ e a perpendicular por $V$ é o eixo dos $x$ e o vértice da parábola está na origem.


Descreva duas circunferências tangentes ao eixo horizontal de modo que seus centros sejam pontos de um mesmo ramo da parábola. Marque os pontos de intersecção dessas circunferências como $A$ e $B$.



Trace um segmento passando pelos pontos $A$ e $B$ e marque a intersecção com o eixo de simetria como $C$. O ponto médio do segmento $\overline{VC}$ é o foco $F$ da parábola.



Para encontrarmos a reta diretriz, usamos a definição da parábola, que diz que a medida da parábola ao foco é igual à distância da parábola à reta diretriz. Centrada no vértice $V$, descrevemos uma circunferência de raio $\overline{VF}$. Pela intersecção com o eixo de simetria passa a reta diretriz, perpendicular a esta.



Escolhendo qualquer ponto da parábola, temos que a distância até o foco é a mesma até a reta diretriz.


Construção elaborada por: Bruno Henrique de Abreu
Compilador cristão 

Veja mais:

Construção geométrica de uma parábola com régua e compasso
Construção geométrica de uma parábola pelo método de Ibn Sinan
Construção geométrica de uma parábola pelo método de Werner
Construção geométrica de uma parábola pelo método das mediatrizes



8 de nov de 2015

Eudoxo e os incomensuráveis

A descoberta no século $V\ a.C.$ da existência de grandezas incomensuráveis (como a diagonal e o lado de um quadrado) abalou a matemática grega, dado o peso que meça tinha a escola pitagórica. Afinal esta escola apoiava-se na convicção de que o universo numérico não ultrapassava o que hoje chamamos de conjunto dos números racionais estritamente positivos. Ademais, o espírito do povo grego era muito diferente do povo babilônio, por exemplo, que aceitava as aproximações de números irracionais acaso surgidos em algum problema sem questionamento de ordem teórica. Os pitagóricos, por não encontrarem uma saída matemática satisfatória para o impasse, limitaram-se sempre, no caso de razões, àquelas entre grandezas comensuráveis.


A primeira teoria da proporções, envolvendo grandezas incomensuráveis, é a obra de Eudoxo (aproximadamente $408$ a $355\ a.C.$). Natural de Cnido, colônia grega situada na Ásia Menor, Eudoxo é considerado, depois de Arquimedes, o maior matemático da Antiguidade.

Muito jovem, deixou sua cidade natal para estudar Geometria com o pitagórico Arquitas. Depois seguiu para Atenas, onde estudou filosofia na Academia de Platão. Muito pobre, optou por morar na cidade de Pireu, a duas milhas de Atenas, onde a pensão era mais barata, fazendo a pé, todos os dias, o caminho de ida e volta à Academia. Esteve também meio ano no Egito aprendendo e depois fundou, em Cízico, uma escola que teve muito êxito. Com cerca de $40$ anos de idade voltou em visita a Atenas, acompanhado de alguns alunos, sendo recepcionado por Platão com um banquete. Retornou por fim a Cnido para ensinar e participar da vida da cidade, terminando seus dias cercado de prestígio.

A solução encontrada por Eudoxo para o problema da incomensurabilidade, embora brilhante, tinha como sério inconveniente o fato de ser meramente geométrica, o que contribuiu fortemente para que nos dois milênios seguintes a Geometria se tornasse praticamente a única base de rigor da Matemática.

Eudoxo introduziu a noção de grandeza para representar genericamente coisas como segmentos, ângulos, áreas, volumes e tempo, por exemplo, e a ideia de múltiplo de uma grandeza segundo um número natural não nulo. Assim, se $a$, $b$, $c$ e $d$ são grandezas ($a$ e $b$ da mesma espécie; $c$ e $d$ também da mesma espécie), o conceito de proporção segundo Eudoxo (e que irá figurar nos Elementos de Euclides como definição $5$ do livro $V$) é o seguinte:

Sendo $a/b=c/d$ se, e somente se, para quaisquer números naturais não nulos $m$ e $n$: $(ma=nb \Longrightarrow mc=nd)$ ou $(ma > nb \Longrightarrow mc > nd)$ ou $(ma<nb \Longrightarrow mc<nd)$.

