21 de jul de 2016

Diferenciação implícita

A diferenciação implícita permite-nos encontrar a derivada de uma equação sem que esta esteja resolvida para $y$, mas principalmente quando isolar $y$ é muito trabalhoso, ou mesmo impossível.


Para uma equação tal como $y=x^2-3x+5$, que já está resolvida para $y$ em função de $x$, dizemos que $y$ está expresso diretamente, ou explicitamente em termos de $x$. Já uma equação tal como $xy+4=3x-y$, apesar de poder ser resolvida para $y$ em função de $x$, apresenta $y$ implicitamente como uma função ou mais de $x$.

Definição:

Uma função contínua num intervalo aberto é dita ser implícita numa equação onde figurem as variáveis $x$ e $y$, contanto que, quando $y$ é substituído por $f(x)$, a equação resultante seja verdadeira para todos os valores de $x$ no domínio de $f$.

Diferenciação implícita:

Dada uma equação na qual se estabelece $y$ implicitamente como uma função diferenciável de $x$, para calcularmos $dy / dx$, seguimos:

▪ Derivando ambos os membros da equação em relação a $x$, aplicando o operador $\cfrac{d}{dx}$ aos dois membros da equação, termo a termo.

▪ Considere que $y$ seja uma função de $x$.

▪ Utilize a regra da cadeia, do produto e quociente quando necessário para derivar as expressões nas quais figure $y$.

▪ O resultado será uma equação onde figure não somente $x$ e $y$, mas também $dy/dx$.

▪ Resolva a equação para obter a derivada $dy/dx$.

Quando realizamos uma diferenciação implícita o resultado é frequentemente uma equação que fornece $dy/dx$ em função de $x$ e $y$. Para calcular o valor numérico de $dy/dx$ é necessário conhecer o valor numérico de $y$, além do valor numérico de $x$.

O processo para diferenciação implícita pode apenas ser usado legitimamente se é conhecida a equação em questão que realmente determine $y$ implicitamente como uma função deiferenciável de $x$.

Exemplo $1$:

Como um primeiro exemplo, vamos tomar a equação $x+y-3=x^2$ que apesar de poder facilmente ser resolvida para $y$, vamos aplicar a diferenciação implícita a fim de ilustrar o conceito.

Iniciamos aplicando o operador $\cfrac{d}{dx}$ a ambos os membros da equação:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\left(x+y-3\right) = \frac{d}{dx} \left(x^2\right)
\end{equation*}
e em seguida, aplicamos o operador $\cfrac{d}{dx}$ termo a termo:
\begin{equation*}
\cfrac{d}{dx}\left( x \right) + \frac{d}{dx} \left( y \right) - \frac{d}{dx} \left( 3 \right) = \frac{d}{dx} \left( x^2 \right)
\end{equation*}
A derivada de $x$ é $1$. A derivada de $y$ nós não sabemos e mantemos o operador diferencial $dy/dx$. A derivada da constante $3$ é zero e a derivada de $x^2$ é $2x$. Assim:
\begin{equation*}
1+\frac{dy}{dx}-0=2x
\end{equation*}
Agora, resolvemos a equação para $dy/dx$, obtendo:
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx} = 2x-1
\end{equation*}

Exemplo $2$:

Neste segundo exemplo, tomemos a equação $x^4+y^2=2x$. Para derivarmos implicitamente, aplicamos o operador diferencial $d/dx$ em ambos os lados da equação:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\left( x^4+y^2 \right) = \frac{d}{dx}\left(2x\right)
\end{equation*}
E derivamos termo a termo:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\left(x^4\right) + \frac{d}{dx} \left(y^2\right) = \frac{d}{dx} \left(2x\right)
\end{equation*}
A derivada de $x^4$ é $4x^3$. A derivada de $y^2$ não sabemos e mantemos o operador diferencial $d/dx$. A derivada de $2x$ é $2$. Assim:
\begin{equation*}
4x^3 + \frac{d}{dx}\left(y^2\right) = 2
\end{equation*}
Temos que nos atentar ao fato de que no caso da diferenciação de $y^2$, estamos derivando em relação a $x$ e não em relação a $y$. Temos que aplicar a regra da cadeia. O que fazemos é derivar $y^2$ como $2y$ e aplicar o operador $d/dx$ justamente por não sabermos a natureza de $y$.

