04/02/2013

Fórmula de Redução para Alguns Casos de Integrais

As fórmulas de redução para integrais são obtidas a partir da integração por partes. São expressas por uma integral com potência de função em termos de uma integral que envolve uma potência menor.

Quando escrevemos a fórmula da derivada de um produto na notação diferencial, temos que $d(uv) = u\ dv + c\ du$ ou ainda $u\ dv = d(uv) - v\ du$ e por integração:
\begin{equation*}
\int u\ dv = uv- \int v\ du \tag{1}
\end{equation*}

Esta é a fórmula da integração por partes que, com frequência, funciona quando os outros métodos falham.

Fórmula de redução para alguns casos de integrais

Em alguns casos é necessário efetuar duas ou mais integrações por partes sucessivamente, como no caso da integral:
\begin{equation*}
\int x^2\ e^x\ dx
\end{equation*}
Pode ocorrer de a integral original aparecer uma segunda vez durante o processo de integração por partes e, neste caso, com frequência é possível isolar esta integral por álgebra elementar.

Exemplo 1:

Seja a integral:
\begin{equation*}
\int e^x\ \cos(x)\ dx \tag{2}
\end{equation*}
Vamos chamar esta integral de $J$. Então:
\begin{equation*}
J = \int e^x\ \cos(x)\ dx \tag{3}
\end{equation*}
Assim, temos que $u=x$, $du = e^x\ dx$, $dv = \cos(x)\ dx$ e $v=\text{sen}(x)$. Então fazemos:
\begin{equation*}
J = uv - \int v\ du\\
\end{equation*}
\begin{equation*}
J = e^x \text{sen}(x)\ dx - \int e^x \text{sen}(x)\ dx \tag{4}
\end{equation*}
Apesar das integrais dadas em $(2)$ e $(4)$ serem de mesma complexidade, aplicamos novamente o método de integração por partes. Assim, temos que $u=e^x$, $du=e^x\ dx$, $dv=\text{sen}(x)\ dx$ e $v=-\cos(x)\ dx$. Fazemos então:
\begin{equation*}
\int e^x\ \text{sen}(x)\ dx = uv - \int v\ du
\end{equation*}
\begin{equation*}
\int e^x\ \text{sen}(x)\ dx = -e^x\ \cos(x) + \int e^x\ \cos(x)\ dx \tag{5}
\end{equation*}
Vemos que a integral da direita da expressão $(5)$ é a integral $J$ dada em $(3)$.. Desta forma, escrevemos:
\begin{equation*}
\int e^x\ \text{sen}(x)\ dx = -e^x\ \cos(x) + J \tag{6}
\end{equation*}
Substituindo $(6)$ em $(4)$, obtemos:
\begin{equation*}
J = e^x\ \text{sen}(x) + e^x\ \cos(x)-J\\
\ \\
2J = e^x\ \text{sen}(x) + e^x\ \cos(x)\\
\ \\
J = \frac{1}{2} e^x\ \text{sen}(x) + \frac{1}{2} e^x\ \cos(x)
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
\int e^x\ \cos(x)\ dx = \frac{1}{2} e^x \Big[ \text{sen}(x) + \cos(x) \Big] + C
\end{equation*}
Este método é muitas vezes utilizado para fazer uma integral depender de uma integral mais simples do mesmo tipo e assim obter uma fórmula de redução conveniente, cuja aplicação repetida leve ao cálculo da integral dada.

Exemplo 2:

Vamos determinar uma fórmula de redução para a integral:
\begin{equation*}
J_n = \int \text{sen}^n(x)\ dx \tag{7}
\end{equation*}
Integrando por partes e desmembrando o integrando, obtemos $u=\text{sen}^{n-1}(x)$, $du=(n-1)\text{sen}^{n-2}(x)\ \cos(x)\ dx$, $dv = \text{sen}(x)\ dx$ e $v = -\cos(x)$. Assim:
\begin{equation*}
J_n = uv - \int v\ du\\
\ \\
J_n = -\text{sen}^{n-1}(x)\ \cos(x) + \int \cos(x) (n-1) \text{sen}^{n-2} (x) \cos(x)\ dx\\
\ \\
J_n = -\text{sen}^{n-1}(x)\ \cos(x) + (n-1) \int \text{sen}^{n-2}(x) \cos^2(x)\ dx\\
\ \\
J_n = -\text{sen}^{n-1}(x)\ \cos(x) + (n-1) \int \text{sen}^{n-2}(x)\big(1- \text{sen}^2(x) \big)\ dx\\
\end{equation*}
\begin{equation*}
J_n = -\text{sen}^{n-1}(x)\ \cos(x) + (n-1) \int \text{sen}^{n-2}(x) - (n-1) \int \text{sen}^n (x)\ dx \tag{8}
\end{equation*}
Vejam que na expressão $(8)$ temos a integral original dada em $(7)$:
\begin{equation*}
\int \text{sen}^n (x)\ dx = J_n \tag{9}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\int \text{sen}^{n-2}(x)\ dx = J_{n-2} \tag{10}
\end{equation*}
Substituindo $(9)$ e $(10)$ em $(8)$, obtemos:
\begin{equation*}
J_n = -\text{sen}^{n-1}(x)\cos(x) + (n-1)\ J_{n-2} - (n-1)\ J_n\\
\ \\
J_n + (n-1)\ J_n = -\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + (n-1)\ J_{n-2}\\
\ \\
n\ J_n = -\text{sen}^{n-1}(x)\cos(x) + (n-1)\ J_{n-2}
\end{equation*}
De modo que:
\begin{equation*}
J_n = - \frac{1}{n} \text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \frac{n-1}{n}\ J_{n-2}
\end{equation*}
O que nos leva a:
\begin{equation*}
\int \text{sen}^n(x)\ dx = -\frac{1}{n} \text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \frac{n-1}{n} \int \text{sen}^{n-2}(x)\ dx \tag{11}
\end{equation*}
Analisando a fórmula de redução dada em $(11)$, observamos que podemos reduzir de $2$ o expoente de $\text{sen}(x)$ Aplicando repetidamente esta fórmula, podemos reduzir $J_n$ para $J_0$ ou $J_1$, conforme $n$ seja par ou ímpar, mas ambas integrais fáceis de calcular.
\begin{equation*}
J_0 = \int \text{sen}^0 (x)\ dx \\
\ \\
J_0 = dx\\
\ \\
J_0 = x
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
J_1 = \int \text{sen}(x)\ dx = -\cos(x)
\end{equation*}
Por exemplo, se $n=4$, fazemos:
\begin{equation*}
\int \text{sen}^4(x)\ dx = -\frac{1}{4} \text{sen}^3(x)\cos(x) + \frac{3}{4} \int \text{sen}^2 (x)\ dx
\end{equation*}
Mas como para $n=2$:
\begin{equation*}
\int \text{sen}^2(x)\ dx = -\frac{1}{2} \text{sen}(x) \cos(x) + \frac{1}{2} \int dx\\
\end{equation*}
\begin{equation*}
\int \text{sen}^2(x)\ dx = -\frac{1}{2} \text{sen}(x) \cos(x) + \frac{1}{2} x\tag{13}
\end{equation*}
Portanto, substituindo $(13)$ em $(12)$:
\begin{equation*}
\int \text{sen}^4(x)\ dx = -\frac{1}{4} \text{sen}^3(x) \cos(x) + \frac{3}{4} \left( -\frac{1}{2} \text{sen}(x) \cos(x) + \frac{1}{2} x \right)\\
\ \\
\int \text{sen}^4(x)\ dx = \frac{1}{4} \text{sen}^3(x) \cos(x) - \frac{3}{8} \text{sen}(x) \cos(x) + \frac{3}{8} x + C
\end{equation*}

Exemplo 3:

Vamos calcular a integral definida:
\begin{equation*}
\int_0^{\pi/2} \text{sen}^8(x)\ dx
\end{equation*}
Escrevemos:
\begin{equation*}
J_n = \int_0^{\pi/2} \text{sen}^n(x)\ dx
\end{equation*}
Pela fórmula de redução dada em $(11)$, fazemos:
\begin{equation*}
J_n = -\frac{1}{n} \text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) \Bigg|_0^{\pi/2} + \frac{n-1}{n} \int_0^{\pi/2} \text{sen}^{n-2}(x)\ dx\\
\ \\
J_n = \frac{n-1}{n} \int_0^{\pi/2} \text{sen}^{n-2}(x)\ dx\\
\ \\
J_n = \frac{n-1}{n}\ J_{n-2}
\end{equation*}
Aplicando a fórmula para $n=8$:
\begin{equation*}
J_8 = \frac{8-1}{8}\ J_6 = \frac{7}{8}\ J_6\\
\ \\
J_6 = \frac{6-1}{6}\ J_4 = \frac{5}{6}\ J_4\\
\ \\
J_4 = \frac{4-1}{4}\ J_2 = \frac{3}{4}\ J_2\\
\ \\
J_2 = \frac{2-1}{2}\ J_0 = \frac{1}{2}\ J_0
\end{equation*}
Assim,
\begin{equation*}
J_8 = \frac{7}{8}\ J_6\\
\ \\
J_8 = \frac{7}{8}\cdot \frac{5}{6}\ J_4\\
\ \\
J_8 = \frac{7}{8}\cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4}\ J_2\\
\ \\
J_8 = \frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}\ J_0
\end{equation*}
Portanto, se $\displaystyle I=\int_0^{\pi/2} \text{sen}^8(x)\ dx$, então:
\begin{equation*}
I = \frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_0^{\pi/2} \text{sen}^0(x)\ dx\\
\ \\
I = \frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_0^{\pi/2} dx\\
\ \\
I =\frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}\\
\ \\
I = \frac{35\ \pi}{256}
\end{equation*}

Referências:

  • Cálculo com Geometria Analítica V1 - Simmons - Ed. McGraw Hill

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4 comentários:

  1. Oi, Kleber!

    Neste livro do Simonns o autor nos diz que a integração é quase uma arte porque depende muito da criatividade.

    Estes métodos de redução são muito úteis e gostei do seu estilo de exposição.

    Sugiro posts com equações diferenciais também.

    Parabéns pela boa didática!

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  2. Olá Aloísio!

    Este livro realemnte é excelente! Preciso comprar o volume 2...

    Dependemos da criatividade, mas também da prática, para identificar qual o melhor método a aplicar nas integrais. Por isso a importância de resolver exercícios.

    Estou elaborando um novo estudo sobre integrais impróprias. Quero ver se no final valerá um post. Tomara que sim.

    Verei o que consigo sobre edos.

    Obrigado pelo comentário! Abraços!!

    ResponderExcluir
  3. Como o Aloísio disse, o post foi elaborado de forma bem didática. Parabéns e obrigado pelo link citado abaixo e pela propaganda da promoção.

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  4. Livro show, post show, blog show!
    Preciso do Volume 2 também... assim que achar me avise por favor; embora o Apostol seja soberano esse livro é certamente uma referência indispensável!

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