18/07/2009

Demonstração da Derivada da Função Quociente

Seja a função quociente:

clip_image002

Então:

clip_image002[4]

Pela Derivada da Função Produto, temos:

clip_image002[6]

Substituindo ( I ) em ( II ), obtemos:

clip_image002[8]

clip_image002[10]

clip_image004

clip_image006

clip_image008

Que é a derivada da função quociente.



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11 comentários:

  1. Muitooo bom .. me ajudou bastante!

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  2. podia deixar exemplos com numeros neh!

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  3. Veja um exemplo:

    $y = \dfrac{x^3-4x}{x^2+1}$
    $y\prime = \dfrac{(x^3-4x)\prime (x^2+1)-(x^3-4x)(x^2+1)\prime }{(x^2+1)^2}$
    $y\prime = \dfrac{(3x^2-4)(x^2+1)-(x^3-4x)(2x)}{(x^2+1)^2}$
    $y\prime = \dfrac{x^4+7x^2-4}{(x^2+1)^2}$

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    1. Oi, eu me perdi completamente na resolução. Na última y'. Pode me explicar como resolveu?

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    2. Da penúltima para a última $y^\prime$ foi aplicado a distributiva e simplificado:
      \begin{equation*}
      y^\prime = \frac{3x^4 + 3x^2 - 4x^2 -4 - 2x^4 +8x^2}{(x^2+1)^2}\\
      \ \\
      y^\prime = \frac{x^4 + 7x^2 - 4}{(x^2+1)^2}\\
      \end{equation*}

      Excluir
  4. Excelente, meus parabéns, ajudou pra valer!

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  5. como ficaria essa função
    f(x)=(-x^3+2x^2)^2/(-x^2+3x)^2
    a) a sua derivada
    b) o seu valor quando x valer -2

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    Respostas
    1. Olá Tiago. Veja que é um quociente de duas funções compostas. Sendo assim, aplica-se a regra do quociente e também a regra da cadeia.

      $$f(x)=\frac{(2x^2-x^3)^2}{(3x-x^2)^2}$$
      Devemos aplicar a regra da cadeia. Fazemos:
      $$u=(2x^2-x^3)^2$$
      $$u'=2(2x^2-x^3)(4x-3x^2)$$
      fatorando, obtemos:
      $$u'=2x^3(3x^2-10x+8)$$
      $$v=(3x-x^2)^2$$
      $$v'=2(3x-x^2)(3-2x)$$
      Fatorando, obtemos:
      $$v'=2x(2x^2-9x+9)$$

      E para $v^2$, temos:

      $$v^2=[(3x-x^2)^2]^2=(3x-x^2)^4$$

      Basta aplicarmos na regra do quociente:

      $$f'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$
      $$f'=\frac{2x^3(3x^2-10x+8)(3x-x^2)^2-2x(2x^2-9x+9)(2x^2-x^3)^2}{(3x-x^2)^4}$$
      Neste ponto já está derivada, mas tem que fazer as manipulações algébricas para deixá-la mais arrumadinha. Depois, basta substituir o valor de $x$ por $2$ e calcular o resultado. Verá que $f(2)=0$

      Um abraço.

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  6. como ficaria a derivada pela regra do cociente f(x)= x^3 + 15/ x^3 - 5x

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    Respostas
    1. Seja $f(x)=\displaystyle \frac {x^3+15}{x^3-5x}$. Temos que:
      $$ u=x^3+15 \Rightarrow u'=3x^2$$
      $$ v=x^3-5x \Rightarrow v'= 3x^2-5$$
      Então a derivada será;:
      $$ f'(x) = \frac {3x^2 (x^3-5x)-(x^3+15)(3x^2-5)}{(x^3-5x)^2}$$
      $$=\frac{3x^5-15x^3-3x^5+5x^3-45x^2+125}{x^2 (x^2-5)^2} $$
      $$=-\frac {5 (2x^3+9x^2-15}{x^2 (x^2-5)^2} $$

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  7. Parabéns pela explicação.

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