26 de mai de 2016

A primeira Garrafa de Klein

O amor é como a Garrafa de Klein.
Não tem limites e nos coloca em outra dimensão.


Felix Christian Klein nasceu a $25$ de abril de $1849$ em Düsseldorf, Prússia, atual Alemanha e morreu em 22 de junho em Göttingen, Alemanha.

Em $1908$ criou a Comissão Internacional de Instrução Matemática, que padronizou o ensino de matemática no mundo. Trabalhou de $1908$ até $1920$ em uma pesquisa cujo objeto era a evolução da Educação Matemática em diversos países. A garrafa de Klein foi estudada em $1882$.

Conhecida por suas “propriedades estranhas”, a garrafa de Klein é um objeto matemático que vive em um espaço de quatro dimensões embora possa ser visualizado em um espaço de três dimensões. A garrafa de Klein, um conceito da matemática bastante interessante, trata-se de uma superfície fechada sem margens e não orientável, isto é, uma superfície onde não é possível definir um “interior” e um “exterior”.

A Garrafa de Klein é uma superfície não-orientável ou informalmente, uma superfície na qual as noções de esquerda e direita ou acima e abaixo não podem ser definidas.

A Garrafa de Klein pode ser construída no sentido matemático, porque esta não pode ser concebida fisicamente sem permitirmos que a superfície apresente uma intersecção com ela mesma pela junção de ambos os lados de duas fitas de Möbius.

A fita de Möbius é um espaço topológico obtido pela colagem das duas extremidades de uma fita, após efetuar meia volta numa delas. Deve o seu nome a August Ferdinand Möbius, que a estudou em $1858$.


Quem construiu efetivamente a primeira Garrafa de Klein foi Mitsugi Ohno, nascido a $28$ de junho de $1926$ em Bato-Machi, Tochigi-Ken, Japão.

Mitsugi graduou-se no curso elementar em $1939$. Foi enviado a Tokio por seus pais onde seria aprendiz de seu tio que havia adquirido a Companhia Takagi de instrumentos científicos em vidro. Durante a guerra, Mitsugi trabalhou como soprados de vidro no departamento de pesquisa da Divisão de Suprimentos de Medicina Naval.

Em $1961$ migrou para os Estados Unidos, onde desenvolveu as vidrarias usadas na Universidade Estadual de Kansas.

Nas horas vagas ele produzia esculturas de vidro em escala reduzida. Suas esculturas de vidro eram extremamente detalhadas e Mitsugi tornou-se conhecido na Universidade de Kansas por dizer: “Tudo aquilo que pode ser produzido com o vidro, sou capaz de fazer”.

O Professor Cardwell lhe fez um desafio: construir uma garrafa de Klein legítima em vidro.

Após vários dias tentando, construir a garrafa de Klein com uma única abertura, Mitsugi afirmou que o objeto seria impossível de fabricar em vidro. Mas, algum tempo depois, a solução do problema foi revelada a ele em um sonho e Mitsugi foi ao laboratório para soprar o vidro e fabricá-la. Essa foi a mais complexa obra de Mitsugi ao longo de sua carreira como soprador de vidro.


Referências:

[1] http://www.blog.mcientifica.com.br
[2] http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history

Veja mais:

O Cálculo no Japão
As figuras de Kolam e o bracelete de Krishna
Lobachevsky e as geometrias não-euclidianas




1 de mai de 2016

Resolução da Integral $\displaystyle \int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx$

Nesta postagem, veremos que:
\begin{equation*}
\int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx = x+ \ln|x-1|- \ln|x+1| + C
\end{equation*}
onde $x \in \mathbb{R}$, sendo $x \neq \pm 1$.



Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx
\end{equation*}
Decompomos o integrando como uma soma de frações unitárias:
\begin{equation*}
I = \int \left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} + 1\right) dx
\end{equation*}
Integrando termo a termo:
\begin{equation*}
I = \int\frac{dx}{x-1} - \int \frac{dx}{x+1} +\int dx
\end{equation*}
Para o integrando$\displaystyle \frac{1}{x-1}$, fazemos a substituição $u = x-1$ e $du=dx$:
\begin{equation*}
I = \int \frac{du}{u} - \int \frac{dx}{x+1} + \int dx
\end{equation*}
Para o integrando $\displaystyle \frac{1}{x+1}$, fazemos a substituição $v=x+1$ e $dv=dx$:
\begin{equation*}
I = \int \frac{du}{u} - \int \frac{dv}{v} + \int dx
\end{equation*}
A integral de $1/u$ é $\ln |u|$. A integral de $1/v$ é $\ln |v|$ e a integral de $1$ é $x$. Assim:
\begin{equation*}
I = \ln |u| - \ln |v| + x + C
\end{equation*}
Mas $u=x-1$ e $v=x+1$. Logo:
\begin{equation*}
I = x + \ln |x-1| - \ln |x+1| + C
\end{equation*}

Exemplo $1$

Calcular a área entre a curva $\displaystyle f(x) \frac{x^2+1}{x^2-1}$ e o eixo dos $x$, compreendida no intervalo $\left[ -\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$.



Para calcularmos a área entre a curva $f(x)$ e o eixo dos $x$, utilizamos o conceito de integral definida:
\begin{equation*}
A = \int_{-1/2}^{1/2} \frac{x^2+1}{x^2-1} dx
\end{equation*}
Sabendo que:
\begin{equation*}
\int \frac{x^2+1}{x^2-1} dx = x +\ln|x-1| - \ln |x+1|
\end{equation*}
Obtemos:
\begin{equation*}
A = \left[x + \ln|x-1| - \ln|x+1| \right]_{-1/2}^{1/2}\\
\ \\
A = \left(\frac{1}{2} + \ln \left| \frac{1}{2}-1\right| - \ln\left|\frac{1}{2}+1\right|\right) - \left(-\frac{1}{2} + \ln\left|-\frac{1}{2}-1\right| - \ln \left|-\frac{1}{2}+1\right|\right)\\
\ \\
A = \frac{1}{2} + \ln\left|-\frac{1}{2}\right| - \ln \left|\frac{3}{2}\right| + \frac{1}{2} - \ln \left|-\frac{3}{2}\right| + \ln\left|\frac{1}{2}\right|\\
\ \\
A \approx -1,1972246

\end{equation*}
O valor negativo só quer dizer que a curva no intervalo especificado, encontra-se sob o eixo dos $x$. Assim, a área compreendida entre a curva $f(x)$ e o eixo dos $x$, no intervalo $[-1/2,1/2]$, vale aproximadamente $1,1972346$.


Veja mais:

Lista de resolução de integrais
Integração por substituição
Integração por partes




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