21 de jul de 2016

Diferenciação implícita

A diferenciação implícita permite-nos encontrar a derivada de uma equação sem que esta esteja resolvida para $y$, mas principalmente quando isolar $y$ é muito trabalhoso, ou mesmo impossível.


Para uma equação tal como $y=x^2-3x+5$, que já está resolvida para $y$ em função de $x$, dizemos que $y$ está expresso diretamente, ou explicitamente em termos de $x$. Já uma equação tal como $xy+4=3x-y$, apesar de poder ser resolvida para $y$ em função de $x$, apresenta $y$ implicitamente como uma função ou mais de $x$.

Definição:

Uma função contínua num intervalo aberto é dita ser implícita numa equação onde figurem as variáveis $x$ e $y$, contanto que, quando $y$ é substituído por $f(x)$, a equação resultante seja verdadeira para todos os valores de $x$ no domínio de $f$.

Diferenciação implícita:

Dada uma equação na qual se estabelece $y$ implicitamente como uma função diferenciável de $x$, para calcularmos $dy / dx$, seguimos:

▪ Derivando ambos os membros da equação em relação a $x$, aplicando o operador $\cfrac{d}{dx}$ aos dois membros da equação, termo a termo.

▪ Considere que $y$ seja uma função de $x$.

▪ Utilize a regra da cadeia, do produto e quociente quando necessário para derivar as expressões nas quais figure $y$.

▪ O resultado será uma equação onde figure não somente $x$ e $y$, mas também $dy/dx$.

▪ Resolva a equação para obter a derivada $dy/dx$.

Quando realizamos uma diferenciação implícita o resultado é frequentemente uma equação que fornece $dy/dx$ em função de $x$ e $y$. Para calcular o valor numérico de $dy/dx$ é necessário conhecer o valor numérico de $y$, além do valor numérico de $x$.

O processo para diferenciação implícita pode apenas ser usado legitimamente se é conhecida a equação em questão que realmente determine $y$ implicitamente como uma função deiferenciável de $x$.

Exemplo $1$:

Como um primeiro exemplo, vamos tomar a equação $x+y-3=x^2$ que apesar de poder facilmente ser resolvida para $y$, vamos aplicar a diferenciação implícita a fim de ilustrar o conceito.

Iniciamos aplicando o operador $\cfrac{d}{dx}$ a ambos os membros da equação:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\left(x+y-3\right) = \frac{d}{dx} \left(x^2\right)
\end{equation*}
e em seguida, aplicamos o operador $\cfrac{d}{dx}$ termo a termo:
\begin{equation*}
\cfrac{d}{dx}\left( x \right) + \frac{d}{dx} \left( y \right) - \frac{d}{dx} \left( 3 \right) = \frac{d}{dx} \left( x^2 \right)
\end{equation*}
A derivada de $x$ é $1$. A derivada de $y$ nós não sabemos e mantemos o operador diferencial $dy/dx$. A derivada da constante $3$ é zero e a derivada de $x^2$ é $2x$. Assim:
\begin{equation*}
1+\frac{dy}{dx}-0=2x
\end{equation*}
Agora, resolvemos a equação para $dy/dx$, obtendo:
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx} = 2x-1
\end{equation*}

Exemplo $2$:

Neste segundo exemplo, tomemos a equação $x^4+y^2=2x$. Para derivarmos implicitamente, aplicamos o operador diferencial $d/dx$ em ambos os lados da equação:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\left( x^4+y^2 \right) = \frac{d}{dx}\left(2x\right)
\end{equation*}
E derivamos termo a termo:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\left(x^4\right) + \frac{d}{dx} \left(y^2\right) = \frac{d}{dx} \left(2x\right)
\end{equation*}
A derivada de $x^4$ é $4x^3$. A derivada de $y^2$ não sabemos e mantemos o operador diferencial $d/dx$. A derivada de $2x$ é $2$. Assim:
\begin{equation*}
4x^3 + \frac{d}{dx}\left(y^2\right) = 2
\end{equation*}
Temos que nos atentar ao fato de que no caso da diferenciação de $y^2$, estamos derivando em relação a $x$ e não em relação a $y$. Temos que aplicar a regra da cadeia. O que fazemos é derivar $y^2$ como $2y$ e aplicar o operador $d/dx$ justamente por não sabermos a natureza de $y$.

