tag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post4414587431278214025..comments2024-03-17T06:54:54.756-03:00Comments on O Baricentro da Mente: Integração por Substituição TrigonométricaKleber Kilhianhttp://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.comBlogger39125tag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-35915819169445809672018-07-04T19:42:42.490-03:002018-07-04T19:42:42.490-03:00Ótimo artigo, bem didático e compacto!
Venho apena...Ótimo artigo, bem didático e compacto!<br />Venho apenas lhe alertar sobre um erro na resposta final do exemplo quatro, onde afirma-se que a integral é igual a −1/16cotg(θ) dθ + C. Você provavelmente esqueceu o dθ ali, ele deveria sumir, já que integramos a função. AbçsRebecca C.noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-33982080503759845852018-05-31T16:09:38.135-03:002018-05-31T16:09:38.135-03:00boa tarde!
como consigo resolver essa segunda ques...boa tarde!<br />como consigo resolver essa segunda questão do exercicio?Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/17238633363757502241noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-44750776209358929242017-09-11T14:30:54.460-03:002017-09-11T14:30:54.460-03:00Muito obrigado pela resposta professor! Bateu exat...Muito obrigado pela resposta professor! Bateu exatamente com o valor que eu havia conseguido. Seu material foi de grande ajuda e sua atenção em responder com tamanha velocidade maior! Muito obrigado e sucesso na vida!Walter Curvelonoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-7073453296150871172017-09-09T23:56:03.795-03:002017-09-09T23:56:03.795-03:00Olá Walter, como vai? Veja a resolução:
Seja a in...Olá Walter, como vai? Veja a resolução:<br /><br />Seja a integral<br />$$I = \int \sqrt{4-x^2} dx$$<br />Fazemos a substituição trigonométrica:<br />$$ \sqrt{4-x^2}=2\cos(\theta)$$<br />assim, $dx=2\cos(\theta) d\theta$, obtemos:<br />$$<br />I = \int 2 \cos(\theta) \cdot 2 \cos(\theta) d\theta\\<br />\ \\<br />I = \int 4 \cos^2 (\theta) d\theta\\<br />\ \\<br />I = 4\int \cos^2(\theta) d\theta<br />$$<br />Da identidade trigonométrica, temos:<br />$$<br />\cos^2(\theta) = \frac{1}{2}\left(1+\cos(2\theta)\right)<br />$$<br />Assim:<br />$$<br />I = 2 \int \left(1+\cos(2\theta)\right) d\theta\\<br />\ \\<br />I = 2\int d\theta + 2\int \cos(2\theta) d\theta\\<br />\ \\<br />I = 2\theta + 2\int \cos(2\theta) d\theta\\<br />$$<br />Fazemos a substituição trigonométrica:<br />$$u=2\theta \quad \text{e} \quad du = 2d\theta$$<br />Assim:<br />$$<br />I = 2\theta + 2\int \cos(u)\cdot \frac{1}{2} du\\<br />\ \\<br />I = 2\theta + \int \cos(u) du\\<br />\ \\<br />I = 2\theta + \text{sen}(u) + C\\<br />$$<br />Mas $u=2\theta$, assim:<br />$$<br />I = 2\theta + \text{sen}(2\theta)+C<br />$$<br />Pela identidade do arco duplo, temos:<br />$$<br />I = 2\theta + 2\text{sen}(\theta)\cos(\theta) + C<br />$$<br />Escrevendo $\cos$ em função de $\text{sen}$, temos:<br />$$<br />\cos^2(\theta)=1-\text{sen}^2(\theta)\\<br />\ \\<br />\cos(\theta)=\sqrt{1-\text{sen}^2(\theta)}<br />$$<br />Assim:<br />$$<br />I = 2\theta + 2\ \text{sen}(\theta) \sqrt{1-\text{sen}^2(\theta)}+C<br />$$<br />Mas $\displaystyle \theta = \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right)$. Assim:<br />$$<br />I = 2\ \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) + x \sqrt{1-\text{sen}^2\left(\text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) \right)}+C\\<br /><br />\ \\<br /><br />I = 2\ \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) + x \sqrt{1-\frac{x^2}{4}}+C\\<br /><br />\ \\<br /><br />I = 2\ \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{x}{2} \sqrt{4-x^2}+C<br />$$<br /><br />Abraços!Kleber