Seja a função quociente:
Então:
![clip_image002[4]](http://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SmJsMCb5bWI/AAAAAAAABM8/ZhI8JgYfRDc/s1600-h/clip_image002%5B4%5D%5B2%5D.gif "clip_image002[4]"){kind=small}
Pela Derivada da Função Produto, temos:
![clip_image002[6]](http://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SmJsMyy5R2I/AAAAAAAABNE/1q7alwupDLo/s1600-h/clip_image002%5B6%5D%5B2%5D.gif "clip_image002[6]"){kind=small}
Substituindo ( I ) em ( II ), obtemos:
![clip_image002[8]](http://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SmJsN1ESegI/AAAAAAAABNM/JP3owHjMOBM/s1600-h/clip_image002%5B8%5D%5B2%5D.gif "clip_image002[8]"){kind=small}
![clip_image002[10]](http://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SmJsO0Hlh5I/AAAAAAAABNU/DyzhbiDdJhM/s1600-h/clip_image002%5B10%5D%5B2%5D.gif "clip_image002[10]"){kind=small}
Que é a derivada da função quociente.
Veja mais:
Demonstração da Derivada da Função Cosseno
Demonstração da Derivada da Função Seno
Demonstração da Derivada da Função Exponencial
Demonstração da Derivada da Função Logarítmica
Demonstração da Derivada da Função Produto
Muitooo bom .. me ajudou bastante!
ResponderExcluirpodia deixar exemplos com numeros neh!
ResponderExcluirVeja um exemplo:
ResponderExcluir$y = \dfrac{x^3-4x}{x^2+1}$
$y\prime = \dfrac{(x^3-4x)\prime (x^2+1)-(x^3-4x)(x^2+1)\prime }{(x^2+1)^2}$
$y\prime = \dfrac{(3x^2-4)(x^2+1)-(x^3-4x)(2x)}{(x^2+1)^2}$
$y\prime = \dfrac{x^4+7x^2-4}{(x^2+1)^2}$
Oi, eu me perdi completamente na resolução. Na última y'. Pode me explicar como resolveu?
ExcluirDa penúltima para a última $y^\prime$ foi aplicado a distributiva e simplificado:
Excluir\begin{equation*}
y^\prime = \frac{3x^4 + 3x^2 - 4x^2 -4 - 2x^4 +8x^2}{(x^2+1)^2}\\
\ \\
y^\prime = \frac{x^4 + 7x^2 - 4}{(x^2+1)^2}\\
\end{equation*}
Excelente, meus parabéns, ajudou pra valer!
ResponderExcluircomo ficaria essa função
ResponderExcluirf(x)=(-x^3+2x^2)^2/(-x^2+3x)^2
a) a sua derivada
b) o seu valor quando x valer -2
Olá Tiago. Veja que é um quociente de duas funções compostas. Sendo assim, aplica-se a regra do quociente e também a regra da cadeia.
Excluir$$f(x)=\frac{(2x^2-x^3)^2}{(3x-x^2)^2}$$
Devemos aplicar a regra da cadeia. Fazemos:
$$u=(2x^2-x^3)^2$$
$$u'=2(2x^2-x^3)(4x-3x^2)$$
fatorando, obtemos:
$$u'=2x^3(3x^2-10x+8)$$
$$v=(3x-x^2)^2$$
$$v'=2(3x-x^2)(3-2x)$$
Fatorando, obtemos:
$$v'=2x(2x^2-9x+9)$$
E para $v^2$, temos:
$$v^2=[(3x-x^2)^2]^2=(3x-x^2)^4$$
Basta aplicarmos na regra do quociente:
$$f'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$
$$f'=\frac{2x^3(3x^2-10x+8)(3x-x^2)^2-2x(2x^2-9x+9)(2x^2-x^3)^2}{(3x-x^2)^4}$$
Neste ponto já está derivada, mas tem que fazer as manipulações algébricas para deixá-la mais arrumadinha. Depois, basta substituir o valor de $x$ por $2$ e calcular o resultado. Verá que $f(2)=0$
Um abraço.
como ficaria a derivada pela regra do cociente f(x)= x^3 + 15/ x^3 - 5x
ResponderExcluirSeja $f(x)=\displaystyle \frac {x^3+15}{x^3-5x}$. Temos que:
Excluir$$ u=x^3+15 \Rightarrow u'=3x^2$$
$$ v=x^3-5x \Rightarrow v'= 3x^2-5$$
Então a derivada será;:
$$ f'(x) = \frac {3x^2 (x^3-5x)-(x^3+15)(3x^2-5)}{(x^3-5x)^2}$$
$$=\frac{3x^5-15x^3-3x^5+5x^3-45x^2+125}{x^2 (x^2-5)^2} $$
$$=-\frac {5 (2x^3+9x^2-15}{x^2 (x^2-5)^2} $$
Parabéns pela explicação.
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