Veja que se hipoteticamente $y=\cos(x)$, então $y^2=\cos^2(x)$ e a derivada de $\left(y^2\right)^\prime = 2\cos(x)\cdot \left(-\text{sen}(x)\right)$ e não somente $2\cos(x)$. Deste modo, continuamos nosso problema escrevendo:
\begin{equation*}
4x^3 + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 2
\end{equation*}
Agora, isolamos $dy/dx$:
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx} = \frac{2-4x^3}{2y} = \frac{1-2x^3}{y}
\end{equation*}

Exemplo $3$:

A regra do produto é utilizada quando em um ou mais termos da equação aparece um produto entre as variáveis $x$ e $y$, tal como $xy$. Vamos considerar a equação $3x^2 +y^3+xy=x+1$. Para derivarmos implicitamente, aplicamos o operador diferencial $d/dx$ em ambos os membros da equação:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx} \left(3x^2 + y^3 + xy\right) = \frac{d}{dx} \left(x+1 \right)\\
\ \\
\frac{d}{dx}\left(3x^2 \right) + \frac{d}{dx} \left(y^3 \right) + \frac{d}{dx} \left(xy \right) = \frac{d}{dx} \left(x\right) \frac{d}{dx} \left(1\right)
\end{equation*}
A derivada de $3x^2$ é $6x$. Para a derivada de $y^3$, aplicamos a regra da cadeia, obtendo $\displaystyle 3y^2\left( \frac{d}{dx}~y\right)$. Para a derivada de $xy$, aplicamos a regra do produto, obtendo $\displaystyle 1y + x \frac{dy}{dx}$. A derivada de $x$ é $1$ e da constante $1$ é zero. Assim:
\begin{equation*}
6x +3y^2 \frac{d}{dx}(y) + \left(y+x\frac{dy}{dx}\right) = 1\\
\ \\
6x + 3y^2 \frac{dy}{dx} + y + x\frac{dy}{dx} = 1\\
\ \\
\left(3y^2 + x \right) \frac{dy}{dx} = 1-y-6x\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = \frac{1-y-6x}{3y^2+x}
\end{equation*}

Exemplo $4$:

Vamos encontrar a derivada implícita da seguinte equação envolvendo seno e cosseno $3x^2y^3+4~\text{sen}(y)=\cos(x)$.

Iniciamos diferenciando termo a termo ambos os membros da equação:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx} \left(3x^2y^3+4~\text{sen}(y)\right) = \frac{d}{dx} cos(x)\\
\ \\
3\frac{d}{dx}\left(x^2y^3\right) + 4\frac{d}{dx}\left(\text{sen}(y)\right) = \frac{d}{dx} \left(\cos(x)\right)
\end{equation*}
Para derivarmos $x^2y^3$, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia. Já para a derivada de $\text{sen}(y)$, aplicamos a regra da cadeia. E para a derivada de $\cos(x)=-\text{sen}(x)$ . Assim:
\begin{equation*}
3\left[ \frac{d}{dx} \left(x^2\right)\right]y^3+3x^2\left[ \frac{d}{dx}\left( y^3 \right) \right]+4\frac{d}{dx}\left[\text{sen}(y)\right] = \frac{d}{dx}\left[ \cos(x) \right]\\
\ \\
6xy^3 + 9x^2y^2\frac{dy}{dx}+4\cos(y)\frac{dy}{dx} = -\text{sen}(x)\\
\ \\
\left(9x^2y^2+4\cos(y)\right)\frac{dy}{dx} = -\text{sen}(x)-6xy^3\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = \frac{-\text{sen}(x)-6xy^3}{9x^2y^2+4\cos(y)} = -\frac{\text{sen}(x)+6xy^3}{9x^2 y^2+4\cos(y)}
\end{equation*}