Kilhianhttps://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-34827267518314340552017-09-09T21:52:42.912-03:002017-09-09T21:52:42.912-03:00Boa noite professor! Me baseando na sua explicação...Boa noite professor! Me baseando na sua explicação resolvi a questão de Integração por Substituição Trigonométrica proposta pelo meu professor que era √4-x², encontrei o resultado 2arc sen(x–2)+x√4-x^2–2+c. Não sei se está certo, como vi que resolveu algumas questões pedidas nos comentários, gostaria de ver a resolução desse para comparar. Agradeço!Walter Curvelonoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-83825263786874425322017-05-24T11:51:05.967-03:002017-05-24T11:51:05.967-03:00como consigo resolver essa questão?como consigo resolver essa questão?Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/18366552900246656440noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-18680339598872727902016-10-15T21:08:34.905-03:002016-10-15T21:08:34.905-03:00Olá Artur. Veja uma possível resolução:
Seja a in...Olá Artur. Veja uma possível resolução:<br /><br />Seja a integral:<br />$$I=\int\frac{1}{x^2\sqrt{x^2-3}}dx$$<br />Veja no post o caso $III$. Tem-se $\displaystyle \sqrt{x^2-a}$. Usamos $x=a\ \sec(u)$ para obter $a\ \text{tg}(u)$.<br /><br />Fazemos $a=\sqrt{3}$. Assim, para o integrando, substituímos $x=\sqrt{3} \sec(u)$ e $dx = \sqrt{3}\ \text{tg}(u) \sec(u) du$.<br /><br />Então $\sqrt{x^2-3} = \sqrt{3 \sec^2(u)-3}=\sqrt{3}\text{tg}(u)$ e $\displaystyle u = \text{arcsec}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)$.<br /><br />$$<br />I = \sqrt{3} \int \frac{\cos(u)}{3\sqrt{3}}du\\<br />\ \\<br />I = \frac{1}{3} \int \cos (u) du\\<br />\ \\<br />I = \frac{1}{3} \text{sen}(u) + C\\<br />\ \\<br />$$<br />Substituindo $u$, obtemos:<br />$$<br />I = \frac{1}{3} \text{sen} \left( \text{arcsec}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right) \right) + C<br />$$<br />Usando o fato que:<br />$$<br />\text{sen}\left(\text{arcsec}(z)\right) = \sqrt{1-\frac{1}{z^2}}<br />$$<br />Obtemos:<br />$$<br />I = \frac{\sqrt{x^2-3}}{3x}+C<br />$$.<br /><br />Abs.<br />Kleber Kilhianhttps://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-64402718956159825062016-10-15T18:29:37.976-03:002016-10-15T18:29:37.976-03:00boa noite,
como consigo resolver esta integral por...boa noite,<br />como consigo resolver esta integral por substituição trigonometrica<br /><br />integral dx/x^2(raizx^2-3)Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/06975982736447306196noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-86401017783446236242016-10-09T10:39:02.109-03:002016-10-09T10:39:02.109-03:00Estou com dificuldade de fazer a integração por su...Estou com dificuldade de fazer a integração por substituição da seguinte função: \int \:\frac{1}{x^4\sqrt{x^2-3}}dx, chego até a parte da integração dai para frente não consigo fazer.<br /><br /><br />Cosme - Efeitos Especiais Indoorhttps://www.blogger.com/profile/02467163699993304725noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-87690134214710045802016-10-08T17:24:15.091-03:002016-10-08T17:24:15.091-03:00Edneia, não entendi a função que você escreveu.Edneia, não entendi a função que você escreveu.Kleber Kilhianhttps://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-23940939412268919672016-10-08T16:29:31.930-03:002016-10-08T16:29:31.930-03:00preciso de ajudaaaa
