12/08/2017

Integrais contínuas de Rodrigues

Este post é sobre Integrais Contínuas e suas resoluções, envolvendo equações diferenciais, desenvolvidas por Augusto Gabriel Rodrigues, pesquisador em Ciências Físico-Matemáticas da Universidade Agostinho Neto em Luanda, Angola.


Definição:

Integrais Contínuas de Rodrigues são todas integrais cujas formas são dada por:
\begin{equation*}
\int\frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi (x)+ \int \frac{dx}{\varphi(x) \cdots}}}} \tag{1}\\
\end{equation*}
\begin{equation*}
\int \frac{\varphi(x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\ dx}{\cdots}}}} \tag{2}\\
\end{equation*}
\begin{equation*}
\int \frac{\varphi(x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi\ ^2 (x)\ dx}{\displaystyle \int
 \frac{\varphi \ ^3 (x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi \ ^4 (x)\ dx}{\cdots}}}} \tag{3}\\
\end{equation*}
\begin{equation*}
\int \left( \varphi (x) \right)^{\displaystyle \int \left( \varphi (x) \right)^{\displaystyle \int \left( \varphi (x) \right)^\cdots dx}dx}dx
 \tag{4}
\end{equation*}
As Integrais contínuas de Rodrigues são obtidas quando no lugar de $x$ na integral $\displaystyle \int \varphi (x)dx$, colocamos infinitas vezes a integral $\displaystyle \int \varphi \left( \int \varphi \left( \int \varphi \left( \cdots \right) dx \right) dx \right) dx$.

Demonstração da Integral de Rodrigues do tipo $(1)$:

Toda integral contínua do tipo $1$, satisfaz a seguinte igualdade:
\begin{equation*}
\int\frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi (x)+ \int \frac{dx}{\varphi(x) \cdots}}}}= \psi(x) \tag{5}
\end{equation*}
Onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*}
\left( \psi(x) + \varphi (x) \right) \frac{d \psi(x)}{dx}= 1 \tag{6}
\end{equation*}

Provemos, então, a igualdade $6$. Seja a integral:
\begin{equation*}
\int\frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\boxed{\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi (x)+\int \frac{dx}{\varphi(x) \cdots}}}}} = \psi(x)
\end{equation*}
Não é difícil observar que a expressão contida no retângulo constitui a integral $(5)$, pois ela se estende ao infinito, tendo como sua primitiva $\psi(x)$. Assim, temos:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{\varphi(x)+\psi(x)}=\psi(x)
\end{equation*}
o que constitui uma equação integral elementar. Derivando ambos os membros desta igualdade, obtemos:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\int \frac{dx}{\varphi(x)+\psi(x)}=\frac{d\psi(x)}{dx}\
\ \\
\frac{1}{\varphi(x)+\psi(x)} = \frac{d\psi(x)}{dx}\end{equation*}
Ou ainda:
\begin{equation*}
\left( \varphi(x)+\psi(x) \right)\frac{d \psi(x)}{dx}=1
\end{equation*}
Como queríamos demonstrar.

Método de resolução da Integral de Rodrigues do tipo $1$:

Toda integral do tipo $1$ satisfaz a seguinte igualdade:
\begin{equation*}
\int\frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi (x)+\int \frac{dx}{\varphi(x) \cdots}}}} = \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*}
\left( \psi(x) + \varphi (x) \right) \frac{d \psi(x)}{dx}= 1
\end{equation*}

Método de resolução da Integral de Rodrigues do tipo $2$: 

Toda a integral do tipo $2$ satisfaz a seguinte igualdade:
\begin{equation*}
\int \frac{\varphi(x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\ dx}{\cdots}}}}= \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*}
\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{d \psi(x)}{dx}
\end{equation*}

A Integral de Rodrigues do tipo $2$ é utilizada pelo autor para provar que algumas integrais não são elementarmente primitiváveis.

Método de resolução da Integral de Rodrigues do tipo $3$:

Toda a integral do tipo $3$ satisfaz a igualdade:
\begin{equation*}
\int \frac{\varphi(x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi\ ^2 (x)\ dx}{\displaystyle \int
 \frac{\varphi \ ^3 (x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi \ ^4 (x)\ dx}{\cdots}}}} 
\end{equation*}onde:
\begin{equation*}
\psi_{n-1}(x)=\int \frac{\varphi^{n-1}(x)dx}{\psi_n(x)}
\end{equation*}
A solução da integral obtém-se resolvendo o sistema de equações diferenciais $\displaystyle \frac{d\psi(x)}{dx}=\frac{\varphi^{n-1}(x)}{\psi_n(x)}$, onde $n=2,3,4, \cdots$:
\begin{equation*}
\psi_1 = \int \frac{\varphi \ (x)dx}{\psi_2}\\
\ \\
\psi_2 = \int \frac{\varphi^2(x) dx}{\psi_3}\\
\ \\
\psi_3 = \frac{\varphi^3(x)dx}{\psi_4}\\
\ \\
\ \cdots \\
\ \\
\psi_{n-1}= \int \frac{\left(\varphi(x)\right)^{n-1} dx}{\psi_n}
\end{equation*}e $\psi_i $, onde $i=1,2,3,\cdots$, são as soluções do sistema de equações:
\begin{cases}
\psi_1\ ^\prime\  \psi_2 & = & x\\
\psi_2\ ^\prime\  \psi_3 & = & x^2\\
\psi_3\ ^\prime\  \psi_4 & = & x^3\\
\cdots
\end{cases}

