Método de integração por partes com 3 termos

O método de integração por partes funciona bem quando o integrando é um produto entre duas funções, como por exemplo $e^x\ \cos(x)$, e para isso, utilizamos a fórmula:

$$
\int u\ dv = uv - \int v\ du 
$$

Podemos estender essa fórmula para quando houver no integrando um produto entre três funções, como por exemplo $x\ \text{sen}(x)\ e^x$.

Vamos iniciar com a função:

$$
f = u\ v\ w 
$$

E a derivada de $f$ será:

$$
f^\prime = u^\prime v\ w + u\ v^\prime w + u\ v\ w^\prime
$$

Para entender de onde vieram as fórmulas acima, sugiro a leitura dos artigos:

• Método de integração por partes
• Derivada do produto entre 3 funções

Podemos reescrever a derivada com outra notação mais intuitiva:

$$
d(u\ v\ w) = v\ w \ du + u\ w\ dv + u\ v\ dw
$$

Para obtermos:

$$
u\ v\ dw = d(u\ v\ w) - v\ w\ du - u\ w\ dv
$$

Integrando ambos os membros da igualdade, obtemos:

$$
\int u\ v\ dw = \int d(u\ v\ w) - \int v\ w\ du - \int u\ w\ dv
$$

Encontrando a fórmula para integração por partes de 3 termos:

$$
\int u\ v\ dw = u\ v\ w - \int v\ w\ du - \int u\ w\ dv
$$

De um modo geral, é possível seguir algumas etapas para resolver integrais contendo 3 termos através do método de integração por partes:

1. Fatoramos o integrando em três partes convenientes;
2. Escolhemos as substituições dos fatores, sendo o primeiro igual a $u$, o segundo igual a $v$ e o terceiro (incluindo $dx$) igual a $dw$;
3. Calculamos as derivadas de $u$ e $v$ e a integral de $dw$ para obtermos $du$, $dv$ e $w$, respectivamente;
4. Calculamos as integrais $\displaystyle \int v\ w\ du$ e $\displaystyle \int u\ w\ dv$;
5. Escrevemos o resultado como:

$$
\int u\ v\ dw = u\ v\ w - \int v\ w\ du - \int u\ w\ dv
$$

As escolhas de $u$, $v$ e $dw$ são importantes para o sucesso na integração. Devemos pensar essa escolha como um produto $u\ v\ dw$ de tal modo que seja o mais simples possível de integrar.

Nota: Se você estiver utilizando celular, talvez as fórmulas não apareçam completamente em sua tela devido ela serem longas demais. Talvez seja necessário girar a tela para horizontal.

Exemplo:

Calcular a integral $\displaystyle \int x\ \text{sen}(x)\ e^x\ dx$.

Seja a integral:

$$
I = \int x\ \text{sen}(x)\ e^x\ dx
$$

Vamos escolher $u = x$, $v = \text{sen}(x)$ e $dw=e^x\ dx$. Em seguida, calculamos as derivadas de $u$ e $v$ e a integral de $dw$:

\begin{matrix}
u = x &\longrightarrow & du = dx\\
v =\text{sen}(x) & \longrightarrow & dv = \cos(x)\ dx\\
dw = e^x\ dx & \longrightarrow & w = e^x
\end{matrix}

O próximo passo é aplicar os resultados obtidos acima na fórmula para integração por partes:

$$
I = x\ \text{sen}(x)\ e^x - \color{red}{\underbrace{\int \text{sen}(x)\ e^x\ dx}_1} - \color{blue}{\underbrace{\int x\ \cos(x)\ e^x dx}_2}
$$

Vamos resolver separadamente as integrais $(1)$ e $(2)$ e depois substituímos na integral acima.

