28 de nov de 2015

Como encontrar o foco e a diretriz de uma parábola com régua e compasso

Neste artigo veremos como encontrar o foco e a reta diretriz de uma parábola dada, utilizando para isso, apenas régua não-graduada e compasso.



Para a construção da parábola, dispomos de $4$ métodos apresentados aqui no blog. Veja no rodapé deste artigo.

Dada uma parábola com sua concavidade voltada para cima e seu vértice $V$, traçamos seu eixo de simetria e a perpendicular passando por $V$. Se pensarmos no plano cartesiano, o eixo de simetria é o eixo dos $y$ e a perpendicular por $V$ é o eixo dos $x$ e o vértice da parábola está na origem.


Descreva duas circunferências tangentes ao eixo horizontal de modo que seus centros sejam pontos de um mesmo ramo da parábola. Marque os pontos de intersecção dessas circunferências como $A$ e $B$.



Trace um segmento passando pelos pontos $A$ e $B$ e marque a intersecção com o eixo de simetria como $C$. O ponto médio do segmento $\overline{VC}$ é o foco $F$ da parábola.



Para encontrarmos a reta diretriz, usamos a definição da parábola, que diz que a medida da parábola ao foco é igual à distância da parábola à reta diretriz. Centrada no vértice $V$, descrevemos uma circunferência de raio $\overline{VF}$. Pela intersecção com o eixo de simetria passa a reta diretriz, perpendicular a esta.



Escolhendo qualquer ponto da parábola, temos que a distância até o foco é a mesma até a reta diretriz.


Construção elaborada por: Bruno Henrique de Abreu
Compilador cristão 

Veja mais:

Construção geométrica de uma parábola com régua e compasso
Construção geométrica de uma parábola pelo método de Ibn Sinan
Construção geométrica de uma parábola pelo método de Werner
Construção geométrica de uma parábola pelo método das mediatrizes



3 comentários:

  1. desculpe a ignorância, mas não entendi por que a interseção da reta que passa por A e B da um ponto C tal que F é ponto medio de VC :(

    Poderia detalhar um pouco mais?

    Desde já agradeço

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá. Não tenho a demonstração, somente a construção.

      Abraços.

      Excluir
    2. Olá Anônimo, tudo bem?

      Só agora vi seu comentário, a demostração é a seguinte:

      Considere uma parábola y = 1/2px^2
      Vamos escolher um ponto qualquer da parábola para fazer de centro de uma circunferência que tangencia o eixo x. Logo, se x = a, temos que y = 1/2pa^2 e que o raio da circunferência também será r = 1/2pa^2.
      Com isso a equação da circunferência será: (x-a)^2 + (y-a^2/2p)^2= a^4/(4p^2)
      Expandindo teremos:
      x^2-2ax+a^2+y^2-(ya^2)/p + a^4/(4p^2) = a^4/(4p^2)
      Que após simplificar fica:
      x^2-2ax + a^2 + y^2-(ya^2)/p = 0
      Fazendo o mesmo procedimento para outro ponto x = b, teremos:
      x^2 - 2bx +b^2 + y^2 -(yb^2)/p =0
      Para saber os pontos em que as duas circunferências se encontram basta igualarmos as duas equações:

      x^2-2ax+a^2+y^2-(ya^2)/p=x^2-2bx+b^2+y^2-(yb^2)/p
      Que simplificando fica:
      -2ax + a^2 - (ya^2)/p =-2bx + b^2 - (yb^2)/p

      (yb^2)/p - (ya^2)/p = 2ax - 2bx + b^2 -a^2
      y(b^2-a^2)/p = 2x(a-b) + b^2 - a^2
      y=-2px/(b+a) + p

      O que representa a equação da reta que corta as circunferências nos pontos de interseção.
      Para saber então o ponto em que essa reta corta o eixo y, fazemos x = 0, com isso:
      y=p
      Como a distância do vértice até o foco é p/2, basta fazer o ponto médio que encontramos o foco da parábola.
      Cqd.

      Excluir

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