Com isso, no fundo, o conjunto dos números racionais maiores que zero fica dividido em duas classes, aquela dos quocientes $m/n$ tais que $ma \leq nb$ e a dos quocientes $m/n$ para os quais $ma>nb$. Escapou aos gregos destacar o ente definido por essas classes, ou seja, o número real $\alpha$ que é a medida de $b$ em relação a $a$.

Outra criação importante de Eudoxo foi chamado (atualmente) método da exaustão para determinar áreas e volumes de figuras curvas. Tal método baseia-se, em última instância, num postulado que leva o nome de Arquimedes, mas que, segundo este, é devido a Eudoxo:

"Dada duas grandezas não nulas de mesma espécie, sempre há um múltiplo de uma que supera a outra".

Com isso, Eudoxo pôde provar, por exemplo, que as áreas de dois círculos estão entre si como os quadrados de seus raios e os volumes de duas esferas como os cubos de seus raios.

Resultados como esses, embora notáveis, por não se traduzirem em métodos numéricos, pões em relevo a face negativa da matemática de Eudoxo.

Texto de: Hygino H. Domingues

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V1 - Conjuntos e Funções - Gelson Iezzi e Carlos Murakami

Veja mais:

Arcos de circunferência
O Corpus Arquimediano
Os Elementos de Euclides



2 de nov de 2015

A arte de contar histórias em desenhos e o Teorema de Pitágoras

O povo Tchokwe habita predominantemente o nordeste de Angola e partes do noroeste da Zâmbia e as áreas adjacentes do sul da República do Congo. São conhecidos pelos seus trabalhos decorativos, nomeadamente em variadas peças de arte e artesanato e em desenhos na areia conhecidos como sona (plural de lusona). Estes desenhos de areia fazem parte da tradição oral Tchokwe. Servem antes de mais nada como memória no contar histórias. Os sona são desenhados por homens. Os rapazes aprendem a contar histórias e a desenhar sona como parte do seu ritual de iniciação. Os principiantes aprendem dos mestres de desenho a quem chamam akwa kuta sona.



Os sona são normalmente gráficos delineáveis que podem ser desenhados sem levantar o dedo ou passar duas vezes por cima da mesma linha. Para fazer um lusona, o artista começa por alisar a areia e usar a ponta dos dedos para criar uma grelha de pontos equidistantes, chamados tobe, que servem como suporte para o lusona. A imagem acima mostra uma grelha de tobe e o desenho final representando a amizade.

A história dos Tchokwe para o princípio do mundo

Um dia, o Sol foi visitar Deus. Então, Deus deu uma galinha ao Sol e disse-lhe: "Volte de manhã antes de te ires embora". Pela manhã, a galinha cacarejou e acordou o Sol. Quando o Sol foi ter com Deus, este disse-lhe: "Não comeste a galinha  que te dei para o jantar. Podes ficar com ela, mas tens de a trazer aqui todos os dias". É por isso que o Sol dá a volta à terra e se levanta todas as manhãs.

A Lua também foi visitar Deus e recebeu uma galinha. De manhã, a galinha cacarejou e acordou a Lua. Mais uma vez Deus disse: "Não comeste a galinha que te dei para o jantar. Podes ficar com ela mas tens de voltar aqui a cada $28$ dias". É por isso que os ciclos da Lua demoram $28$ dias.

O Homem também foi visitar Deus e ganhou uma galinha. Mas o Homem estava com fome, depois de uma jornada tão longa e comeu parte da galinha ao jantar. Na manhã seguinte, o Sol já ia alto no céu quando o Homem acordou, comeu o resto da galinha e apressou-se a visitar Deus. Então, Deus disse: "Não ouvi a galinha a cacarejar esta manhã". O Homem respondeu temerosamente: "Estava com tanta fome que a comi". E recebeu a resposta: "Não faz mal, mas ouve: sabes que o Sol e a Lua estiveram aqui e nenhum deles matou a galinha que lhes dei. É por isso que nunca morrerão. Mas tu mataste a tua e como tal tens de morrer como ela. Mas quando morreres vais ter de voltar aqui". E assim aconteceu.


Nesta imagem Deus é representado acima, à esquerda o Sol, à direita a Lua e em baixo o Homem. O lusona representa o caminho de Deus.