Método de resolução da Integral de Rodrigues do tipo $4$:

Toda integral do tipo $4$ satisfaz a igualdade:
\begin{equation*}
\int \left( \varphi (x) \right)^{\displaystyle \int \left( \varphi (x) \right)^{\displaystyle \int \left( \varphi (x) \right)^\cdots dx}dx}dx  = \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*}
\varphi(\psi(x))=\frac{d \psi(x)}{dx}
\end{equation*}

Algumas conclusões:

Em virtude dos resultados obtidos, podemos concluir:


\begin{equation*}
1) \qquad \int\frac{dx}{\displaystyle 1+\int \frac{dx}{\displaystyle
1+\int \frac{dx}{\displaystyle 1+ \int \frac{dx}{1+
 \cdots}}}}= \psi(x)
\end{equation*}
onde:
\begin{equation*}
\frac{(1+\psi(x))^2}{2}=x+C
\end{equation*}

\begin{equation*}
2) \qquad \int\frac{\ln(x)dx}{\displaystyle \int \frac{\ln(x)dx}{\displaystyle
\int \frac{\ln(x)dx}{\displaystyle \int \frac{\ln(x)dx}{
 \cdots}}}}= \psi(x)
\end{equation*}
onde:
\begin{equation*}
\frac{(\psi(x))^2}{2}=x(\ln (x)-1)+C
\end{equation*}

\begin{equation*}
3) \qquad \int \left( \text{sen} (x) \right)^{\displaystyle \int \left( \text{sen}(x) \right)^{\displaystyle \int \left( \text{sen} (x) \right)^\cdots dx}dx}dx = \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*}
\text{sen}(\psi(x))=\frac{d \psi(x)}{dx}
\end{equation*}

\begin{equation*}
4) \qquad \int \frac{\text{tg}(x)dx}{\displaystyle 1+\int\frac{\text{cotg}(x)dx}{\displaystyle 1+\int\frac{\text{tg}(x)dx}{\displaystyle 1+\int \frac{\text{cotg}(x)dx}{\displaystyle 1+ \int \frac{\text{tg}(x)dx}{\displaystyle 1+ \cdots}}}}} = \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*}
-(\text{tg}(x))^2 \ddot{\psi} + \text{tg} (x) \sqrt{1+\text{tg}^2(x)} \ \dot{\psi}=\frac{1}{\psi}
\end{equation*}
onde $\psi$ = $\psi (x)$.

\begin{equation*}
5) \qquad \int\frac{\ln(1+x)dx}{\displaystyle \int \frac{\ln(x)dx}{\displaystyle  \int \frac{\ln(1+x)dx}{\displaystyle \int \frac{\ln(x)dx}{  \cdots}}}}= \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi (x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*}
\frac{\psi(x)}{1+x} - \dot{\psi} \ln(1+x)=\psi \ln(x)
\end{equation*}

\begin{equation*} 
6) \qquad \int e (x)^{\displaystyle \int e(x)^{\displaystyle \int e(x)^\cdots dx}dx}dx  = \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*} 
e^{\displaystyle \psi(x)}=\frac{d \psi(x)}{dx}
\end{equation*}

\begin{equation*} 
7) \qquad \int\frac{\text{arctg}(x)\ dx}{\displaystyle 1+\int \frac{\text{arctg}(x)\ dx}{\displaystyle  1+\int \frac{\text{arctg}(x)\ dx}{\displaystyle 1+ \int \frac{\text{arctg}(x) \ dx}{1+  \cdots}}}}= \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*} 
\frac{d \psi(x)}{dx}=\frac{\text{arctg}(x)}{1+\psi(x)}
 \end{equation*}

\begin{equation*}
8) \qquad \int\frac{\text{arcsen}(x)\ dx}{\displaystyle 1+\int \frac{\text{arccos}(x)\ dx}{\displaystyle  1+\int \frac{\text{arcsen}(x)\ dx}{\displaystyle 1+ \int \frac{\text{arccos}(x) \ dx}{1+  \cdots}}}}= \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*}
\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ \frac{1}{\dot{\psi}^3} - \text{arcsen}(x)\frac{\ddot{\psi}}{\dot{\psi}^2}=\frac{\text{arccos}(x)}{1+\psi(x)}
\end{equation*}

A lista de Integrais Contínuas de Rodrigues, que se reduzem a equações diferenciais, é interminável. Para alguns céticos quanto ao trabalho apresentado, o autor afirma que as fórmulas foram criadas para gerar equações diferenciais de naturezas diversas.

Este trabalho deverá interessar aos cientistas do moviemnto que buscam nas equações diferenciais maneiras de compreender quantidades cuja taxa de variação é conhecida.

