Método Babilônico para Aproximação de Raiz Quadrada de um Número n

Os Babilônios utilizavam um algoritmo para aproximar uma raiz quadrada de um número qualquer, da seguinte maneira:

Dado um número n, para encontrar a raiz quadrada aproximada, assumimos uma aproximação inicial a₀ e calculamos b₀. Em seguida, utilizamos o algoritmo:

Onde, para cada iteração (a_k , b_k), para todo k = 1, 2, 3, ..., encontramos uma raiz n mais aproximada.

O erro da aproximação é dado por E = |(b_k)² - n|. Se o valor absoluto da diferença entre (b_k)² e n for menor do que a precisão ε, então tome como raiz aproximada.

Exemplo: Aproximar √3 pelo algoritmo babilônico com precisão de ε = 1 . 10^{– 4}. Como a raiz quadrada de 3 está entre 1 e 2, vamos tomar como aproximação inicial a₀ = 1,5.

Calculamos:

Testamos o erro da aproximação inicial b₀. Como E = |2² - 3| > 10^{– 4}, continuamos as iterações:

k = 1

Como E = |1,714285714² - 3| > 10^{– 4}, continuamos as iterações:

k = 2

Como E = |1,731958762² - 3| > 10^{– 4}, continuamos as iterações:

k = 3

Como E = |1,7320508051² - 3| < 10^{– 4}, paramos as iterações e tomamos b₃ como uma raiz aproximada √3, com precisão até a décima casa decimal! Vale lembrar que, se continuarmos as iterações k, termos uma aproximação cada vez melhor da raiz.

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