A história do leopardo e da cegonha


Um dia, o leopardo Kajama pediu à cegonha Kumbi algumas penas para forrar a sua toca. Uns dias mais tarde, a cegonha pediu ao leopardo um bocado da sua pele. Quando Kajama satisfez o pedido da cegonha, morreu. O filho de Kajama tentou vingar a morte do pai, mas Kumbi, que conhecia muito bem o pântano, conseguindo escapar.


No desenho acima, a linha ondulada é o trajeto da cegonha Kumbi em fuga. Os pontos representam o pântano através do qual Kumbi fugiu.

A história do galo e do raposo

O galo Kanga e o raposo Mukuza pretendiam a mesma mulher. Pediram-na em casamento ao pai dela, que exigiu de ambos pagamento adiantado. Eles concordaram prontamente. De repente correu o boarto de que a prometida tinha falecido. Kanga rompeu num choro inconsolável, enquanto Mukuza apenas lamentava ter perdido o pagamento adiantado. Então o pai, que de propósito tinha espalhado o boato para ver quem merecia a filha, entregou-a ao galo, que revelou ter bom coração.


História da visita do galo ao Sol

O galo visitou o Sol. Outras aves tentaram, mas apenas o galo conseguiu. Ficaram amigos e ainda hoje o galo canta ao romper o Sol.


Os Sona no cotidiano

Muitos dos sona estão ligados diretamente ao cotidiano:





Veja outros sonas aqui.

O desenho de soleira chamada “mesa  giratória”, ilustrado na abaixo é formado por três linhas “que  nunca terminam” sobrepostas. Quando se criam junções em $S$ e $T$ no eixo horizontal de simetria, aparece o provável padrão original feito com uma única linha.

O Teorema de Pitágoras

 Muitos sona são frutos da simetria rotacional, isto é, as figuras coincidem com elas mesmas após uma rotação de $90^\circ$, $180^\circ$ e $270^\circ$. Por exemplo este motivo tradicional do Gana:

Seguindo Paulus Gerdes, vamos mostrar como um motivo com este tipo de siemetria podo induzir a uma prova do Teorema de Pitágoras. O processo descrito por Gerdes é de sua autoria, mas mostra como a matemática pode estar implícita na cultura e como resultados universais se podem motivar com elementos tradicionais.

Iniciemos com um motivo pitagorizável moçambicano simples com quatro circunferências, onde o centro de cada uma delas está sobre cada um dos vértices de uma quadrado.

Escolhemos um ponto sobre uma das circunferências e os outros três são frutos de uma rotação de um quarto de volta.

Unimos os quatro pontos formando um quadrado e determinando outros novos quatro pontos.

Agora unimos os outros quatro novos pontos, obtendo um quadrado circunscrito no primeiro.


Contudo, também poderíamos unir estes pontos de outra forma, obtendo a seguinte figura:

Note que, devido à simetria rotacional da figura de partida, os quatro quadriláteros em que o quadrado foi dividido são iguais:

Além disso, as transversais que definem a decomposição do quadrado são perpendiculares entre si. Vejamos como podemos reorganizar estes quatro quadriláteros de maneira a obter um quadrado maior.


Seja $\ell$ a medida do lado do quadrado e seja $t$ a medida da transversal. Podemos mover os quadriláteros obtendo um quadrado de lado $t$, com um buraco quadrado de lado $q$ no interior.

Como $q = b-a$, podemos obter um triângulo retângulo da seguinte forma:


 Esse triângulo retângulo possui hipotenusa igual a $t$, que é a transversal do quadrado original, um dos catetos igual a $\ell =a+b$, que é o lado do quadrado original e o outro cateto igual a $q$, que é o lado do quadrado menor formado após as rotações. Assim, podemos construir quadrados sobre cada lado desse triângulo:


E isso é o mesmo que dizer que: $t^2 = \ell^2 + q^2$, ou seja, o quadrado sobre a hipotenusa é igual à soma dos quadrados sobre os catetos.

Referências

[1] Geometria Sona de Angola, V3 - Paulus Gerdes, Editor Lulu
[2] A arte de contar histórias com desenhos
[3] Matemática africana

Veja mais

As figuras de Kolan e o bracelete de Krishna
A Fórmula de Pick e a Aproximação de π
O problema dos quadrados mágicos



1 de nov de 2015

George Boole e a Álgebra do Pensamento

A lógica como ciência remonta a Aristóteles $(384-322a.C.)$, seu criador. No século $XVII$ Descartes $(1596-1650)$ e Leibniz $(1646-1716)$ tencionaram dotá-la de padrões matemáticos, o que pressupões uma simbologia e um cálculo formal próprios. O alcance dessa lógica seria universal, aplicável a todos os campos do conhecimento. Mas nenhum dos dois deixou sobre o assunto senão alguns escritos fragmentados. Inclusive a contribuição de Leibniz, embora específica, somente em $1901$ se tornou conhecida.


