18/02/2015

A Multiplicação Egípcia

Todos os $110$ problemas contidos nos papiros de Moscou e Rhind são numéricos, sendo alguns de origem prática e outros teóricos.


Basicamente a multiplicação era efetuada por uma sucessão de duplicações de um fator e o outro fator dado por uma soma de potências de base $2$. O fato é que podemos expressar qualquer número como uma soma de potências de $2$. Como por exemplo o número $5=2^2+2^0$ e o número$19=2^4+2^1+2^0$.

O que os egípcios faziam era encontrar uma combinação das potências de $2$ de modo a obter um dos fatores da multiplicação desejada.

Em uma das colunas, dispunham os números de base $2$ até o número imediatamente inferior a um dos fatores. Na outra coluna escreviam duplicações do segundo fator. Na coluna das potências de $2$, identificavam as potências cuja soma seria igual a um dos fatores e somavam as duplicações correspondentes da outra coluna, encontrando o produto desejado.

Vejamos a seguir alguns exemplos.

Exemplo $1$: Encontrar o produto de $26$ por $41$

Primeiramente, escolhemos qual dos dois fatores será representado na coluna das potências de $2$. Tomemos o número $26$, mas também poderia ser o número $41$.


Paramos no número $16$ porque o próximo número da sequência é o $32$, que é maior do que o fator $26$. Na outra coluna escrevemos duplicações do segundo fator:


Como $26=16+8+2$, basta somarmos os múltiplos correspondentes de $41$ na outra coluna:


Assim:
\begin{equation*}
26 \times 41 = 82 + 328 + 656 = 1066
\end{equation*}

Exemplo $2$: Encontrar o produto de $112$ por $173$

Tomemos o número $112$ para ser representado na coluna das potências de $2$


Paramos no $64$ porque o próximo número da sequência é o $128$, que é maior do que o fator $112$. Na outra coluna escrevemos duplicações do segundo fator:


Como $112 = 64 + 32 + 16$, basta somarmos os múltiplos correspondentes de $173$ na outra coluna:


Assim:
\begin{equation*}
112 \times 173 = 2768 + 5536 + 11072 = 19376
\end{equation*}

Os egípcios usavam hieróglifos para representar números em base $10$:


Vejamos como ficaria uma multiplicação egípcia com seus hieróglifos.

Exemplo $3$: Encontrar o produto de $17$ por $23$


Os números $17$ e $23$ são representados assim pelos hieróglifos egípcios:


Tomemos o número $17$ na primeira coluna. Colocamos os hieróglifos nas potências de base $2$:


As duplicações de $23$ são: $46$, $92$, $184$, $368$. Escrevemos na segunda coluna os hieróglifos correspondentes:


Como $17=16+1$, basta somarmos os múltiplos correspondentes de $23$ na outra coluna:


Assim, $17 \times 23 = 368 + 23 = 391$. Escritos em hieróglifos:


Uma observação interessante é que esta soma final assemelha-se ao que fazemos no ábaco. Pois quando somamos $3$ hastes com $8$ hastes, obtemos $11$ hastes. Então, trocamos $10$ hastes por $1$ arco de cesto e mantemos uma haste.

Referências:

[1] Introdução à História da Matemática - Howard Eves - Ed. Unicamp
[2] Hieróglifos retirados do site http://discoveringegypt.com

Veja mais:


Método da multiplicação dos camponeses russos
Método da gelosia para multiplicações 
Método da falsa posição
Frações unitárias




16/02/2015

No começo, era o número

Admite-se que certas espécies animais são capazes de perceber diferenças quantitativas concretas: a falta de um filhote na ninhada, a maior ou menor abundância de alimento, ... As crianças, da mesma forma, bem antes de saberem falar, manifestam uma espécie de percepção quantitativa, evidentemente associada a objetos familiares. Com o desenvolvimento da linguagem e com o uso da palavra, tal percepção quantitativa aumentou tanto e chegou a tal nível de sofisticação que permitiu a determinadas culturas dar o nome a imensidades de coisas, como as estrelas no céu, as árvores, mares, ... Permitiu-lhes até mesmo tentar conter o infinito nas redes do número.

