19/05/2019

O método Tabular para resolver integrais por partes


Para certos tipos de integrais, utilizamos o método de integração por partes, geralmente quando há um produto entre funções, como por exemplo um polinômio e uma função trigonométrica:
$$
\int x\cdot \cos(x) \ dx
$$
Nestes casos, pensamos no integrando como um produto $u \cdot dv$, onde a parte chamada $dv$ deve ser algo que possa ser integrada e a parte chamada $u$ deve ser algo que possa ser simplificado por derivação. Basicamente, temos:
$$
\int u\ dv = uv - \int v\ du
$$

O método Tabular, em muitos casos, pode levar ao resultado bem mais rápido, se comparado ao método tradicional por partes, muito embora, tenha particularidades e nem sempre seja a melhor opção. O que definirá seu uso é a prática.

Este método dispõe as informações em uma tabela contendo uma coluna para $u$ e suas derivadas, outra para $dv$ e suas integrais e outra para os sinais de $+$ ou $-$.

Dadas duas funções $f(x)$ e $g(x)$, definidas em um intervalo aberto $I$, onde $f = f^{(0)}, f^{(1)}, f^{(2)}, \cdots , f^{(n)}$ denota as $n$ derivadas de $f$ e $g = g^{(0)}, g^{(-1)}, g^{(-2)}, \cdots , g^{(-n)}$ denotas as $n$ antiderivadas de $g$.

Em uma coluna listamos $f$ e suas $n$ derivadas e em uma coluna adjacente listamos $g$ e suas $n$ integrais. Usaremos $u$ e $dv$, respectivamente, no cabeçalho das colunas de acordo com a notação padrão usada no método de integração por partes.

Em seguida, multiplicamos diagonalmente para baixo, da coluna $u$ para $dv$, adicionando e subtraindo cada um desses produtos de forma alternada, como indicado na figura abaixo:
Figura 01 - Método Tabular para integrais por partes

Podemos escrever a integral $\displaystyle I = \int f(x)\ g(x)\ dx$ através do somatório:
$$
I = \color{blue}{\sum_{i=0}^{n-1}} \color{red}{(-1)^i} \color{blue}{f^{(i)}(x) \cdot g^{(-(i+1))}(x)} + \color{red}{(-1)^n} \color{green}{\int f^{(n)}(x) \cdots g^{(-n)}(x)\ dx}
$$
A parte em azul da relação acima, representa a soma de todos os produtos entre $u$ e suas derivadas com $dv$ e suas integrais, realizadas diagonalmente para baixo. O sinal entre as parcelas é definido pelo $(-1)^i$, que na prática, fica alternando entre $+$ e $-$. A parte em verde, representa a integral do produto da última linha.

Os produtos que compões o integrando da função original podem ser entre funções polinomiais, logarítmicas, trigonométricas, inversas e exponenciais.

Mas, como sabemos quando parar com as derivadas de $u$ e as integrais de $dv$? Isso vai depender se uma das funções envolvidas é uma função polinomial.

Vamos dividir as resoluções em dois grupos: de integrais em que uma das funções é um polinômio e de funções que não sejam polinômios.

Integrais onde uma das funções é um polinômio

Uma função polinomial envolve um ou mais termos do tipo: $\alpha x^n$.

Podemos ter um produto entre uma função polinomial com outras:
$$
[\text{ Polinomial }] \times \
\begin{cases}
[\text{ Logarítmica }]\\
[\text{ Exponencial }]\\
[\text{ Trigonométrica }]\\
[\text{ Inversas }]
\end{cases}
$$
Neste caso, colocamos $u$ como sendo a função polinomial e vamos diferenciando até encontrarmos uma derivada igual a $0$ (zero).

Para um polinômio de graus $n$, precisaremos fazer $n+1$ diferenciações para encontrarmos uma derivada igual a $0$.

No entanto,, nem sempre o polinômio deverá estar listado na coluna $u$. Devemos sempre analisar o produto e ver qual das funções é mais facilmente simplificada por derivação. Um exemplo é quando uma das funções é o $\ln(x)$. Veremos mais adiante alguns exemplos.


Exemplo 1: Calcular a integral $I = \displaystyle \int x \ \text{sen}(x)\ dx$.