Veja que se hipoteticamente $y=\cos(x)$, então $y^2=\cos^2(x)$ e a derivada de $\left(y^2\right)^\prime = 2\cos(x)\cdot \left(-\text{sen}(x)\right)$ e não somente $2\cos(x)$. Deste modo, continuamos nosso problema escrevendo:
\begin{equation*}
4x^3 + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 2
\end{equation*}
Agora, isolamos $dy/dx$:
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx} = \frac{2-4x^3}{2y} = \frac{1-2x^3}{y}
\end{equation*}

Exemplo $3$:

A regra do produto é utilizada quando em um ou mais termos da equação aparece um produto entre as variáveis $x$ e $y$, tal como $xy$. Vamos considerar a equação $3x^2 +y^3+xy=x+1$. Para derivarmos implicitamente, aplicamos o operador diferencial $d/dx$ em ambos os membros da equação:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx} \left(3x^2 + y^3 + xy\right) = \frac{d}{dx} \left(x+1 \right)\\
\ \\
\frac{d}{dx}\left(3x^2 \right) + \frac{d}{dx} \left(y^3 \right) + \frac{d}{dx} \left(xy \right) = \frac{d}{dx} \left(x\right) \frac{d}{dx} \left(1\right)
\end{equation*}
A derivada de $3x^2$ é $6x$. Para a derivada de $y^3$, aplicamos a regra da cadeia, obtendo $\displaystyle 3y^2\left( \frac{d}{dx}~y\right)$. Para a derivada de $xy$, aplicamos a regra do produto, obtendo $\displaystyle 1y + x \frac{dy}{dx}$. A derivada de $x$ é $1$ e da constante $1$ é zero. Assim:
\begin{equation*}
6x +3y^2 \frac{d}{dx}(y) + \left(y+x\frac{dy}{dx}\right) = 1\\
\ \\
6x + 3y^2 \frac{dy}{dx} + y + x\frac{dy}{dx} = 1\\
\ \\
\left(3y^2 + x \right) \frac{dy}{dx} = 1-y-6x\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = \frac{1-y-6x}{3y^2+x}
\end{equation*}

Exemplo $4$:

Vamos encontrar a derivada implícita da seguinte equação envolvendo seno e cosseno $3x^2y^3+4~\text{sen}(y)=\cos(x)$.

Iniciamos diferenciando termo a termo ambos os membros da equação:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx} \left(3x^2y^3+4~\text{sen}(y)\right) = \frac{d}{dx} cos(x)\\
\ \\
3\frac{d}{dx}\left(x^2y^3\right) + 4\frac{d}{dx}\left(\text{sen}(y)\right) = \frac{d}{dx} \left(\cos(x)\right)
\end{equation*}
Para derivarmos $x^2y^3$, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia. Já para a derivada de $\text{sen}(y)$, aplicamos a regra da cadeia. E para a derivada de $\cos(x)=-\text{sen}(x)$ . Assim:
\begin{equation*}
3\left[ \frac{d}{dx} \left(x^2\right)\right]y^3+3x^2\left[ \frac{d}{dx}\left( y^3 \right) \right]+4\frac{d}{dx}\left[\text{sen}(y)\right] = \frac{d}{dx}\left[ \cos(x) \right]\\
\ \\
6xy^3 + 9x^2y^2\frac{dy}{dx}+4\cos(y)\frac{dy}{dx} = -\text{sen}(x)\\
\ \\
\left(9x^2y^2+4\cos(y)\right)\frac{dy}{dx} = -\text{sen}(x)-6xy^3\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = \frac{-\text{sen}(x)-6xy^3}{9x^2y^2+4\cos(y)} = -\frac{\text{sen}(x)+6xy^3}{9x^2 y^2+4\cos(y)}
\end{equation*}

Exemplo $5$:

Assim como a regra do produto, podemos utilizar a regra do quociente quando em um ou mais termos da equação aparece um quociente entre as variáveis $x$ e $y$, tal como $x/y$. Vamos considerar a equação $x^3+y-\cfrac{2x}{y}=\ln(y)$. Para derivarmos implicitamente, aplicamos o operador diferencial $d/dx$ em ambos os membros da equação:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\left( x^3+y+\frac{2x}{y} \right)=\frac{d}{dx} \left(\ln(y)\right)\\
\ \\
\frac{d}{dx}\left(x^3\right)+\frac{d}{dx}\left(y\right)+\frac{d}{dx}\left(\frac{2x}{y}\right) = \frac{1}{y}\left(\ln (y)\right)\\
\ \\
3x^2+\frac{dy}{dx}+\left[ \frac{2 y-2x \frac{dy}{dx}}{y^2} \right] = \frac{1}{y} \frac{dy}{dx}\\
\ \\
3x^2+\frac{dy}{dx}+\frac{2}{y}-\frac{2x}{y^2}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}\\
\ \\
\left( 1-\frac{1}{y}-\frac{2x}{y^2} \right)\frac{dy}{dx} = -3x^2-\frac{2}{y}\\
\ \\
\left(\frac{y^2-y-2x}{y^2} \right)\frac{dy}{dx} = \frac{-3x^2y-2}{y}\\
\ \\
\frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{y^2-y-2x}\cdot \frac{(-3x^2y-2)}{y}\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = \frac{y(-3x^2y-2)}{y^2-y-2x}\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = \frac{y(3x^2y+2)}{2x+y-y^2}

\end{equation*}

Exemplo $6$:

Neste exemplo, vamos utilizar a diferenciação implícita para provar que a regra da potência para expoentes inteiros no cálculo de derivadas, também é válida para expoentes fracionários. Vamos demonstrar que:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}
\end{equation*}
para todo $n = p/q$.