O que significa contar

Dentre os poderes conferidos pela palavra, um dos mais antigos é talvez o de dar nomes aos números. Acaso a "numeração" não consiste em um ordenamento, uma organização real e das representações que dele fizemos?

Em certos idiomas europeus, por exemplo, observa-se uma grande semelhança ou mesmo a quase identificação de pares de verbos dos quais um designa enumeração e outro, relato: compter/raconter (francês); contare/raccontare (italiano); contar/contar (espanhol e português); comptar/contar (catalão); zählen/erzählen (alemão). E do idioma inglês a palavra tale é hoje empregada com o significado de "conto" ou "relato", mas a palavra teller designa tanto um contador de histórias como um caixa de banco. Não surpreende, assim, que a mesma semelhança seja encontrada nos idiomas indo-europeus mais antigos.

O termo sânscrito que designa número, sankhya, expressa etimologicamente um modo de dizer as coisas. O termo grego logos, que designa tanto "conta" como "palavra" e "relato", recebeu essas diversas acepções do antigo significado do verbo lego: reunir, escolher, dizer. Também a palavra grega arithmos designa o número, no sentido aritmético, e igualmente a ordem, o arranjo ou disposição. Tal ambivalência veio a persistir no termo latino numerus e seus derivados: o adjetivo numerosus quer dizer "numeroso" e também "harmonioso".

Qualquer que seja a capacidade de determinado idioma para designar os números é evidente que os termos que designam os números vêm de uma época antiquíssima da história desse idioma. E são termos, aliás, que mostram surpreendente estabilidade ao longo do tempo. São ecos do esforço imemorável do homem para expressar a diversidade do real, e permitem-nos às vezes vislumbrar o processo pelo qual diversas ordens de quantidade receberam seus nomes.


Ordenar, reunir, numerar

Qualquer sistema de números, por mais elementar que seja, supõe a adoção de alguns símbolos (palavras, pictogramas, sinais gráficos) estruturados em dois princípios: um é o princípio de ordenamento ou disposição, que permite distinguir o primeiro símbolo (um) do segundo (dois) e eventualmente do terceiro (três), e assim por diante; e o outro é o princípio de agrupamento, que interrompe a produção de símbolos individuais diferentes, estabelecendo um símbolo de ordem superior, cuja combinação com os precedentes permite reiniciar o sistema. Assim, "um, dois, três, $\cdots$, dez, dez-um, dez-dois, $\cdots$, dez-dez ou cem, cento e um, cento e dois, $\cdots$" é um sistema baseado em $10$, ou seja, um sistema decimal.

Outras bases, porém, já foram ou ainda são utilizada, como a base $2$ (sistema binário), utilizada em sistemas lógicos, amplamente aplicado à computação, base $5$ (sistema quinário), associada aos dedos das mãos e pés, base $60$ (sistema sexagesimal), antigamente utilizada pelos babilônios e hoje ainda empregado na marcação das horas, minutos e segundos de um dia, base $20$ (sistema vigesimal), antigamente utilizada pelos maias, na América, base $16$ (sistema hexadecimal), também vinculada à computação, entre outras. Parece provável que a escolha das bases $5$, $10$ ou $20$ estivessem inicialmente ligada a particularidades do corpo humano, e ainda se percebem vestígios dessa ligação em determinadas numerações orais: na língua api, falada nas Novas Hébridas, grupo de ilhas no sul do Oceano Pacífico, a palavra luna designa a mão e o número $5$; o nome do número $2$ é lua, e o número $10$ é lualuna, o que significa literalmente duas mãos.

[Plimpton 322 é uma tábua de argila em escrita cuneiforme com registros da matemática babilônica.]


É espantosa a diversidade das regras segundo as quais se formam os nomes dos números e que manifestam a diversidade cultural e linguística.

É preciso admitir nosso pouco conhecimento da maneira prática pela qual se faziam cálculos nos tempos antigos. Certamente, os números tinham de ser representados, e já possuíam, no idioma, uma designação precisa. Paralelamente à numeração gestual que se valia dos dedos (numeração digital), quer uma representação que precisasse de alguma base material: um ábaco, uma tabela de contar, um tabuleiro de areia ou uma corda com nós. Tal representação numérica, em certos casos, é o antecedente de algumas formas de numeração escrita.