Na coluna $u$ colocamos $x$ e suas derivadas e na coluna $dv$ colocamos $\text{sen}(x)$ e suas integrais. Na coluna do sinal, iniciamos com o sinal $+$ e vamos alternando entre $+$ e $-$. Como o grau do polinômio é um $(x)$, precisamos efetuar duas derivações.

Como o grau do polinômio $(x)$ é igual a $1$, precisamos efetuar duas derivações.

Vamos colocar o polinômio $x$ na coluna $u$ e a função trigonométrica $\text{sen}(x)$ na coluna $dv$:

Exemplo 1 - Método Tabular - Integral de x sen(x) dx

A solução será:
$$
I = \color{red}{+} \color{blue}{x \left( - \cos(x) \right)} \color{red}{-} \color{blue}{1\left( - \text{sen}(x) \right)} \color{red}{+} \color{green}{\int 0 \cdot \left(-\text{sen}(x) \right) dx}\\
\ \\
I = -x\ \cos(x) + \text{sen}(x) + C\\
\ \\
I = \text{sen}(x) - x\ \cos(x) + C
$$
Vejam que a última linha representa $\displaystyle \int 0 \cdot \left(-\text{sen}(x)\right)\ dx$, que é uma constante. Então, efetivamente não precisamos incluir no cálculo.


Exemplo 2: Calcular a integral $\displaystyle I = \int x^2\ \cos(x)\ dx$.

Como o grau do polinômio $(x^2)$ é igual a $2$, devemos efetuar três derivações.

Vamos colocar o polinômio $x^2$ na coluna $u$ e a função trigonométrica $\cos(x)$ na coluna $dv$:

Exemplo 2 - Método Tabular - Integral de x^2 cos(x) dx

A solução será:
$$
I = \color{red}{+} \color{blue}{x^2 \text{sen}(x)} \color{red}{-} \color{blue}{2x \left(-\cos(x)\right)} \color{red}{+} \color{blue}{2\left(-\text{sen}(x)\right)} + C\\
\ \\
I = x^2 \text{sen}(x) + 2x \cos(x) - 2\ \text{sen}(x)+C
$$


Exemplo 3: Calcular a integral $\displaystyle I = \int 3x^2 \ e^{2x}\ dx$.

Como o grau do polinômio $(3x^2)$ é igual a $2$, devemos efetuar três derivações.

Poderíamos neste caso listar $e^{2x}$ e suas derivadas na coluna $u$, mas vamos o exponencial na coluna $dv$. Lembrando que a integral de $e^{ax}$ é $\displaystyle \frac{e^{ax}}{a}$.

Exemplo 3 - Método Tabular - 3x^2 e^2x dx

A solução será:
$$
I = \color{red}{+} \color{blue}{3x^2 \cdot \frac{1}{2}e^{2x}} \color{red}{-} \color{blue}{6x \cdot \frac{1}{4}\ e^{2x}} \color{red}{+} \color{blue}{6\cdot \frac{1}{8}e^{2x}} + C\\
\ \\
I = \frac{3}{2} x^2 e^{2x} - \frac{3}{2} x\ e^{2x} + \frac{3}{4} e^{2x} + C\\
\ \\
I = \frac{3}{4} e^{2x} \left( 2x^2-2x+1\right) + C
$$

Quando tivermos um integrando endo uma função polinomial por uma função logarítmica, geralmente é mais fácil derivar o $\ln(x)$ do que integrá-lo, já que a própria integral de $\ln(x)$ é pelo método por partes. Sendo assim, colocamos $\ln(x)$ na coluna $u$. Mas surge uma questão: Por mais que derivarmos o $\ln(x)$ nunca encontraremos zero. Então, como saberemos quando parar com o processo?

Analisamos o grau $n$ do polinômio: a quantidade de derivações será igual a $n+1$. Em seguida fazemos o processo como os demais exemplos anteriores. Vejamos os exemplos $4$, $5$ e $6$.


Exemplo 4: Calcular a integral $\displaystyle I = \int \ln(x)\ dx$.

Neste caso, fazemos $u=\ln(x)$ e $dv=dx$. O polinômio é de grau zero, ou seja $x^0=1$, e multiplica o $dx$. Devemos efetuar apenas uma derivação.

