Demonstração da Derivada da Função Cosseno

Esta demonstração está dividida em duas partes, para melhor esclarecimento:

a) Inicialmente, vamos relembrar alguns conceitos:

• Uma das fórmulas de Prostaférese (já demonstradas aqui), onde se transforma diferença de cossenos em produto:

                            ( I )

• O limite fundamental:

            

• O conceito de derivada:

          

 

b) Seja a função cosseno:

f(x) = cos(x)

Do conceito de derivada, temos:

Então:

Aqui temos em diferença de cossenos. Comparando com a fórmula de prostaférese ( I ) e fazendo as devidas substituições, obtemos:

Neste momento, x passa a ser uma constante. Fazemos uma troca de variável, onde:

Então, se:

Então:

Portanto:

Aplicando o limite de t, obtemos:

Portanto:

Conclusão:

Se:

e:

 

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