Iniciamos a prova para expoentes fracionários introduzindo $y$ como a variável dependente:
\begin{equation*}
y = x~^{p/q}
\end{equation*}
Elevamos ambos os membros à potência $q$:
\begin{equation*}
y^q = x^p
\end{equation*}
Derivamos implicitamente em relação a $x$, utilizando a regra da potência para expoentes inteiros:
\begin{equation*}
q~u~^{q-1} \frac{dy}{dx} = p~x~^{p-1}\\
\ \\
\frac{du}{dx} = \frac{p}{q} \cdot \frac{x~^{p-1}}{y~^{q-1}}
\end{equation*}
Podemos escrever $y~^{q-1}$ como $y^q \cdot y^{-1} = \cfrac{y^q}{y}$. Assim:
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q} \cdot \frac{x~^{p-1}}{\cfrac{y~^q}{y}}
\end{equation*}
Mas $y^2=x^p$ e $y = x^{p/q}$, assim:
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q} \cdot \frac{x~^{p-1}}{x~^p}\cdot x^{p/q}\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q} \cdot x^{p-1-p} \cdot x^{p/q}\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q} \cdot x^{-1} \cdot x^{p/q}\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q} \cdot x~^{p/q~-1}
\end{equation*}
Finalizando a prova.

Referências:

[1] Cálculo com Geometria Analítica V1 - Simmons
[2] Cálculo V1 - Munem-Foulis

Veja mais:

Funções compostas e a regra da cadeia
Aplicação de derivada na determinação de máximos e mínimos
Aplicação de derivada no estudo de reflexão e refração de um raio de luz



16 de jul de 2016

Resolução da integral $\small \displaystyle \int \frac{x}{ax+b} dx$

Nesta postagem, veremos que:
\begin{equation*}
\int \frac{x}{ax+b}dx = \frac{1}{a^2} \left(ax -b \ln \left|ax+b \right| \right)+C
\end{equation*}
onde $a$ e $b$ são constantes $\in \mathbb{R}$, sendo $a \neq 0$.


Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \frac{x}{ax+b} dx
\end{equation*}
Reescrevemos o integrando como:
\begin{equation*}
I = \int \left(\frac{1}{a}-\frac{b}{a(ax+b)}\right) dx
\end{equation*}
Integrando termo a termo:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a} \int dx - \frac{b}{a} \int \frac{1}{ax+b} dx
\end{equation*}
Para o integrando $\cfrac{1}{ax+b}$, fazemos a substituição $u = ax+b$. Assim, $du = a~dx$ e $dx = \cfrac{1}{a}du$:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a} \int dx - \frac{b}{a} \int \frac{1}{u}\cdot \frac{1}{a} du \\
\ \\
I = \frac{1}{a} \int dx - \frac{b}{a^2} \int \frac{1}{u} du
\end{equation*}
A integral de $1$ é $x$ e a integral de $\cfrac{1}{u}$ é $\ln (u)$. Assim:
\begin{equation*}
I = \frac{x}{a} - \frac{b}{a^2} \ln (u)+C \\
\ \\
I = \frac{ax - b \ln (u)}{a^2} + C\\
\ \\
I = \frac{1}{a^2}\left( ax-b \ln (u)\right)+C
\end{equation*}
Mas $u = ax+b$, assim:
\begin{equation}
I = \frac{1}{a^2} \left(ax - b \ln |ax+b|\right) + C
\end{equation}

Exemplo $1$:

Encontrar a área entre as curvas $f(x)= \cfrac{x}{x+1}$ e $g(x)=\cfrac{x}{3x+2}$, compreendida no intervalo $[0,1]$.


A área desejada é a diferença entre as áreas das duas curvas. Para o cálculo dessas área, utilizamos o conceito de integral definida com limite inferior igual a $0$ e superior igual a $1$, de modo que:
\begin{equation*}
A = \int_0^1  \frac{x}{x+1}dx - \int_0^1 \frac{x}{3x+2}dx
\end{equation*}
Utilizamos a fórmula obtida em $(1)$.
\begin{equation*}
A = \left[ \left(x - \ln |x+1|\right) \right]_0^1 - \left[ \frac{1}{9} \left(3x - 2 \ln |3x+2|\right)\right]_0^1\\
\ \\
A = \left[ 1- \ln (2) + \ln (1)\right] - \left[ \frac{3-2\ln(5)+2\ln(2)}{9}\right]\\
\ \\
A \approx 0,177~\text{unidades de área}
\end{equation*}

Exemplo $2$:

Encontrar a área compreendida entre as curvas $f(x)=\cfrac{x}{2x+0,2}$ e $g(x)=\cfrac{x}{2-0,25 x}$, sendo o limite inferior igual a $0$ e o limite  superior o ponto de intersecção entre as duas curvas no quadrante onde $x$ e $y$ são positivos.


