20 de mai de 2017

O problema da Flor de Timaridas

O problema da Flor de Timarida, também conhecida como Epantema, aparece no livro de Howard Eves, Introdução à História da Matemática, página $224$, exercícios $6.12(a)$ e $6.14(c)$. Trata-se de resolver um problema de quantidade, quando uma quantidade particular aparece em mais de uma soma.


Timaridas de Paros $(400-350a.C.)$ foi um matemático grego do século $IV\ a.C.$ e um dos pitagóricos. Embora pouco se sabe sobre a vida de Timaridas, acredita-se que ele fora um homem rico e que caiu na pobreza. Diz-se que Thestor de Poseidonia viajou a Paros a fim ajudar a Timaridas com o dinheiro que foi coletado para ele.

Iamblichus $(245-325)$ afirma que Timaridas chamava os números primos de "retilíneo" uma vez que só pode ser representado em uma linha unidimensional. Os números não-primos, por outro lado, podem ser representados em um plano bidimensional como os lados de um retângulo que, quando multiplicados, produzem o número não-primo em questão. Ele também chamou o número $1$ de "quantidade limitante".

Iamblichus em seus comentários para Introductio arithmetica afirma que Timaridas deu uma regra muito interessante para resolver um caso particular de sistema de $n$ equações com $n$ incógnitas. A regra tornou-se muito conhecida em sua época e recebeu o nome de Flor de Timaridas. Vejamos como esta regra é descrita:

Seja dada uma soma de $n$ quantidades, bem como a soma dos pares que contém uma quantidade particular delas; então, essa quantidade particular é igual a $\displaystyle \frac{1}{n-2}$ vezes a diferença entre a soma de todos os pares e a primeira soma.

Em notação moderna, podemos escrever essa regra como:
\begin{equation*}
x + x_1 + x_2 + \cdots + x_{n-1} = S\\
\ \\
x + x_1 = m_1\\
\ \\
x + x_2 = m_2\\

\vdots
\ \\
x + x_{n-1} = m_{n-1}
\end{equation*}
e dado por:
\begin{equation*}
x = \frac{\left(m_1 + m_2+ \cdots + m_{n-1}\right)-S}{n-2}
\end{equation*}

Como forma de ilustrar a aplicação desta regra, tomemos o problema a seguir.

Problema $1$:

Problema $6.14(c)$, Eves. Faça uma coroa de ouro, cobre, estanho e ferro pesando $60\ minae$ de modo que o ouro e o cobre juntos constituam $23$ da coroa; o ouro e o estanho, $3/4$; e o ouro e o ferro, $3/5$. Encontre o peso de cada metal necessário para a produzir esta coroa.

Seja o ouro = $O$, o cobre = $C$, o estanho = $E$ e o ferro = $F$. Temos então que:
\begin{equation}
O+C+E+F=60\ minae
\end{equation}
O ouro e o cobre juntos devem constituir $2/3$ da coroa. Assim:
\begin{equation}
O+C = \frac{2}{3}\cdot 60 = 40\ minae
\end{equation}
O ouro e o estanho juntos devem constituir $3/4$ da coroa. Assim:
\begin{equation}
O+E=\frac{3}{4} \cdot 60 = 45\ minae
\end{equation}
O ouro e o ferro juntos devem constituir $3/5$ da coroa. Assim:
\begin{equation}
O+F=\frac{3}{5} \cdot 60 = 36\ minae
\end{equation}
Obtemos de $(1)$, $(2)$, $(3)$ e $(4)$ um sistema de $4$ equações e $4$ incógnitas:
\begin{cases}
O & + & C & + & E & + & F & = & 60\\
O & + & C & & & &&= & 40\\
O & & & + & E&&& = & 45\\
O &&&&&+&F&=&36
\end{cases}
Vamos, então, aplicar a regra da Flor de Timaridas a fim de encontrar a quantidade de ouro e dos outros metais utilizados na produção da coroa.

Primeiramente devemos identificar cada parte do problema e onde aplicar na regra.