Exemplo 4 - Método Tabular - Integral de ln(x) dx

$$
I = \color{red}{+} \color{blue}{x \ln(x)} \color{red}{-} \color{green}{\int \frac{1}{x} \cdot x\ dx}\\
\ \\
I = x \ln(x) - \int \ dx\\
\ \\
I = x \ln(x) - x + C\\
\ \\
I = x(\ln(x) - 1) + C
$$

Exemplo 5: Calcular a integral $\displaystyle I = \int x \ln(x)\ dx$.

Neste caso, fazemos $u=\ln(x)$ e $dv=x\ dx$. O polinômio é de grau $1$ e devemos efetuar duas derivações.

Exemplo 5 - Método Tabular - Integral de x ln(x) dx

$$
I = \color{red}{+} \color{blue}{\frac{1}{2}x^2 \ln(x)} \color{red}{-} \color{blue}{\frac{1}{x} \cdot \frac{x^3}{6}} \color{red}{+} \color{green}{\int \left( -\frac{1}{x^2}\cdot \frac{x^3}{6} \right)\ dx}\\
\ \\
I = \frac{1}{2} x^2 \ln(x) - \frac{1}{6}x^2 - \frac{1}{6} \int x\ dx\\
\ \\
I = \frac{1}{2} x^2 \ln(x) - \frac{1}{6} x^2 - \frac{1}{12} x^2 + C\\
\ \\
I = \frac{1}{2}x^2 \ln(x) - \frac{1}{4}x^2 + C\\
\ \\
I = \frac{1}{4} x^2 \left( 2 \ln(x) - 1\right) + C
$$


Exemplo 6: Calcular a integral $\displaystyle I = \int x^2 \ln(x)\ dx$.

Neste caso, fazemos $u=\ln(x)$ e $dv=x^2\ dx$. O polinômio é de grau $2$ e devemos efetuar três derivações.

Exemplo 6 - Método Tabular - Integral de x^2 ln(x) dx

$$
I = \color{red}{+} \color{blue}{\frac{x^3}{3} \ln(x)} \color{red}{-} \color{blue}{\frac{1}{x}\cdot \frac{x^4}{12}} \color{red}{+} \color{blue}{\left(-\frac{1}{x^2}\cdot \frac{x^5}{60} \right)} \color{red}{-} \color{green}{\int \frac{2}{x^3} \cdot \frac{x^5}{60}\ dx}\\
\ \\
I = \frac{x^3}{3}\ln(x)-\frac{x^3}{12}-\frac{x^3}{60}-\frac{1}{30} \int x^2 \ dx\\
\ \\
I = \frac{x^3}{3}\ln(x) - \frac{x^3}{10} - \frac{x^3}{90} + C\\
\ \\
I = \frac{x^3}{3}\ln(x) - \frac{x^3}{9}+C\\
\ \\
I = \frac{1}{9}x^3 \left( 3\ln(x)-1\right)+C
$$

Integrais onde as funções não são polinômios

Neste grupo, entram funções logarítmicas, exponenciais, trigonométricas e inversas.

Neste caso, para escolhermos as funções que representarão $u$ e $dv$, para $u$ podemos tentar seguir as prioridades abaixo, muito embora, nem sempre é a melhor escolha, mas serve como um ponto de partida:

  • Logarítmicas
  • Inversas
  • Trigonométricas
  • Exponenciais

Temos que observar que estas funções, por mais que a derivarmos, nunca serão zero. Então, quando parar?

Não está muito claro para mim quando devemos parar com as iterações nos casos de integrais que envolvam um produto de funções que não sejam polinômios.

Percebi que em alguns casos, quando seguimos o processo de derivação de $u$ e integração de $dv$, o produto da última linha acaba repetindo a função original. Pode aparecer com sinal trocado ou multiplicado por alguma constante, mas essencialmente o produto está lá, e é nesta hora que devemos parar. Vejam os exemplos de $7$, $8$ e $9$.

Há outros casos que a função original não reaparece, e nestes casos é que fica minha dúvida de onde parar. Procurei em inúmeros sites e alguns livros, mas em nenhum deles consegui uma explicação. Portanto, este ponto continua em aberto para mim.


