01/11/2015

George Boole e a Álgebra do Pensamento

A lógica como ciência remonta a Aristóteles $(384-322a.C.)$, seu criador. No século $XVII$ Descartes $(1596-1650)$ e Leibniz $(1646-1716)$ tencionaram dotá-la de padrões matemáticos, o que pressupões uma simbologia e um cálculo formal próprios. O alcance dessa lógica seria universal, aplicável a todos os campos do conhecimento. Mas nenhum dos dois deixou sobre o assunto senão alguns escritos fragmentados. Inclusive a contribuição de Leibniz, embora específica, somente em $1901$ se tornou conhecida.


Assim é que o marco inicial da lógica simbólica, embora Leibniz seja considerado seu fundador, está fincado no ano de $1847$ com a publicação das obras Mathematical analysis of logic de George Boole $(1815-1864)$ e Formal logic de Augustus De Morgan $(1806-1871)$.

De família modesta, Boole nasceu em Linciln, na Inglaterra. Sua instrução formal não passou dos graus básicos mas, dotado de grande inteligência, e vendo no conhecimento o caminho de seu gosto para ascender socialmente, enveredou pelo autodidatismo. De início aprendeu por si só latim e grego. Depois, como professor de uma escola elementar, resolveu ampliar seus conhecimentos de matemática, pondo-se a estudar, entre outras, as obras clássicas de Laplace e Lagrange.

O interesse pela lógica certamente derivou de seu relacionamento com De Morgan, de quem ficara amigo. Sua obra citada, embora não lhe  trouxesse grande fama, propiciou-lhe, dois anos depois de publicada, uma nomeação de professor no recém criado Queens Collegem em Cork, Irlanda.

Em $1854$ Boole lança sua obra-prima, Investigation of the laws of thought (As leis do pensamento - como usualmente é conhecida), na qual elucida e amplia as ideias de $1847$. A finalidade era ainda expressar simbolicamente as leis do pensamento, visando poder usar de maneira mais direta e precisa a dedução lógica.


Boole procurava transformar certos processos elementares do raciocínio em axiomas da lógica. A chamada álgebra dos conjuntos ou álgebra de Boole, introduzida por ele em As leis do pensamento, dá bem uma ideia disso. Boole usava as letras $x,y,z,\cdots$ para indicar partes (subconjuntos) de um conjunto tomado como universo. Se $x$ e $y$ denotavam duas dessas partes, o que hoje chamamos de intersecção e união, Boole indicava por $xy$ e $x+y$, respectivamente. Os símbolos atuais $\cap$ e $\cup$ são devidos a Giuseppe Peano $(1858-1932)$. Na verdade, as uniões consideradas por Boole pressupunham partes disjuntas; a generalização, para o conceito atual, é devida a W.S. Jevons $(1835-1882)$.

Assim, sendo óbvio para o espírito que: $xy=yx$ e $x+y=y+x$, $(xy)z=x(yz)$ e $x+(y+z)=(x+y)+z$ e $x(y+z)=xy+xz$, essas leis foram tomadas como axiomas de sua álgebra. Até aí não há diferença entre as álgebras usuais e a de Boole, sob o aspecto estrutural. Mas nesta última há leis particulares como $x^2=xx=x$ e $x+x=x$. Ou ainda, simbolizando por $1$ o conjunto universo (notação de Boole): $1+1=1$.

Um exemplo menos imediato envolve a lei do terceiro excluído. Por exemplo, se $1$ indica o conjunto de todos os seres vivos e $x$ o conjunto dos gatos, como $1-x$ era para Boole o complemento de $x$, então $x+(1-x)=1$ traduz a lei referida: todo ser vivo ou é gato ou não é gato.

Não passou despercebida por Boole a semelhança entre a álgebra dos conjuntos e a das proposições. Assim é que para duas proposições $p$ e $q$ indicava por $pq$ a conjunção $"p$ e $q"$ e por $p+q$ a disjunção $"p$ ou $q"$. A afirmação $x=1$ significa, nesse contexto, que $x$ é verdadeira e $x=0$ que $x$ é falsa. Mas Boole não foi longe com esse assunto.

Porém já tinha feito o bastante para ser considerado pelo grande matemático e filósofo galês deste século, Bertrand Russel, como o descobridos da matemática pura.

Texto de:Hygino H. Domingues

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V1 - Conjuntos e Funções

Veja mais:

A aritmética de Peano
Bertrand Russel e o logicismo
Matemáticos que contribuíram para o desenvolvimento dos computadores



4 comentários:

  1. Olá Kleber:

    Acho que em em vez de: x = (y + z) = (x + y) + z,
    deveria ser: x + (y + z) = (x + y) + z

    Abraços

    Prof. Sebá

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Sebá.

      Foi um cochilo na digitação. Já está corrigido.

      Um abraço!

      Excluir
  2. Olá Kleber,

    Venho por meio deste comentário dizer que adorei o seu site. Eu sou estudante de Física do primeiro período, na UERJ. E como todo aspirante a cientista, a matemática passa a ser parte de nossas vidas, e entender a lógica e a beleza dela, muitas vezes me inspira a continuar a estudar, perceber que ela é linguagem que pode dizer como o universo funciona é sublime. Muitas vezes, nas escolas, aprendemos técnicas e conceitos úteis, mas que não nos inspiram nem um tipo de admiração ou reflexão, pois na maior parte do tempo, somos bombardeados por fórmulas e exercícios, o seu blog (na minha visão), no entanto é uma antítese a forma de ensino de matemática tradicional, é fazer-nos refletir sobre a lógica e o pensamento, e inspirar-nos a aprender. Por isso, eu agradeço pelo trabalho!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Pedro. Agradeço seu comentário. Sou muito preocupado com o conteúdo que posto, em não ser apenas mais um artigo na internet, com imagens e com a clareza nas passagens.

      Quando estava na graduação, lembro-me bem das dificuldades que tinha em encontrar material razoável. Desde a criação deste blog, muitos outros de qualidade surgiram e pude acompanhar o desenvolvimento.

      Obrigado e um abraço!

      Excluir

Por favor, leiam antes de comentar:

▪ Escreva um comentário apenas referente ao tema;

▪ Para demais, utilize o formulário de contato;

▪ Comentários ofensivos ou spans não serão publicados;

▪ Desde o dia 23/07/2013, todos os comentários passaram a ser moderados. Para maiores detalhes, veja a nota de moderação aqui;

▪ É possível escrever fórmulas em $\LaTeX$ nos comentários deste blog graças a um script da Mathjax. Para fórmulas inline ou alinhadas à esquerda, escreva a fórmula entre os símbolos de $\$$; Para fórmulas centralizadas, utilize o símbolo duplo $\$\$$.

Por exemplo, a^2 + b^2 = c^2 entre os símbolos de $\$\$$, gera:
$$a^2+b^2=c^2$$
▪ Para visualizar as fórmulas em $\LaTeX$ antes de publicá-las, acessem este link.

Redes Sociais

Arquivo do Blog

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...