O sistema de equações formado é dado por $4$ incógnitas e $4$ equações assim:
\begin{equation}
n= 4
\end{equation}
A primeira soma citada na regra é a soma dada em $(1)$:
\begin{equation}
O+C+E+F=60
\end{equation}
Os pares que contém uma quantidade particular são dados pelas somas $(2)$, $(3)$ e $(4)$, sendo o ouro esta quantidade de metal em comum. Somando todos estes pares, obtemos:
\begin{equation}
40 + 45 + 36 = 121
\end{equation}
Vamos aplicar na regra para obter primeiramente a quantidade de ouro:
\begin{equation*}
O = \frac{1}{n-2} \times \left[ (soma\ dos\ pares) - (primeira\ soma) \right]\\
\ \\
O = \frac{1}{4-2} \times \left[121 - 60 \right]\\
\ \\
O = \frac{1}{2} \times 61\\
\ \\
O = \frac{61}{2} = 30,5\ minae\ de\ ouro
\end{equation*}
Mas vamos manter esta quantidade em forma de fração para os próximos cálculos.

Tomando a equação $(2)$, encontramos a quantidade de cobre utilizada na coroa:
\begin{equation*}
O+C=40\\
\ \\
\frac{61}{2} + C = 40\\
\ \\
C=40 - \frac{61}{2}\\
\ \\
C=\frac{19}{2}\ minae\ de\ cobre
\end{equation*}
Tomando a equação $(3)$, encontramos a quantidade de estanho utilizada na coroa:
\begin{equation*}
O + E = 45\\
\ \\
\frac{61}{2} + E = 45\\
\ \\
E = 45 - \frac{61}{2}\\
\ \\
E = \frac{29}{2}\ minae\ de\ estanho
\end{equation*}
Tomando a equação $(4)$, encontramos a quantidade de ferro utiizado na coroa:
\begin{equation*}
O + F = 36\\
\ \\
\frac{61}{2} + F = 36\\
\ \\
F = 36 - \frac{61}{2}\\
\ \\
F = \frac{11}{2}\ minae\ de\ ferro
\end{equation*}
Se somarmos todas as quantidades, devemos obter o peso todal da coroa, que é de $60\ minae$:
\begin{equation*}
O + C + E + F = 60\\
\ \\
\frac{61}{2} + \frac{19}{2} + \frac{29}{2} + \frac{11}{2} = 60\\
\ \\
\frac{120}{2} = 60\\
\ \\
60 = 60
\end{equation*}
Como queríamos.

Problema $2$:

Newton $(N)$, Gauss $(G)$ e Euler $(E)$ pesam juntos $232\ kg$. Newton e Gaus pesam juntos $160\ kg$; já Newton e Euler pesam juntos $148\ kg$. Calcular o peso de cada um desses matemáticos.

A partir do enunciado, podemos montar um sistema de equações com $3$ equações e $3$ incógnitas:
\begin{cases}
N & + & G & + & E &  = & 232\\
N & + & G & & &= & 160\\
N & & & + & E& = & 148\\
\end{cases}
Neste caso, temos que $n=3$; a primeira soma é $232$ e a soma dos pares é dada por $160+148=308$. Assim, o peso de Newton será dado po:
\begin{equation*}
N = \frac{1}{3-2} \times (308 - 232)\\
\ \\
N = 76
\end{equation*}
O peso de Gauss será dado por:
\begin{equation*}
N + G = 160\\
\ \\
76 + G = 160\\
\ \\
G = 84
\end{equation*}
E o peso de Euler será dado por:
\begin{equation*}
N+E=148\\
\ \\
76+E=148\\
\ \\
E = 72
\end{equation*}
Assim, os pesos de Newton, Gauss e Euler são $76\ kg$, $84\ kg$ e $72\ kg$, respectivamente.

Referências:

[1] Introdução à História da Matemática - Howard Eves, Editora Unicamp

Veja mais:

A regra de sinais, segundo Diofanto
O método da Falsa Posição
Frações unitárias



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