6 de fev de 2010

O Cálculo Integral: O Cálculo da Áreas

A busca de processos exatos ou mesmo aproximados para o cálculo de área $S$ da região limitada por uma curva fechada deu a Arquimedes (século $IIIa.C.$ aproximadamente) a glória de ser considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Com seu método da exaustão, conseguiu calcular áreas de regiões limitadas por inúmeros tipos de curvas.


Após Arquimedes, só no século $XVII$, por volta de $1670$, é que o processo definitivo, com a invenção do Cálculo Integral, simultaneamente por Newton, na Inglaterra, e por Leibniz, na Alemanha.

A ideia do método é, resumidamente, a seguinte: seja $f(x)$ uma função contínua e "positiva" $(f(x) \geq 0)$ num intervalo $[a,b]$.



Vamos escolher no intervalo $[a,b]$ uma sequência de pontos, que chamaremos de sequência de partição:
\begin{equation}
P={a=x_0,x_1,x_2,\cdots , x_{n-1}, x_n=b}, \quad \text{sendo}\ n \geq 2
\end{equation}
com a condição:
\begin{equation}
a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_{n-1}<x_n=b
\end{equation}
Cada intervalo terá a extensão $dx_i=x_i-x_{i-1}$, sendo $i=1,2,\cdots n$ e nesse i-ésimo intervalo a função $f$ terá os valores máximos e mínimos $M_i$ e $m_i$, respectivamente.

Escolhido um ponto amostral $\overline{x_i}$ nesse intervalo, a imagem $f(\overline{x_i})$ será com valor amostral de $f$.

A figura abaixo sugere os cálculos das seguintes áreas elementares:
\begin{equation}
m_idx_i, f(\overline{x_i}), M_idx_i
\end{equation}



Se variarmos o índice $i$ de $1$ a $n$, teremos os somatórios:



relativas à sequência de partição escolhida:
\begin{gather}
A_n = \sum_{i=1}^n m_idx_i  \longrightarrow \text{Soma inferior}\\
B_n = \sum_{i=1}^n f(\overline{x_i})dx_i \longrightarrow \text{Soma amostral}\\
C_n = \sum_{i=1}^n M_idx_i \longrightarrow \text{Soma superior}
\end{gather}
Uma primeira propriedade dessas somas salta logo à vista:
\begin{equation}
A_n  \leq B_n \leq C_n
\end{equation}
Isto decorre da desigualdade $m_i \leq f(\overline{x_i}) \leq M_i$ e das propriedades algébricas das desigualdades.

Esses números $A_n \leq B_n \leq C_n$ constituem atraentes aproximações da área $S$ procurada (da região entre a curva e o eixo dos $x$, no intervalo $[a,b]$).

É de esperar também que se procure melhorar as aproximações, como era feito por Arquimedes: aumentando muito, muito mesmo, o número $n$ de divisões de $[a,b]$, isto levando certamente ao uso da palavra limite na procura da aproximação ideal, aquela que deverá ser considerada como, por definição, o valor da área $S$.

Para alguns tipos de funções, sendo as mais importantes as contínuas, prova-se que existe um, e somente um, número real $S$, tal que:
\begin{equation}
S=\lim_{n\rightarrow \infty}A_n = \lim_{n \rightarrow \infty}B_n = \lim_{n \rightarrow \infty}C_n
\end{equation}
desde que em cada sequência de partição a máxima extensão $dx_i$ tenda a zero. Portanto:
\begin{equation}
S = \lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{i=1}^n m_idx_i = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n f(\overline{x_i})dx_i = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n M_idx_i
\end{equation}
desde que $\max (dx_i) \rightarrow 0$ e que esses limites sejam de fato iguais, isto é, que $f(x)$ seja integrável em $[a,b]$.

Esse número $S$ recebeu o nome de Integral de $f(x)$ no intervalo $[a,b]$ e é indicado por:
\begin{equation}
S=\int_a^b f(x)dx
\end{equation}
Se tiramos a condição $f(x) \geq 0$, a integral acima pode não representar a área entre a curva no intervalo $[a,b]$, como nos casos sugeridos pelas figuras seguintes:

$\displaystyle \bullet \int_a^b f(x)dx = -S$



$\displaystyle \bullet \int_a^b f(x)dx = A-A_1-A_2$


Referências

[1] Cálculo 1 - Luiz Mauro Rocha - Ed. Atlas, 1987

Veja mais

Método de Integração por Partes
Método de Integração por Substituição
Integração por substituição trigonométrica

Atualização

Post atualizado em 22/11/2015 



12 comentários:

  1. Muito bom o post. As figuras ficaram muito boas e a idéia do Cálculo Integral foi muito bem explorada. Obrigado novamente pela citação do post no meu blog.

    Abraços!!

    http://fatosmatematicos.blogspot.com/

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    1. Olá professor. Teu blog está fechado apenas para convidados? Fiquei curioso para conhecer o conteúdo.

      Abs.

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    2. Clayton, o blog Fatos Matemático está fechado há algum tempo. Problemas com o editor de fórmulas acabou por deixar os posts ilegíveis. A falta de tempo do professor Paulo não permitiu que redigitasse os artigos. A solução foi bloquear o acesso.

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  2. Bem interessante a postagem!!! inclusive o site como um todo, pois ajuda bastante a nós licenciando na modalidade Ead que necessitamos de mais da net.
    Valeu!!!

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  3. Olá Joana,
    Fico feliz por te-la ajudado com este artigo. Bom estudos e volte sempre. Um abraço!

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  4. Eu definiria este post como uma verdadeira obra de arte! A segunda imagem mostrando as áreas inferiores e superiores é muito bem feita! Um dia eu chego lá ( rs ).

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  5. Desculpe se estiver errado, mas acho q no post onde voce esta falando sobre a partição, o Xn-1 é menor que o Xn. me corrija se eu estiver errado. Este blog é perfeito!!

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    1. Olá amigo, você está certo. Possivelmente um erro de digitação. Será corrigido.

      Um abraço!

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  6. Adorei o contesto como um todo.
    Com grandeza de clareza e definição

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  7. Muito bem explicado. Parabéns!

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  8. Olá gostaria de deixar o meu canal com aulas de cálculo analítico e matemática grátis para
    quem quiser assistir !

    https://www.youtube.com/user/professordecalculo

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