◾ Resolvendo a integral $(1)$: $\displaystyle \color{red}{ \int \text{sen}(x)\ e^x\ dx}$

Fazemos:

$$
\color{red}{\begin{matrix}
u =\text{sen}(x) & \longrightarrow & du = \cos(x)\ dx\\
dv = e^x\ dx & \longrightarrow & v = e^x
\end{matrix}}
$$

Aplicamos os resultados acima na fórmula para integração por partes:

$$
\color{red}{\int \text{sen}(x)\ e^x\ dx = \text{sen}(x)\ e^x - \int \cos(x)\ e^x\ dx}
$$

◾ Resolvendo a integral $(2)$: $\displaystyle \color{blue}{\int x\ \cos(x)\ e^x dx}$

Fazemos:

$$
\color{blue}{\begin{matrix}
u = x & \longrightarrow & du = dx\\
v = \cos(x) & \longrightarrow & dv = -\text{sen}(x)\ dx\\
dw = e^x\ dx & \longrightarrow & w = e^x
\end{matrix}}
$$

Aplicamos o resultado na fórmula para integração por partes:

$$
\color{blue}{\int x\ \cos(x)\ e^x dx = x\ \cos(x)\ e^x - \int \cos(x)\ e^x du + \int x\ \text{sen}(x)\ e^x dx}
$$

Agora, substituímos os dois resultados acima na integral $I$:

$$
I = x\ \text{sen}(x)\ e^x - \text{sen}(x)\ e^x +\\
\int \cos(x)\ e^x\ dx - x\ \cos(x)\ e^x +\\
\int \cos(x)\ e^x\ dx - \int x\ \text{sen}(x)\ e^x\ dx
$$

A última integral da relação acima é igual à integral original, de modo que podemos substituí-la por $I$:

$$
I = x\ \text{sen}(x)\ e^x - \text{sen}(x)\ e^x +\\
\int \cos(x)\ e^x\ dx - x\ \cos(x)\ e^x +\\
\int \cos(x)\ e^x\ dx - I\\
\ \\
\ \\
2I = x\ \text{sen}(x)\ e^x - \text{sen}(x)\ e^x +\\
\int \cos(x)\ e^x\ dx - x\ \cos(x)\ e^x +\\
\int \cos(x)\ e^x\ dx
$$

Somamos os termos semelhantes:

$$
2I = x\ \text{sen}(x)\ e^x - \text{sen}(x)\ e^x -\\
x\ \cos(x)\ e^x + 2 \color{Magenta}{\underbrace{\int \cos(x)\ e^x\ dx}_3}
$$

◾ Resolvendo a integral $(3)$: $\color{Magenta}{\displaystyle \int \cos(x)\ e^x\ dx}$

Fazemos:

$$
\color{Magenta}{\begin{matrix}
u =\cos(x) & \longrightarrow & du = -\text{sen}(x)\ dx\\
dv = e^x\ dx & \longrightarrow & v = e^x
\end{matrix}}
$$

Aplicamos o resultado na fórmula para integração por partes:

$$
\color{Magenta}{\displaystyle \int \cos(x)\ e^x\ dx = \cos(x)\ e^x + \int \text{sen}(x)\ e^x\ dx}
$$

Precisamos efetuar uma nova integração por partes para resolver a última integral. Fazemos:

$$
\color{Magenta}{\begin{matrix}
u =\text{sen}(x) & \longrightarrow & du = \cos(x)\ dx\\
dv = e^x\ dx & \longrightarrow & v = e^x
\end{matrix}}
$$

Substituindo os valores obtidos:

$$
\color{Magenta}{\displaystyle \int \cos(x)\ e^x\ dx = \cos(x)\ e^x +\\
\text{sen}(x)\ e^x - \int \cos(x)\ e^x\ dx\\}
\ \\
\ \\
\color{Magenta}{2 \displaystyle \int \cos(x)\ e^x\ dx = \cos(x)\ e^x + \text{sen}(x)\ e^x}
$$

Agora, podemos substituir o resultado acima na integral $I$:

$$
2I = x\ \text{sen}(x)\ e^x - \text{sen}(x)\ e^x -\\
x\ \cos(x)\ e^x + \cos(x)\ e^x + \text{sen}(x)\ e^x + C
$$

Somamos os termos semelhantes:

$$
2I = x\ \text{sen}(x)\ e^x - x\ \cos(x)\ e^x + \cos(x)\ e^x + C\\
\ \\
2I = e^x \Big(x\ \text{sen}(x) - x\cos(x) + \cos(x)\Big)+C\\
\ \\
I = \frac{e^x}{2}\Big(x\ \text{sen}(x) - x\cos(x) + \cos(x)\Big)+C
$$

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