Começamos escrevendo as funções como:
\begin{equation*}
f(x) = \frac{5x}{10x+1} \quad \text{e} \quad g(x) = \frac{4x}{8-x}
\end{equation*}
Para encontrarmos os ponto de intersecção entre as duas curvas, fazemos $f(x)=g(x)$ e calculamos o valor de $x$:
\begin{equation*}
\frac{5x}{10x+1} = \frac{4x}{8-x}\\
\ \\
5x(8-x) = 4x(10x+1)\\
\ \\
45x^2-36x = 0\\
\ \\
x(45x-36)=0\\
\ \\
x_1=0 \quad \text{e} \quad x_2 = \cfrac{4}{5}
\end{equation*}
Desta forma, os limites de integração serão $0$ e $4/5$, e a área desejada será a diferença das áreas de $f(x)$ e $g(x)$, dada pela diferença das integrais definidas:
\begin{equation*}
A = \int_0^{4/5}\frac{x}{2x+\frac{1}{5}}dx - \int_0^{4/5}\frac{x}{2-\frac{x}{4}} dx
\end{equation*}
Para a primeira integral, temos que $a=2$ e $b=1/5$. Para a segunda integral, temos $a=-1/4$ e $b=2$. Assim, aplicando a fórmula encontrada em $(1)$:
\begin{equation*}
A = \left[ \frac{1}{4}\left(2x-\frac{1}{5}\ln\left|2x+\frac{1}{5}\right| \right) \right]_0^{4/5} - \left[16\left( -\frac{x}{4}-2\ln \left|-\frac{x}{4}+2\right|\right)\right]_0^{4/5}
\end{equation*}
Aplicando os limites em $x$:
\begin{equation*}
A=\left[ \frac{1}{4}\left( \frac{8}{5}-\frac{1}{5}\ln\left(\frac{9}{5}\right) \right) -\frac{1}{4}\left( -\frac{1}{5}\ln\left(\frac{1}{5}\right) \right) \right] - \\
\ \\
\left[ 16\left( -\frac{1}{5}-2\ln\left(\frac{9}{5}\right) \right) - 16\left( -2\ln(2) \right) \right]
\ \\
A \approx 0,1186 ~\text {unidades de área}
\end{equation*}



Veja mais:

Lista de resolução de integrais
Integração por substituição
Integração por partes



10 de jul de 2016

Funções compostas e a regra da cadeia

A regra da cadeia é uma fórmula para a derivada da função composta de duas ou mais funções. Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo diferencial. Seu desenvolvimento foi devido à mudança de notação, ou seja, ao invés de usar a notação de Newton, Leibniz adotou uma notação referente à tangente, onde a derivada é dada pela diferença dos valores na ordenada dividida pela diferença dos valores na abcissa e onde essa diferença é infinitamente pequena $(dy/dx)$. A partir desta observação, a regra da cadeia passou a permitir a diferenciação de funções diversas cujo argumento é outra função.


Vamos iniciar este estudo com um problema de derivar uma função. Para isso, suponha a função:
\begin{equation}
y = (x^2 + 5x)^3
\end{equation}
e que queremos determinar a sua derivada $dy/dx$.

Uma forma de resolver é usa o Teorema do Binômio para expandir a função no polinômio:
\begin{equation}
y = (x^2+5x)^3 = x^6+15x^5++75x^4+125x^3
\end{equation}
e em seguida, diferenciarmos o polinômio:
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = 6x^5+75x^4+300x^3+375x^2
\end{equation}
Neste caso o processo é fácil, mas trabalhoso. Mas para funções envolvendo expoentes de grau mais alto, tais como $y=(7x^5+19)^{100}$, o processo é inviável.

Outra forma de resolver é fazermos a introdução de uma nova variável auxiliar $u=x^2+5$, de modo que a relação $(1)$ pode ser decomposta em partes mais simples, como:
\begin{equation}
y=u^3 \quad \text{e} \quad u=x^2+5x
\end{equation}
Neste sentido, se substituirmos a expressão de $u$ em $y=u^3$ obtemos uma função composta, também chamada de função de função. Em linhas gerais $y$ é uma função de $u$, onde $u$, por sua vez é uma função de $x$:
\begin{equation}
y=f(u) \quad \text{onde} \quad u=g(x)
\end{equation}
A correspondente função composta é a função:
\begin{equation}
y = f\left(g(x)\right)
\end{equation}

A regra da cadeia

Se $y$ é uma função diferenciável de $u$ e se $u$ é uma função diferenciável de $x$, então $y$ é uma função diferenciável de $x$, de modo que:
\begin{equation}
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}
\end{equation}
Neste modelo, a regra da cadeia tem aparência de uma identidade algébrica trivial. A notação fracionária de Leibniz para as derivadas sugere que $du$ pode ser cancelado das duas "frações" à direita. Seu conteúdo intuitivo é fácil de entender se pensarmos em derivadas como taxas de variação:

Se $y$ varia $a$ vezes mais rápido que $u$ e se $u$ varia $b$ vezes mais rápido que $x$, então $y$ varia $ab$ vezes mais rápido que $x$.