Exemplo $5$:

Assim como a regra do produto, podemos utilizar a regra do quociente quando em um ou mais termos da equação aparece um quociente entre as variáveis $x$ e $y$, tal como $x/y$. Vamos considerar a equação $x^3+y-\cfrac{2x}{y}=\ln(y)$. Para derivarmos implicitamente, aplicamos o operador diferencial $d/dx$ em ambos os membros da equação:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\left( x^3+y+\frac{2x}{y} \right)=\frac{d}{dx} \left(\ln(y)\right)\\
\ \\
\frac{d}{dx}\left(x^3\right)+\frac{d}{dx}\left(y\right)+\frac{d}{dx}\left(\frac{2x}{y}\right) = \frac{1}{y}\left(\ln (y)\right)\\
\ \\
3x^2+\frac{dy}{dx}+\left[ \frac{2 y-2x \frac{dy}{dx}}{y^2} \right] = \frac{1}{y} \frac{dy}{dx}\\
\ \\
3x^2+\frac{dy}{dx}+\frac{2}{y}-\frac{2x}{y^2}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}\\
\ \\
\left( 1-\frac{1}{y}-\frac{2x}{y^2} \right)\frac{dy}{dx} = -3x^2-\frac{2}{y}\\
\ \\
\left(\frac{y^2-y-2x}{y^2} \right)\frac{dy}{dx} = \frac{-3x^2y-2}{y}\\
\ \\
\frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{y^2-y-2x}\cdot \frac{(-3x^2y-2)}{y}\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = \frac{y(-3x^2y-2)}{y^2-y-2x}\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = \frac{y(3x^2y+2)}{2x+y-y^2}

\end{equation*}

Exemplo $6$:

Neste exemplo, vamos utilizar a diferenciação implícita para provar que a regra da potência para expoentes inteiros no cálculo de derivadas, também é válida para expoentes fracionários. Vamos demonstrar que:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}
\end{equation*}
para todo $n = p/q$.

Iniciamos a prova para expoentes fracionários introduzindo $y$ como a variável dependente:
\begin{equation*}
y = x~^{p/q}
\end{equation*}
Elevamos ambos os membros à potência $q$:
\begin{equation*}
y^q = x^p
\end{equation*}
Derivamos implicitamente em relação a $x$, utilizando a regra da potência para expoentes inteiros:
\begin{equation*}
q~u~^{q-1} \frac{dy}{dx} = p~x~^{p-1}\\
\ \\
\frac{du}{dx} = \frac{p}{q} \cdot \frac{x~^{p-1}}{y~^{q-1}}
\end{equation*}
Podemos escrever $y~^{q-1}$ como $y^q \cdot y^{-1} = \cfrac{y^q}{y}$. Assim:
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q} \cdot \frac{x~^{p-1}}{\cfrac{y~^q}{y}}
\end{equation*}
Mas $y^2=x^p$ e $y = x^{p/q}$, assim:
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q} \cdot \frac{x~^{p-1}}{x~^p}\cdot x^{p/q}\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q} \cdot x^{p-1-p} \cdot x^{p/q}\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q} \cdot x^{-1} \cdot x^{p/q}\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q} \cdot x~^{p/q~-1}
\end{equation*}
Finalizando a prova.

Referências:

[1] Cálculo com Geometria Analítica V1 - Simmons
[2] Cálculo V1 - Munem-Foulis

Veja mais:

Funções compostas e a regra da cadeia
Aplicação de derivada na determinação de máximos e mínimos
Aplicação de derivada no estudo de reflexão e refração de um raio de luz



4 comentários:

  1. Parabéns, seu blog é excelente!

    ResponderExcluir
  2. Professor, por que no exemplo nº4, o y^2 do denominador não aparece no resultado final?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Foi erro de digitação. Já o corrigi. Agradeço por relatar. Um abraço.

      Excluir

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