 [Baixo-relevo pintado de Nefertiabet, que mostra uma mesa de oferendas (Egito, $2700a.C.$). Podem-se identificar vários algarismos da numeração hieroglífica egípcia (embaixo, à direita, o hieróglifo $1.000$ aparece quatro vezes). Clique aqui e veja a imagem em $2300\times 1659$.]

Referências:

[1] Matemática Volume Único - Benigno Barreto & Claudio Xavier - Editora FTD

Veja mais:


Euclides e a Geometria dedutiva
A história do símbolo do infinito
Ternos Pitagóricos: A Tábua de Plimpton 322




07/02/2015

A Regra de Chió para o cálculo de determinantes

Toda matriz quadrada, de qualquer ordem, tem associada a ela um número chamado determinante da matriz.

Existem alguns métodos para calcular o determinante de uma matriz, como por exemplo a Regra de Sarrus e o Teorema de Laplace utilizando a Matriz de Cofatores.



A Regra de Chió é muito prática se o elemento $a_{11}$ da matriz for igual a $1$, o que nos permite calcular o determinante de uma matriz de ordem $n$ usando uma matriz de ordem $n-1$.

Dada uma matriz quadrada de ordem $n$ sendo $a_{11}=1$:
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn}
\end{bmatrix}
\end{equation*}
obtemos uma matriz de ordem $n-1$ fazendo:
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
a_{22}-(a_{12}\cdot a_{21}) & a_{23}-(a_{13}\cdot a_{21}) & \cdots & a_{2n}-(a_{1n}\cdot a_{21})\\
a_{32}-(a_{12}\cdot a_{31}) & a_{33}-(a_{13}\cdot a_{31}) & \cdots  &a_{3n}-(a_{1n}\cdot a_{31}) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n2}-(a_{12}\cdot a_{n1}) & a_{n3}-(a_{13}\cdot a_{n1}) & \cdots & a_{nn}-(a_{1n}\cdot a_{n1})
\end{bmatrix}
\end{equation*}

Exemplo $1$:

Seja $M$ a matriz quadrada de ordem $4$. Calcular o determinante usando a Regra de Chió.
\begin{equation*}
M=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 & -1\\
1 & 3 & 6 & 9\\
4 & 1 & 2 & 0\\
-2 & 2 & 3 & -4
\end{bmatrix}
\end{equation*}
Como o elemento $a_{11}=1$, então fazemos:
\begin{equation*}
\det{M}=
\begin{vmatrix}
\boldsymbol {\color{red}{1}} & \boldsymbol{\color{blue}{2}} & \boldsymbol{\color{blue}{0}} & \boldsymbol{\color{blue}{-1}}\\
\boldsymbol{\color{green}{1}} & 3 & 6 & 9\\
\boldsymbol{\color{green}{4}} & 1 & 2 & 0\\
\boldsymbol{\color{green}{-2}} & 2 & 3 & -4
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
\det{M}=
\begin{vmatrix}
3-(\boldsymbol {\color{blue}{2}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{1}}) & 6-(\boldsymbol {\color{blue}{0}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{1}}) & 9-(\boldsymbol {\color{blue}{(-1)}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{1}})\\
1-(\boldsymbol {\color{blue}{2}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{4}})& 2-(\boldsymbol {\color{blue}{0}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{4}}) & 0-(\boldsymbol {\color{blue}{(-1)}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{4}})\\
2-(\boldsymbol {\color{blue}{2}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{(-2)}}) & 3-(\boldsymbol {\color{blue}{0}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{(-2)}}) & -4-(\boldsymbol {\color{blue}{(-1)}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{(-2)}})
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
\det{M}=
\begin{vmatrix}
1 & 6 & 10\\
-7 & 2 & 4\\
6 & 3 & -6
\end{vmatrix}
\end{equation*}
Aqui poderíamos aplicar a Regra de Sarrus, mas vamos aplicar novamente a Regra de Chió, já que o elemento $a_{11}=1$ e assim obteremos um determinante a partir de uma matriz de ordem $2$, resolvido rapidamente.
\begin{equation*}
\det{M}=
\begin{vmatrix}
\boldsymbol {\color{red}{1}} & \boldsymbol{\color{blue}{6}} & \boldsymbol{\color{blue}{10}} \\
\boldsymbol{\color{green}{-7}} & 2 & 4 \\
\boldsymbol{\color{green}{6}} & 3 & -6
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
\det{M}=
\begin{vmatrix}
2-(\boldsymbol {\color{blue}{6}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{(-7)}}) & 4-(\boldsymbol {\color{blue}{10}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{(-7)}}) \\
3-(\boldsymbol {\color{blue}{6}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{(6)}}) & -6-(\boldsymbol {\color{blue}{10}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{(6)}})
\end{vmatrix}
\\
\:
\
\det{M}=
\begin{vmatrix}
44 & 74\\
-33 & -66
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
\det{M}=(44 \cdot (-66))  - (74 \cdot (-33))=-462
\end{equation*}
Assim, o determinante da matriz $M$ é igual a $-462$.