Voltando à função composta dada em $(1)$ e sua decomposição $(4)$, podemos aplicar a fórmula $(7)$, obtendo:
\begin{matrix}
\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}&=&3u^2(2x+5)=3(x^2+5)^2(2x+5)\\
&=& 6x^5+75x^4+300x^3+375x^2
\end{matrix}
O resultado obtido é o mesmo encontrado em $(3)$. Da mesma forma, podemos calcular facilmente a derivada de $y = (7x^5+19)^{100}$. Escrevemos:
\begin{equation*}
y=u^{100}\quad \text{onde} \quad u=7x^5+19
\end{equation*}
e usamos a fórmula $(7)$, obtendo:
\begin{matrix}
\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}&=&100u^{99}\cdot 35x^4=100(7x^5+19)^{99}\cdot 35x^4\\
&=& 3500x^4(7x^5+19)^{99}
\end{matrix}
Vejam como esses exemplos mostram como a regra da cadeia é um instrumento poderoso para o cálculo.

Demonstração:

Usando uma variação infinitesimal $\Delta x$ na variável independente $x$, esta produz uma variação $\Delta u$ na variável $u$, que por sua vez, produz uma variação $\Delta y$ na variável $y$. Derivabilidade implica em continuidade, assim, $\Delta u \rightarrow 0$ quando $\Delta x \rightarrow 0$. Olhando as definições das três derivadas que queremos relacionar:
\begin{equation}
\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \quad , \quad
\frac{dy}{du}=\lim_{\Delta u \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta u} \quad , \quad
\frac{du}{dx}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta u}{\Delta x}
\end{equation}
podemos completar a demonstração por álgebra simples:
\begin{equation}
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}
\end{equation}
e assim:
\begin{equation}

\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x} =\\
\ \\
= \left[  \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta u} \right] \left[  \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta u}{\Delta x} \right]=\\
\ \\
=\left[  \lim_{\Delta u \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta u} \right] \left[  \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta u}{\Delta x} \right]= \frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}

\end{equation}
A falha desta demonstração é na possível divisão por zero. Ao calcularmos $dy/dx$ pela definição dada em $(8)$, sabemos pelo significado dessa fórmula que o incremento $\Delta x$ é infinitesimal, tendendo a zero, mas nunca será igual a zero. Por outro lado, pode ocorrer de $\Delta x$ não induzir uma variação real em $u$, de modo que $\Delta u = 0$. Essa possibilidade invalida as relações $(9)$ e $(10)$.

Podemos contornar este problema usando um artifício matemático. Começamos com a definição de derivada $dy/du$:
\begin{equation}
\frac{dy}{du} = \lim_{\Delta u \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta u}
\end{equation}
Isto é equivalente a:
\begin{equation}
\frac{\Delta y}{\Delta u} = \frac{dy}{du}+\epsilon\\
\ \\
\Delta y = \frac{dy}{du}\Delta u + \epsilon \Delta u
\end{equation}
onde $\epsilon \rightarrow 0$ quando $\Delta u \rightarrow 0$.

Nestas equações supomos que $\Delta u$ é um incremento não-nulo em $u$, mas a última equação é válida mesmo quando $\Delta u = 0$. Dividindo esta por um incremento não-nulo $\Delta x$, obtemos:
\begin{equation}
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{dy}{du} \frac{\Delta u}{\Delta x} + \epsilon  \frac{\Delta u}{\Delta x}
\end{equation}
E se fizermos $\Delta x \rightarrow 0$ obtemos a regra da cadeia dada em $(7)$, desde que $\epsilon \rightarrow 0$.

A regra da cadeia é muito importante e indispensável para uma boa parte dos cálculos mais complexos de derivadas. Um exemplo disso foi mostrado no cálculo da derivada de $y = (7x^5+19)^{100}$. Podemos expressar em linhas gerais como:
\begin{equation}
\frac{d}{dx}\left(~~~\right)^n = n\left(~~~\right)^{n-1}~\frac{d}{dx}\left(~~~\right)
\end{equation}
onde qualquer função derivável de $x$ pode ser inserida nos parênteses. Se denotarmos a função por $u$, a fórmula pode ser escrita como:
\begin{equation}
\frac{d}{dx}\left(~u~\right)^n = n\left(~u~\right)^{n-1}~\frac{du}{dx}
\end{equation}

Exemplo $1$:

Aplicar a regra da cadeia para derivar $y=(3x^4+1)^7$.

Usando a fórmula $(15)$ e fazendo $u = 3x^4+1$, obtemos:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\left(~u~\right)^n = n\left(~u~\right)^{n-1}~\frac{du}{dx}\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = 7\left(3x^4+1\right)^{6}~\frac{d}{dx} \left(3x^4+1\right)=7\left(3x^4+1\right)^6\cdot 12x^3
\end{equation*}

Exemplo $2$:

Aplicar a regra da cadeia para derivar $y = (x+x^2-2x^5)^6$.