Exemplo 7: Calcular a integral $\displaystyle I = \int e^x \ \cos(x)\ dx$.

Vamos considerar $u=\cos(x)$ e $dv=e^x\ dx$.

Exemplo 7 - Método Tabular - Integral de e^x cos(x) dx

$$
I = \color{red}{+}\ \color{blue}{e^x \cos(x)} \color{red}{-} \color{blue}{(-\text{sen}(x)) e^x} \color{red}{+} \color{green}{\int (-\cos(x)) e^x \ dx}\\
\ \\
I = e^x \cos(x) + e^x \text{sen}(x) - \int e^x \cos(x)\ dx
$$

Vejam que o integrando $e^x\cos(x)$ é o mesmo da função original e podemos substituir por $I$. Assim:
$$
I = e^x(\text{sen}(x)+\cos(x)) - I + C\\
\ \\
2I = e^x(\text{sen}(x) + \cos(x) + C\\
\ \\
I = \frac{1}{2} e^x (\text{sen}(x)+\cos(x)) + C
$$

Exemplo 8: Calcular a integral $\displaystyle \int e^{2x}\text{sen}(x)\ dx$.

Neste caso, como tem uma constante multiplicando o $x$ do exponencial $e^{2x}$, fica menos trabalhoso se adotarmos $u=e^{2x}$. Faça o teste com $dv = e^{2x}dx$.

Exemplo 8 - Método Tabular - Integral de e^2x sen(x) dx

$$
I = \color{red}{+} \color{blue}{e^{2x}(-\cos(x))} \color{red}{-} \color{blue}{2e^{2x}(-\text{sen}(x))} \color{red}{+} \color{green}{\int4e^{2x}(-\text{sen}(x))\ dx}\\
\ \\
I = -e^{2x}\cos(x)+2e^{2x} \text{sen}(x)- 4 \int e^{2x}\text{sen}(x)\ dx\\
\ \\
I = e^{2x}(2 \text{sen}(x)-\cos(x))-4 \int e^{2x}\text{sen}(x)\ dx
$$

Vejam que o integrando $e^{2x}\text{sen}(x)$ é o mesmo que a função original. Assim:
$$
I = 2^{2x}(2 \text{sen}(x)-\cos(x))-4I + C\\
\ \\
5I = e^{2x}(2 \text{sen}(x)-\cos(x)) + C\\
\ \\
I = \frac{1}{5} e^{2x} (2 \text{sen}(x) - \cos(x))+C
$$

Para alguns casos de integrais, devemos aplicar o método de integração por partes repetidas vezes. O mesmo ocorre pelo método tabular. O próximo exemplo mostra como aplicar duas vezes o método tabular:


Exemplo 9: Calcular a integral $\displaystyle I = \int \ln^2(x)\ dx$.

Vamos colocar $u=\ln^2(x)$ e $dv=dx$.

Exemplo 9a - Método Tabular - Integral de ln^2 (x) dx

$$
I = \color{red}{+}\ \color{blue}{x \ln^2(x)} \color{red}{-} \color{green}{\int x \frac{2 \ln(x)}{x}\ dx}\\
\ \\
I = x \ln^2(x) - 2\int \ln(x)\ dx
$$
Para integrarmos $\ln(x)$ devemos utilizar o método tabular novamente. Vamos chamar de $\displaystyle J= \int \ln(x)\ dx$. Assim:

Exemplo 9b - Método Tabular - Integral de ln^2 (x) dx

$$
J = \color{red}{+}\ \color{blue}{x \ln(x)} \color{red}{-} \color{green}{\int x \cdot \frac{1}{x} dx}\\
\ \\
J = x \ln(x) - \int dx\\
\ \\
J = x\ln(x) - x + C
$$
E finalmente:
$$
I = x\ln^2(x) - 2(x \ln(x)-x)+C\\
\ \\
I = x \ln^2(x)-2x \ln(x) + 2x + C\\
\ \\
I = x(\ln^2(x) - 2 \ln(x) + 2) + C
$$

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COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: O método Tabular para resolver integrais por partes. Publicado por Kleber Kilhian em 19/05/2019. URL: . Leia os Termos de uso.


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