Observações:

$1)$ Se o elemento $a_{11} \neq 1$ e existir algum elemento da matriz que seja igual a $1$, então podemos obter uma matriz equivalente trocando a posição de duas filas (colunas ou linhas).

Ao trocarmos de posição duas filas de uma matriz, o determinante da nova matriz é o oposto do determinante da matriz anterior, ou seja, tem o sinal trocado.

Por exemplo: seja a matriz:
\begin{equation*}
A=
\begin{bmatrix}
3 & 2 & 0 &-1\\
2 & 3 & 6 &9\\
4 & 1 & 2 &0\\
-2 & 2 & 3 &-1
\end{bmatrix}
\end{equation*}
O determinante da matriz $A$ será dado por:
\begin{equation*}\det{A}=
\begin{vmatrix}
3 & 2 & 0 &-1\\
2 & 3 & 6 &9\\
4 & 1 & 2 &0\\
-2 & 2 & 3 &-1
\end{vmatrix}
\end{equation*}
Trocando a primeira linha pela terceira, obtemos:
\begin{equation*}\det{A}=-
\begin{vmatrix}
4 & 1 & 2 &0\\
2 & 3 & 6 &9\\
3 & 2 & 0 & -1\\
-2 & 2 & 3 &-1
\end{vmatrix}
\end{equation*}
E agora trocamos a primeira coluna pela segunda:
\begin{equation*}\det{A}=
\begin{vmatrix}
1 & 4 & 2 &0\\
3 & 2 & 6 &9\\
2 & 3 & 0 & -1\\
2 & -2 & 3 &-1
\end{vmatrix}
\end{equation*}
Vejam que o sinal do determinante passou de $+$ para $-$ e depois para $+$.

$2)$ Se o elemento $a_{11} \neq 1$ e n]ao houver qualquer elemento da matriz igual a $1$, podemos criar elementos igual a $1$ na matriz usando o Teorema de Jacobi que essencialmente diz que o determinante de uma matriz quadrada não se altera se adicionarmos aos elementos de uma fila qualquer, os elementos correspondentes de outra fila paralela previamente multiplicada por uma constante.