Usando a fórmula $(15)$ e fazendo $u = x+x-2x^5$, obtemos:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\left(~u~\right)^n = n\left(~u~\right)^{n-1}~\frac{du}{dx}\\
\ \\\frac{dy}{dx} = 6\left(x+x^2-2x^5\right)^5 \cdot \frac{d}{dx}\left(x+x^2-2x^5\right)\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = 6\left(x+x^2-2x^5\right)^5 \cdot \left(1+2x-10x^4\right)
\end{equation*}

Exemplo $3$:

Aplicar a regra da cadeia para derivar $y=(12-x^2)^{-2}$.

Usando a fórmula $(15)$ e fazendo $u = x+x-2x^5$, obtemos:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\left(~u~\right)^n = n\left(~u~\right)^{n-1}~\frac{du}{dx}\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = -2 \left(12-x^2\right)^{-3} \cdot \frac{d}{dx}\left(12-x^2\right)\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = -2\left(12-x^2\right)^{-3} \cdot \left(-2x\right) = 4x \left(12-x^2\right)^{-3}
\end{equation*}

Exemplo $4$:

Aplicar a regra da cadeia para derivar $y = \left[\left(3x^4+1\right)^7+1\right]^5$.

Neste caso, precisamos aplicar a fórmula $(15)$ duas vezes:
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx} = 5\left[\left(3x^4+1\right)^7+1\right]^4~\frac{d}{dx}\left[\left(3x^4+1\right)^7+1\right]\\
\ \\
= 5\left[\left(3x^4+1\right)^7+1\right]^4 \cdot 7\left(3x^4+1\right)^6~\frac{d}{dx}\left(3x^4+1\right)\\
\ \\
= 5\left[\left(3x^4+1\right)^7+1\right]^4 \cdot 7\left(3x^4+1\right)^6 \cdot 12x^3
\end{equation*}

Exemplo $5$:

Aplicar a regra da cadeia para derivar $\displaystyle  y = \left[\frac{(1-2x)}{(1+2x)} \right]^4$

Neste caso, usamos a regra da cadeia e a regra do quociente:
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx} = 4 \left[\frac{(1-2x)}{(1+2x)} \right]^3~\frac{d}{dx}\left(\frac{1-2x}{1+2x}\right)\\
\ \\
= 4\left(\frac{1-2x}{1+2x}\right)^3\cdot \frac{(-2)(1+2x)-(1-2x)(2)}{(1+2x)^2}\\
\ \\
= 4 \left(\frac{1-2x}{1+2x}\right)^3\cdot \frac{(-2-4x-2+4x)}{(1+2x)^2}\\
\ \\
= 4 \left(\frac{1-2x}{1+2x}\right)^3\cdot \frac{-4}{(1+2x)^2}\\
\ \\
= -16\frac{(1-2x)^3}{(1+2x)^5}
\end{equation*}

A regra da cadeia é realmente uma regra para a diferenciação de uma função composta $f \circ g$. Seja $y=f(u)$ e $u=g(x)$, de modo que:
\begin{equation}
y = f(u) = f\left[g(x)\right] = \left(f \circ g\right)(x)
\end{equation}
Desta forma, assumindo que $g$ é diferenciável em $x$ e $f$ é diferenciável em $g(x)$, pela regra da cadeia:
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx} = f^\prime (u) g^\prime (x) = f^\prime \left[g(x)\right] g^\prime (x)
\end{equation}

Se temos uma função composta $f \circ g$, tal que $(f \circ g)(x) = f\left[g(x)\right]$, chamamos $g$ de função interna e $f$ de função externa. Então, podemos estabelecer a regra da cadeia como sendo: a derivada da composta de duas funções é a derivada da função externa tomada no valor da função interna, multiplicada pela derivada da função interna:
\begin{equation}
\left(f \circ g\right)^\prime (x) = f^\prime \left[g(x)\right] g^\prime (x)
\end{equation}

Exemplo $6$:

Aplicar a regra da cadeia para derivar $y = \text{sen}\left(x^3\right)$

Neste caso, a função externa é a função seno e a função interna é a função $g(x)=x^3$. Temos então que:
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx} =  \cos \left(x^3\right)~3x^2 = 3x^2\cos\left(x^3\right)
\end{equation*}

Exemplo $7$:

Aplicar a regra da cadeia para provar que se $f=\cos(x)$, então $f^\prime = - \text{sen}(x)$.

Começamos escrevendo a função cosseno em termos de seno:
\begin{equation*}
\cos(x) = \text{sen}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)
\end{equation*}
Neste caso, a função externa é a função seno e a função interna é $\displaystyle g(x) = \frac{\pi}{2}-x$. A derivada da função cosseno é o seno e a derivada da função interna é $g^\prime(x) = -1$. Assim:
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx} = \left[ \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right](-1) = -\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=-\text{sen}(x)
\end{equation*}

Até o momento consideramos apenas as três variáveis $y$, $u$ e $x$. A regra da cadeia pode ser estendida a mais variáveis. Se adicionarmos uma nova variável $z$, a fórmula dada em $(7)$ pode ser escrita como:
\begin{equation}
\frac{dy}{dz} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} \frac{dx}{dz}
\end{equation}
onde $y$ depende de $u$, $u$ depende de $x$ e $x$ depende de $z$.