Assim é que o marco inicial da lógica simbólica, embora Leibniz seja considerado seu fundador, está fincado no ano de $1847$ com a publicação das obras Mathematical analysis of logic de George Boole $(1815-1864)$ e Formal logic de Augustus De Morgan $(1806-1871)$.

De família modesta, Boole nasceu em Linciln, na Inglaterra. Sua instrução formal não passou dos graus básicos mas, dotado de grande inteligência, e vendo no conhecimento o caminho de seu gosto para ascender socialmente, enveredou pelo autodidatismo. De início aprendeu por si só latim e grego. Depois, como professor de uma escola elementar, resolveu ampliar seus conhecimentos de matemática, pondo-se a estudar, entre outras, as obras clássicas de Laplace e Lagrange.

O interesse pela lógica certamente derivou de seu relacionamento com De Morgan, de quem ficara amigo. Sua obra citada, embora não lhe  trouxesse grande fama, propiciou-lhe, dois anos depois de publicada, uma nomeação de professor no recém criado Queens Collegem em Cork, Irlanda.

Em $1854$ Boole lança sua obra-prima, Investigation of the laws of thought (As leis do pensamento - como usualmente é conhecida), na qual elucida e amplia as ideias de $1847$. A finalidade era ainda expressar simbolicamente as leis do pensamento, visando poder usar de maneira mais direta e precisa a dedução lógica.


Boole procurava transformar certos processos elementares do raciocínio em axiomas da lógica. A chamada álgebra dos conjuntos ou álgebra de Boole, introduzida por ele em As leis do pensamento, dá bem uma ideia disso. Boole usava as letras $x,y,z,\cdots$ para indicar partes (subconjuntos) de um conjunto tomado como universo. Se $x$ e $y$ denotavam duas dessas partes, o que hoje chamamos de intersecção e união, Boole indicava por $xy$ e $x+y$, respectivamente. Os símbolos atuais $\cap$ e $\cup$ são devidos a Giuseppe Peano $(1858-1932)$. Na verdade, as uniões consideradas por Boole pressupunham partes disjuntas; a generalização, para o conceito atual, é devida a W.S. Jevons $(1835-1882)$.

Assim, sendo óbvio para o espírito que: $xy=yx$ e $x+y=y+x$, $(xy)z=x(yz)$ e $x+(y+z)=(x+y)+z$ e $x(y+z)=xy+xz$, essas leis foram tomadas como axiomas de sua álgebra. Até aí não há diferença entre as álgebras usuais e a de Boole, sob o aspecto estrutural. Mas nesta última há leis particulares como $x^2=xx=x$ e $x+x=x$. Ou ainda, simbolizando por $1$ o conjunto universo (notação de Boole): $1+1=1$.

Um exemplo menos imediato envolve a lei do terceiro excluído. Por exemplo, se $1$ indica o conjunto de todos os seres vivos e $x$ o conjunto dos gatos, como $1-x$ era para Boole o complemento de $x$, então $x+(1-x)=1$ traduz a lei referida: todo ser vivo ou é gato ou não é gato.

Não passou despercebida por Boole a semelhança entre a álgebra dos conjuntos e a das proposições. Assim é que para duas proposições $p$ e $q$ indicava por $pq$ a conjunção $"p$ e $q"$ e por $p+q$ a disjunção $"p$ ou $q"$. A afirmação $x=1$ significa, nesse contexto, que $x$ é verdadeira e $x=0$ que $x$ é falsa. Mas Boole não foi longe com esse assunto.

Porém já tinha feito o bastante para ser considerado pelo grande matemático e filósofo galês deste século, Bertrand Russel, como o descobridos da matemática pura.

Texto de:Hygino H. Domingues

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V1 - Conjuntos e Funções

Veja mais:

A aritmética de Peano
Bertrand Russel e o logicismo
Matemáticos que contribuíram para o desenvolvimento dos computadores



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