Integrando por substituição c...preciso de ajudaaaa<br /><br />Integrando por substituição calcule<br />fx raiz x^2+1edneia duraeshttps://www.blogger.com/profile/09932234729382613372noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-61774542665812314572016-07-09T17:19:35.207-03:002016-07-09T17:19:35.207-03:00Nem passou pela minha cabeça, obrigado.Nem passou pela minha cabeça, obrigado.Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/17537192011759877018noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-53995302337115393772016-07-09T15:14:30.460-03:002016-07-09T15:14:30.460-03:00Davi, não precisa ser uma substituição trigonométr...Davi, não precisa ser uma substituição trigonométrica, pode ser algébrica mesmo:<br /><br />Seja $\displaystyle I = \int x^7\sqrt{x^4-2}$<br />Fazemos a substituição $u=x^4$. Assim, $du=4x^3dx$ e $dx=\cfrac{1}{4x^3}du$.<br /><br />$$I = \int \cfrac{u~x^3\sqrt{u-2}}{4x^3}~du = \frac{1}{4}\int u\sqrt{u-2}~du$$<br />Fazemos a substituição $v=u-2$. Assim, $dv=du$ e $u=v+2$:<br />$$<br />I=\frac{1}{4}\int (v+2)\sqrt{v}~dv = \frac{1}{4} \int (v+2)~v^{1/2}~dv\\<br />\ \\<br />I = \frac{1}{4} \int \left( v^{3/2}+2v^{1/2} \right)~dv = \frac{1}{4}\int v^{3/2}~dv + \frac{1}{2}\int v^{1/2}~dv\\<br />\ \\<br />I = \frac{1}{4}\cdot \frac{2}{5} v^{5/2} + \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3} v^{3/2} +C = \frac{1}{10}v^{5/2}+\frac{1}{3}v^{3/2}+C<br />$$<br />Mas $v=u-2$:<br />$$<br />I = \frac{1}{10}(u-2)^{5/2} + \frac{1}{3}(u-2)^{3/2} + C<br />$$<br />Mas $u=x^4$:<br />$$<br />I = \frac{1}{10}(x^4-2)^{5/2} + \frac{1}{3}(x^4-2)^{3/2}+C\\<br />\ \\<br />I = \frac{1}{30}\left(x^4-2\right)^{5/2}\left(x^4-2\right)^{3/2}\\<br />\ \\<br />I = \frac{1}{30}\left(x^4-2\right)^4+C<br />$$<br /><br />Abraços.Kleber Kilhianhttps://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-39602369458351297912016-07-09T12:23:39.549-03:002016-07-09T12:23:39.549-03:00Como posso Integrar (X^7)sqrt((x^4)-2)
Todos os mé...Como posso Integrar (X^7)sqrt((x^4)-2)<br />Todos os métodos que tentei acabavam me levando à integral de uma arcotangente.Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/17537192011759877018noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-80655614342014835432016-05-24T10:53:12.739-03:002016-05-24T10:53:12.739-03:00Essa integral resolve pelo método das frações parc...Essa integral resolve pelo método das frações parciais.Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/11397410940894135950noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-78901727283991488742014-11-26T21:29:14.920-02:002014-11-26T21:29:14.920-02:00Mateus, boa noite.
Desculpe a demora, estou muito...Mateus, boa noite.<br /><br />Desculpe a demora, estou muito ocupado. Vi a resolução em vídeo dessa sua integral. Pode conferir aqui no youtube:<br /><br />https://www.youtube.com/watch?v=1NS_-BieNvQ<br /><br />Abraços!Kleber Kilhianhttps://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-81996658569566738602014-11-26T11:00:11.168-02:002014-11-26T11:00:11.168-02:00Olá Bom dia!!!! Gostaria de saber como eu resolvo ...Olá Bom dia!!!! Gostaria de saber como eu resolvo essa integral por substituição trigonométrica!!!<br /><br />∫dt/√(9-16t²)Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/13384900105491275132noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-71538804743666337292014-07-08T21:32:35.427-03:002014-07-08T21:32:35.427-03:00Valéria, envie em meu e-mail, vou ver o que posso ...Valéria, envie em meu e-mail, vou ver o que posso te ajudar: kleberkilhian@gmail.com<br /><br />Abraços.Kleber Kilhianhttps://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-66532917781053925962014-07-08T21:26:51.741-03:002014-07-08T21:26:51.741-03:00Kleber … Obrigada pela ajuda. Eu estou resolvendo ...Kleber … Obrigada pela ajuda. Eu estou resolvendo uma série de exercícios para fixar o assunto .. Ainda tenho dúvida em algumas questões.. Posso postá-las aqui ?Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/13105095857301620259noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-56283560804161093322014-07-08T21:03:53.601-03:002014-07-08T21:03:53.601-03:00Valéria, ao invés de digitar a resolução aqui, que...Valéria, ao invés de digitar a resolução aqui, que ficaria meio longa, fiz numa folha e tirei uma foto. Veja neste link:<br /><br />http://share.pho.to/6Hwun/9l/original<br /><br />Um abraço.Kleber Kilhianhttps://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-17911913413386829632014-07-08T02:57:03.301-03:002014-07-08T02:57:03.301-03:00Kleber, pode me ajudar com esta integral? \int √16...Kleber, pode me ajudar com esta integral? \int √16-xˆ2 / 4xˆ2 dx<br /><br />Eu encontrei -1/4 (√16-xˆ2 /x) - (arctg(√16-xˆ2 /x) + C<br /><br />...Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/13105095857301620259noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-25726306862264965862014-07-07T22:48:59.092-03:002014-07-07T22:48:59.092-03:00Oi Valéria, na verdade foi somente substituições:
...Oi Valéria, na verdade foi somente substituições:<br /><br />Lembrando que <br /><br />sec = 1/cos<br />cossec = 1/sen<br />tg = sen/cos<br /><br />Então, temos:<br /><br />$$\frac{1}{4}\int \frac{\text{sec} \theta}{\tan^2\theta}=\frac{1}{4} \int \frac{\frac{1}{\cos \theta}}{\frac{\text{sen}\theta}{\cos \theta}\cdot \frac{\text{sen}\theta}{\cos \theta}}=\frac{1}{4} \int \frac{1}{\cos \theta}\cdot \frac{\cos \theta}{\text{sen}\theta}\cdot\frac{\cos \theta}{\text{sen}\theta}=\frac{1}{4} \int \frac{1}{\text{sen}^2\theta}\cdot \cos \theta=\frac{1}{4}\int \text{cossec}^2\theta\cdot \cos \theta d\theta$$<br /><br />Espero ter esclarecido. Abraços.Kleber Kilhianhttps://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-86314042432846098582014-07-07T18:04:53.052-03:002014-07-07T18:04:53.052-03:00Kleber, poderia explicar direitinho o Exemplo 5 ap...Kleber, poderia explicar direitinho o Exemplo 5 após encontrar 1/4 \int secØ / tg²Ø dØ ??? eu não entendi pq vc encontrou 1/4 \int cosec²Ø * cosØ dØ à diante ... Agradeço muito!Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/13105095857301620259noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-58176011280227167312014-02-14T22:18:36.688-02:002014-02-14T22:18:36.688-02:00Olá Dalana. sua integral é do Tipo II que aparece ...Olá Dalana. sua integral é do Tipo II que aparece no começo desse artigo. É ainda muito parecida com a do exemplo 2. Seria bom você ler primeiro a teoria acima. Vamos À resolução:<br /><br />$$\int \frac{dx}{\sqrt{4+x^2}}=\int \frac{dx}{\sqrt{2^2+x^2}}$$<br />Fazemos a substituição trigonométrica:<br />$$x=2 \tan(\theta) \qquad \text{e} \qquad dx=2 \sec^2(\theta)d\theta$$<br />Agora vamos trabalhar o radicando, substituindo o valor de $x$:<br />$$2^2+x^2=2^2+(2 \tan(\theta))^2=2^2+2^2 \tan^2(\theta)=2^2(1+\tan^2(\theta))=2^2(\sec^2(\theta))$$<br />Veja que neste último passo usamos uma identidade trigonométrica. Fazemos:<br />$$\sqrt{2^2+x^2}=2(\sec(\theta))$$<br />Assim:<br />$$\int \frac{dx}{\sqrt{4+x^2}}=\int \frac{2\sec^2(\theta)}{2\sec(\theta)}d\theta=\int \sec (\theta) d\theta = \ln \mid \sec(\theta) + \tan (\theta) \mid +C$$<br />Reescrevendo em função da variável $x$:<br />$\displaystyle \bullet \sec(\theta)=\frac{\sqrt{4+x^2}}{2}$<br />$\displaystyle \bullet \tan(\theta)=\frac{x}{`2}$<br /><br />Assim:<br /><br />$$\int \frac{dx}{\sqrt{4+x^2}}= \ln \left (\frac{\sqrt{4+x^2}}{2} + \frac{x}{2} \right)+C = \ln \left( \frac{\sqrt{4+x^2}+x}{2}\right)+C= \ln (\sqrt{4+x^2}+x)- \ln (2)+C$$Kleber Kilhianhttps://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-35050519156541116542014-02-14T09:56:41.813-02:002014-02-14T09:56:41.813-02:00Olá Kleber Kilhian,
Você pode me ajudar, como se i...Olá Kleber Kilhian,<br />Você pode me ajudar, como se integra 1/(√4+x^2) dx<br />Obrigada.Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/06917940361905164346noreply@blogger.com