Se adicionarmos uma nova variável $w$, então $z$ dependerá de $w$:
\begin{equation}
\frac{dy}{dw} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} \frac{dx}{dz} \frac{dz}{dw}
\end{equation}
e assim por diante. Isso mostra o quão poderosa é a regra da cadeia no cálculo de derivadas de funções compostas.

Referências:

[1]  Cálculo com geometria analítica V1 - Simmons
[2] Cálculo V1 - Munem-Foulis
[3] A regra da cadeia no Wikipédia

Veja mais:

Leibniz e as diferenciais
Os mitos Leibnizianos a respeitos das curvas diferenciais
Aplicação de derivadas no estudo sobre a reflexão e refração de um raio de luz



7 de jul de 2016

Aplicação de derivadas no estudo sobre a reflexão e refração de um raio de luz

Utilizando derivadas como forma de otimização, vamos aplicar no problema de reflexão da luz em um espelho plano e da refração da luz na água, demonstrando que a luz percorre o menor caminho possível.

Considere um raio de luz que parte de um ponto $A$ e segue a um ponto $P$ sobre um espelho plano sendo refletido e passando por um ponto $B$. O raio incidente e o raio refletido possuem ângulos iguais a $\alpha$ e $\beta$, respectivamente.

Suponha que o raio de luz siga o caminho mais curto de $A$ a $B$ passando pelo espelho. Provemos que essa lei de reflexão seguindo o caminho $APB$ é mais curto quando $\alpha = \beta$.

[Figura 1]

Considere que o ponto $P$ assuma várias posições no espelho, sendo cada posição determinada por um valor de $x$, conforme se pode observar na figura acima. Vamos considerar o comprimento $L$ do percurso do raio de luz como sendo uma função de $x$. Assim, podemos escrever a seguinte expressão:
\begin{equation*}
L = \sqrt{a^2+x^2} + \sqrt{b^2+(c-x)^2} = (a^2+x^2)^{1/2} + \left(b^2+(c-x)^2\right)^{1/2}
\end{equation*}
A derivada desta expressão nos leva a:
\begin{equation*}
\frac{dL}{dx} = \frac{1}{2} \left(a^2+x^2\right)^{-1/2} \cdot (2x)+\frac{1}{2}\left[ b^2+(c-x)^2 \right]^{-1/2} \cdot 2(c-x)(-1)
\end{equation*}
\begin{equation}
\frac{dL}{dx} = \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} - \frac{c-x}{\sqrt{b^2+(c-x)^2}}
\end{equation}
Minimizamos o comprimento $L$ igualando a deriva acima a zero, obtendo:
\begin{equation}
\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} = \frac{c-x}{\sqrt{b^2+(c-x)^2}}
\end{equation}
Esta equação nos revela que para os ângulos $\alpha$ e $\beta$ nos dois triângulos retângulos da figura acima, as razões entre a hipotenusa e o lado adjacente são iguais e assim $\alpha$ e $\beta$ são iguais.

Derivando a função $L(x)$ e em seguida igualando a zero, minimizamos o comprimento $L$. Podemos ainda utilizar a relação dada em $(1)$ no teste da segunda derivada:
\begin{equation*}
\frac{d^2L}{dx^2} = \frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3/2}} + \frac{b^2}{\left[b^2+(c-x)^2 \right]^{3/2}}
\end{equation*}
Basta observar que a quantidade acima será positiva, já que $a$, $b$ e $c$ são distâncias entre pontos.

Podemos ainda utilizar a trigonometria nos triângulos retângulos da figura acima, de modo que a condição de minimização dada em $(2)$ pode ser escrita como:
\begin{equation*}
\cos(\alpha) = \cos(\beta)
\end{equation*}
O que nos leva a $\alpha = \beta$.

Esta lei de reflexão já era conhecida pelos gregos da Antiguidade, mas o fato de que o raio de luz refletido segue o caminho mais curto foi descoberto muito mais tarde por Heron de Alexandria, no século $I~d.C.$.