Liouville foi o primeiro matmeático a provar que algumas funções não são elementaresmente primitiváveis. Quando o autor iniciou o estudo sobre integrais contínuas, desejava encontrar as primitivas de funções não elementarmente primitiváveis e depois de incansáveis ataques, tudo o que pode encontrar foi a prova de que diversas funções especiais não são elementarmente primitiváveis.

Integral de Poisson, Logaritmo Integral, Integral de Dirichlet, Integral de Fresnel, entre outras, não possuem primitivas elementares ou simplesmente não são elementarmente primitiváveis:

Utilizando a Integral de Rodrigues do tipo $2$, temos que:
\begin{equation*}
\int \frac{\varphi(x)\ dx}{\displaystyle \int
 \frac{\varphi (x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\
dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\ dx}{\cdots}}}}= \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*}
\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{d \psi(x)}{dx}
\end{equation*}
Resultando em:
\begin{equation*}
\int \varphi (x)dx = \int \psi (x) d \psi(x)
\end{equation*}
Se $\displaystyle \varphi (x)=\frac{1}{\log (x)}$, então:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{\log (x)} = \int \psi (x) d\psi (x)
\end{equation*}
Se $\displaystyle \varphi(x) = \frac{\text{sen}(x)}{x}$, então:
\begin{equation*}
\int \frac{\text{sen}(x)dx}{x} = \int \psi(x) d\psi(x)
\end{equation*}
Se $\displaystyle \varphi (x) = \sqrt{\text{sen}(x)}$, então:
\begin{equation*}
\int \sqrt{\text{sen}(x)}\ dx= \int \psi (x) d \psi (x)
\end{equation*}
Se $\displaystyle \varphi (x) = e^{x^{2}}$, então:
\begin{equation*}
\int e^{x^2} dx = \int \psi (x) d \psi (x)
\end{equation*}
Assim, podemos concluir que todas as funções não elementarmente primitiváveis possuem a mesma primitiva, ou seja:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{\log (x)} = \int \frac{\text{sen}(x)dx}{x} =\\
\ \\
\int \sqrt{\text{sen}(x)}\ dx = \int e^{x^2}dx=\int \psi (x) d \psi(x)
\end{equation*}
O que constitui um absurdo. Fica assim provado que elas não possuem primitivas elementares.

Exemplo $1$:

Seja a integral:
\begin{equation*}
\int\frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi (x)+ \int \frac{dx}{\varphi(x) \cdots}}}} = \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial $\left(\psi(x)\right)^\prime \left[\psi(x)+\varphi(x)\right] = 1$ e $\varphi(x)=1$.

Resolvendo esta equação diferencial, temos que:
\begin{equation*}
(1+\psi)\frac{d\psi}{dx}=1\\
\ \\
(1+\psi)d\psi - dx = 0\\
\ \\
(1+\psi)d \psi - dx = dc
\end{equation*}
Integrando, resulta em:
\begin{equation*}
\frac{(1+\psi)^2}{2}=x+c\\
\ \\
\psi = -1 \pm \sqrt{2x+k}
\end{equation*}
onde $k=2c$.

Portanto:
\begin{equation*}
\int\frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi (x)+ \int \frac{dx}{\varphi(x) \cdots}}}} = \psi(x)
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
\psi(x)=-1\pm\sqrt{2x+k}
\end{equation*}

Exemplo $2$:

Seja a integral:
\begin{equation*}

\int \frac{\varphi(x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\ dx}{\cdots}}}} = \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial $\left(\psi(x)\right)^\prime \psi(x)=\varphi(x)$ Onde $\varphi(x)=x$

Resolvendo a equação diferencial:
\begin{equation*}
\psi \frac{d\psi}{dx}=x
\end{equation*}
resulta em:
\begin{equation*}
\psi(x)=\pm\sqrt{2x+k}
\end{equation*}

Observação: A integral $\displaystyle \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{2t+k}}=\sqrt{2x+k}$ fica  assim estabelecido por meio deste estudo a relação entre integrais simples e integrais contínuas de Rodrigues.

Link para o artigo: http://bit.ly/Int_Cont_Rod

O autor:

Augusto Gabriel Rodrigues é pesquisador em Ciências Físico-Matemáticas da Universidade Agostinho Neto em Luanda, Angola.

Contato por e-mail: joylizqueen@gmail.com




Veja mais:

O Cálculo integral
Integração por partes
Integração por substituição
Integração por frações parciais - Parte 1
Integração por frações parciais - Parte 2
Integração por substituição trigonométrica
Fórmula de redução para alguns casos de integrais 



2 comentários:

  1. Belo trabalho, Kleber!

    Não conhecia estes tipos de integrais.

    E olha a Angola se sobressaindo por intermédio do Rodrigues. Ele é brasileiro(pergunta).

    Um abraço.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Aloísio!
      O autor é da Angola.
      Ele me enviou dois trabalhos. Esse é o primeiro. Em breve farei o segundo.

      Um abraço.

      Excluir

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