Por exemplo: Seja a matriz:
\begin{equation*}
A=
\begin{bmatrix}
3 & 2 & 0 & -1\\
2 & 3 & 6 & 9\\
4 & 5 & 2 & 0\\
-2 & 2 & 3 & -4
\end{bmatrix}
\end{equation*}
O determinante da matriz $A$ será dado por:
\begin{equation*}
\det A=\begin{vmatrix}
3 & 2 & 0 & -1\\
2 & 3 & 6 & 9\\
4 & 5 & 2 & 0\\
-2 & 2 & 3 & -4
\end{vmatrix}
\end{equation*}
Como não há um elemento da matriz igual a $1$, vamos criá-lo multiplicando a segunda linha por $-1$ e somá-la à primeira:
\begin{equation*}
\det A=\begin{vmatrix}
3 & 2 & 0 & -1\\
\boldsymbol{\color{red}{2}} & \boldsymbol{\color{red}{3}} & \boldsymbol{\color{red}{6}} & \boldsymbol{\color{red}{9}}\\
4 & 5 & 2 & 0\\
-2 & 2 & 3 & -4
\end{vmatrix}
\begin{matrix}
\longleftarrow &  + &  \looparrowleft \\
\longrightarrow &  \times  &(-1)   \\
~\\
~\\
\end{matrix}
=
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{\color{blue}{1}}&\boldsymbol{\color{blue}{-1}}&\boldsymbol{\color{blue}{-6}}&\boldsymbol{\color{blue}{-10}}\\
2&3&6&9\\
4&5&2&0\\
-2&2&3&-4
\end{vmatrix}
\end{equation*}
Ao calcularmos o determinante da matriz equivalente, veremos que é igual ao determinante da matriz original.

$3)$ Se o elemento $a_{11} \neq 1$ e não houver outro elemento igual a $1$ na matriz, podemos criar elementos igual a $1$ na matriz colocando um fator $k$ comum a uma fila em evidência, pois se todos os elementos de uma fila de uma matriz quadrada são multiplicados por um mesmo número $k$, então seu determinante fica multiplicado por $k$.

Por exemplo: Seja a matriz:
\begin{equation*}
A=
\begin{bmatrix}
2&4&-2\\
10&6&0\\
4&-4&10
\end{bmatrix}
\end{equation*}
O determinante da matriz $A$ será dado por:
\begin{equation*}
\det A=
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{\color{red}{2}}&\boldsymbol{\color{red}{4}}&\boldsymbol{\color{red}{-2}}\\
10&6&0\\
4&-4&10
\end{vmatrix}
=
2
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{\color{blue}{1}}&\boldsymbol{\color{blue}{2}}&\boldsymbol{\color{blue}{-1}}\\
10&6&0\\
4&-4&10
\end{vmatrix}
\end{equation*}

Exemplo $2$:

Encontrar o determinante da matriz quadrada de ordem $5$ abaixo:
\begin{equation*}
M=
\begin{bmatrix}
2&-1&0&3&2\\
-2&3&2&0&-2\\
-3&2&-1&-5&4\\
-1&3&2&-2&0\\
0&4&-2&-1&3
\end{bmatrix}
\end{equation*}
Nesta matriz, o elemento $a_{11}\neq 1$ e não há nenhum outro elemento da matriz que seja igual a $1$. Para que o elemento $a_{11}$ seja igual a $1$, multiplicamos a segunda coluna por $1$ e somamos o resultado com a primeira coluna:
\begin{equation*}
\det M=
\begin{vmatrix}
2&\boldsymbol{\color{red}{-1}}&0&3&2\\
-2&\boldsymbol{\color{red}{3}}&2&0&-2\\
-3&\boldsymbol{\color{red}{2}}&-1&-5&4\\
-1&\boldsymbol{\color{red}{3}}&2&-2&0\\
0&\boldsymbol{\color{red}{4}}&-2&-1&3
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{\color{blue}{1}}&-1&0&3&2\\
\boldsymbol{\color{blue}{1}}&3&2&0&-2\\
\boldsymbol{\color{blue}{-1}}&2&-1&-5&4\\
\boldsymbol{\color{blue}{2}}&3&2&-2&0\\
\boldsymbol{\color{blue}{4}}&4&-2&-1&3
\end{vmatrix}
\end{equation*}
Agora, podemos aplicar a Regra de Chió:
\begin{equation*}
\det M=
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{\color{red}{1}}&\boldsymbol{\color{blue}{-1}}&\boldsymbol{\color{blue}{0}}&\boldsymbol{\color{blue}{3}}&\boldsymbol{\color{blue}{2}}\\
\boldsymbol{\color{green}{1}}&3&2&0&-2\\
\boldsymbol{\color{green}{-1}}&2&-1&-5&4\\
\boldsymbol{\color{green}{2}}&3&2&-2&0\\
\boldsymbol{\color{green}{4}}&4&-2&-1&3
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
=
\begin{vmatrix}
3-(\color{blue}{-1}\cdot \color{green}{1}) & 2-(\color{blue}{0}\cdot \color{green}{1}) & 0-(\color{blue}{3}\cdot \color{green}{1}) & -2-(\color{blue}{2}\cdot \color{green}{1})\\
2-(\color{blue}{-1}\cdot \color{green}{(-1)}) & -1-(\color{blue}{0}\cdot \color{green}{(-1)}) & -5-(\color{blue}{3}\cdot \color{green}{(-1)}) & 4-(\color{blue}{2}\cdot \color{green}{(-1)})\\
3-(\color{blue}{-1}\cdot \color{green}{2}) & 2-(\color{blue}{0}\cdot \color{green}{2}) & -2-(\color{blue}{3}\cdot \color{green}{2}) &0-(\color{blue}{2}\cdot \color{green}{2})\\
4-(\color{blue}{-1}\cdot \color{green}{4}) & -2-(\color{blue}{0}\cdot \color{green}{4}) & -1-(\color{blue}{3}\cdot \color{green}{4}) & 3-(\color{blue}{2}\cdot \color{green}{4})
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
=
\begin{vmatrix}
4&2&-3&-4\\
1&-1&-2&6\\
5&2&-8&-4\\
8&-2&-13&-5
\end{vmatrix}
\end{equation*}
Agora, trocamos a segunda linha pela primeira e aplicamos a Regra de Chió novamente. Como estaremos trocando apenas um linha, não podemos nos esquecer de trocar o sinal do determinante:
\begin{equation*}
\det M=-
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{\color{red}{1}}&\boldsymbol{\color{blue}{-1}}&\boldsymbol{\color{blue}{-2}}&\boldsymbol{\color{blue}{6}}\\
\boldsymbol{\color{green}{4}}&2&-3&-4\\
\boldsymbol{\color{green}{5}}&2&-8&-4\\
\boldsymbol{\color{green}{8}}&-2&-13&-5
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
=-
\begin{vmatrix}
2-(-1\cdot 4) & -3-(-2\cdot 4) & -4-(6\cdot 4)\\
2-(-1 \cdot 5) & -8-(-2 \cdot 5) & -4-(6 \cdot 5)\\
-2-(-1\cdot 8) & -13-(-2\cdot8) & -5-(6\cdot8)
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
=-
\begin{vmatrix}
6&5&-28\\
7&2&-34\\
6&3&-53
\end{vmatrix}
\end{equation*}
Aqui, podemos aplicar a Regra de Sarrus ou ainda aplica a Regra de Chió novamente. Primeiramente trocamos a segunda linha pela primeira, já trocando o sinal do determinante:
\begin{equation*}
\det M=
\begin{vmatrix}
7&2&-34\\
6&5&-28\\
6&3&-53
\end{vmatrix}
\end{equation*}
Agora, multiplicamos a segunda linha por $-1$ e somamos o resultado à primeira linha:
\begin{equation*}
\det M=
\begin{vmatrix}
1&-3&-6\\
6&5&-28\\
6&3&-53
\end{vmatrix}
\end{equation*}
Agora que o elemento $a_{11}=1$, aplicamos a Regra de Chió:
\begin{equation*}
\det M=
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{\color{red}{1}}&\boldsymbol{\color{blue}{-3}}&\boldsymbol{\color{blue}{-6}}\\
\boldsymbol{\color{green}{6}}&5&-28\\
\boldsymbol{\color{green}{6}}&3&-53
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
\det M=\begin{vmatrix}
5-(-3\cdot 6) & -28-(-6\cdot 6)\\
3-(-3\cdot 6) & -53-(-6\cdot 6)
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
\det M=
\begin{vmatrix}
23 & 8\\
21 & -17
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
\det M=(23 \cdot (-17))-(21 \cdot 8)=-559
\end{equation*}

Referências:

[1] Matemática, Contexto & Aplicações V2 - Dante - Editora Ática

Veja mais:

Matrizes e o controle de tráfego
O Método de Castilho para resolução de sistemas lineares
Sistemas lineares e determinantes: Origens e desenvolvimento


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