A demonstração de Heron é simples, porém engenhosa: sejam $A$ e $B$ os mesmos pontos da figura anterior, reproduzidos na figura abaixo, e seja $B~^\prime$ a imagem especular de $B$. A superfície do espelho é o plano bissetor de $BB~^\prime$. O segmento $AB~^\prime$ intercepta o espelho num ponto $P$ e este é o ponto onde o raio de luz é refletido ao passar de $A$ para $B$, pois então $\alpha = \gamma$ e $\gamma = \beta$ e assim $\alpha = \beta$. O percurso total do raio de luz é dado por:
\begin{equation*}
AP + PB = AP + PB~^\prime = AB~^\prime
\end{equation*}
O percurso de $A$ a $B$, passando por qualquer outro ponto $P~^\prime$ do espelho é:
\begin{equation*}
AP~^\prime + P~^\prime B = AP~^\prime + P~^\prime B~^\prime
\end{equation*}
que é maior do que o terceiro lado do triângulo $AP~^\prime B~^\prime$, o lado $AB~^\prime $, o que mostra que o percurso real de $A$ para $B$ do raio de luz refletido no espelho é o menor possível.
[Figura 2]

Temos que deixar claro que estes cálculos só tem sentido se considerarmos que o raio de luz tem todo o percurso em um único meio a uma velocidade constante. No entanto, em meios diferentes, como ar, água, vidro, a luz tem velocidades diferentes. Se um raio de luz passa do ar para a água, ele é refratado passando a uma direção mais próxima da perpendicular à interface. O percurso $APB$ não é mais o caminho mais curto de $A$ a $B$.

[Figura 3]

Em $1621$ o cientista holandês Snell descobriu empiricamente que o caminho real do raio de luz é o que satisfaz a equação:
\begin{equation}
\frac{\text{sen}(\alpha)}{\text{sen}(\beta)} = \text{constante}
\end{equation}
onde essa constante é independente da posição de $A$ e $B$. Esse fato é chamado de Lei de Refração de Snell. Podemos provar a Lei de Snell partindo do pressuposto de que o raio percorre um caminho de $A$ a $B$ de modo a minimizar o tempo total de percurso.

Seja a velocidade da luz no ar denotada por $V_{ar}$ e na água $V_{ag}$ e seja $T$ o tempo total do percurso, tempo no ar mais o tempo na água:
\begin{equation*}
T = \frac{\sqrt{a^2+x^2}}{V_{ar}} + \frac{\sqrt{b^2+(c-x)^2}}{V_{ag}}\\
\ \\
T = \frac{1}{V_{ar}}\left(a^2+x^2\right)^{1/2} + \frac{1}{V_{ag}}\left(b^2+(c-x)^2\right)^{1/2}
\end{equation*}
Se calcularmos a derivada desta função $T(x)$ e observarmos o seu significado em termos da figura acima, obteremos:
\begin{equation*}
\small \frac{dT}{dx} = \frac{1}{V_{ar}} \cdot \frac{1}{2}\cdot \left(a^2+x^2\right)^{-1/2} \cdot 2x + \frac{1}{V_{ag}}\cdot \frac{1}{2}\cdot \left( b^2+(c-x)^2 \right)^{-1/2} \cdot 2(c-x)\cdot (-1)\\
\end{equation*}
\begin{equation}
\frac{dT}{dx} = \frac{1}{V_{ar}}\cdot\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} - \frac{1}{V_{ag}}\cdot \frac{c-x}{\sqrt{b^2+(c-x)^2}}
\end{equation}
E ainda pela figura acima, temos:
\begin{equation*}
\text{sen}(\alpha) = \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} \quad \text{e} \quad \text{sen}(\beta)=\frac{c-x}{\sqrt{b^2(c-x)^2}}
\end{equation*}
Substituindo na derivada anterior, obtemos:
\begin{equation*}
\frac{dT}{dx} = \frac{\text{sen}(\alpha)}{V_{ar}} - \frac{\text{sen}(\beta)}{V_{ag}}
\end{equation*}
Para obtermos o $T$ mínimo, igualamos essa derivada a zero:
\begin{equation*}
0 = \frac{\text{sen}(\alpha)}{V_{ar}} - \frac{\text{sen}(\beta)}{V_{ag}}\\
\ \\
\frac{\text{sen}(\alpha)}{V_{ar}} = \frac{\text{sen}(\beta)}{V_{ag}}
\end{equation*}
Ou ainda:
\begin{equation}
\frac{\text{sen}(\alpha)}{\text{sen}(\beta)} = \frac{V_{ar}}{V_{ag}}
\end{equation}
Esta é a forma mais reveladora da Lei de Snell porque dá um significado físico da constante que aparece em $(3)$, pois é a razão entre a velocidade da luz no ar e a velocidade (menor) da luz na água. Essa constante é chamada de índice de refração da água. Se substituírmos a água por qualquer outro meio translúcido, como álcool, glicerina, vidro, ... então a constante teráum valor numérico diferente, pois cada meio possui um índice de refração diferente.

Podemos aplicar o teste da segunda derivada em $(4)$ para verificar se $(5)$ realmente minimiza $T$, observando se esta é positiva:
\begin{equation*}
\frac{d^2T}{dx^2} = \frac{1}{V_{ar}}\frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3/2}} + \frac{1}{V_{ag}}\frac{b^2}{\left( b^2+(c-x)^2 \right)^{3/2}}>0
\end{equation*}

Referências:

[1] Cálculo com Geometria Analítica - Simmons - Ed. McGraw-Hill

Veja mais:

O refinamento de Snell
Usando derivadas para aproximar funções
Aplicação de derivadas para determinação de máximos e mínimos



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