Método de integração por substituição

O método de integração por substituição, ou método de mudança de variável, é um dos métodos de integração mais poderoso. É originado pela regra da cadeia para derivadas de funções compostas.

O objetivo é transformar uma dada integral que em princípio parece complicada de calcular em uma mais simples, que pode ser resolvida.

Geralmente, quando fazemos a substituição, utilizamos a letra $u$, mas pode ser qualquer outra, $v$, $z$, por exemplo.

Mesmo efetuando a substituição, não é garantido que a integral na variável nova seja resolvida. O problema é encontrar uma substituição adequada que resolva a integral. Mas o melhor mesmo é a prática. Somente assim será possível reconhecer mais facilmente a melhor substituição.

Podemos validar o método da substituição, mostrando que na realidade é a regra da cadeia para derivadas, mas de forma inversa. Iniciamos com uma integral da seguinte forma:

\begin{equation*}
I = \int f \left[ g(x) \right]\ g^{\prime} (x)\ dx \tag{1}
\end{equation*}

Fazemos a substituição $u=g(x)$. Assim, sua derivada será $du = g^{\prime}(x)\ dx$, e a integral se transforma em:

\begin{equation*}
I = \int f(u)\ du
\end{equation*}

Se conseguirmos resolver esta integral, então:

\begin{equation*}
I = F(u) + C \tag{2}
\end{equation*}

Mas como $u=g(x)$, então seremos capazes de resolver a integral dada em $(1)$:

\begin{equation*}
\int f \left[ g(x) \right]\ g^{\prime} (x)\ dx = F \left[ g(x) \right] + C \tag{3}
\end{equation*}

O resultado encontrado em $(3)$ e justifica pela regra da cadeia:

\begin{equation*}
\frac{d}{dx} F\left[g(x)\right] = F^{\prime} \left[ g(x)\right]\ g^{\prime}(x) = f \left[ g(x) \right]\ g^{\prime}(x)
\end{equation*}

Para ilustrar, vamos resolver alguns exemplos.

Exemplo 1:

Encontrar a integral $\displaystyle \int x\ \cos(x^2)\ dx$, utilizando o método da substituição.

Iniciamos fazendo a mudança de variável $u=x^2$. Assim, $du=2x\ dx$ e $\displaystyle dx=\frac{du}{2x}$.

Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int x\ \cos(x^2)\ dx
\end{equation*}

Fazendo as substituições, obtemos:

\begin{equation*}
I = \int \cos(u)\ \frac{du}{2}\\
\ \\
I = \frac{1}{2} \int \cos(u)\ du\\
\ \\
I= \frac{1}{2} \text{sen}(u)+C
\end{equation*}
Mas $u=x^2$, assim:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{2} \text{sen}(x^2) + C
\end{equation*}

Exemplo 2:

Encontrar a integral $\displaystyle \int x\ e^{x^2}\ dx$, utilizando o método da substituição.

Iniciamos fazendo a mudança de variável $u=x^2$. Assim, $du =2x\ dx$ e $\displaystyle dx = \frac{du}{2x}$.

Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int x\ e^{x^2}\ dx
\end{equation*}

Fazendo as substituições, obtemos:

\begin{equation*}
I = \int e^u\ \frac{du}{2}\\
\ \\
I = \frac{1}{2}e^{u}+C
\end{equation*}
Mas $u=x^2$, assim:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{2} e^{x^2}+C
\end{equation*}

Exemplo 3:

Encontrar a integral $\displaystyle \int \frac{x^2}{x^3+1}\ dx$.

Vamos resolver esta integral pelo método da substituição, apesar de haver outras formas. Iniciamos fazendo a mudança de variável $u = x^3+1$. Assim, $du = 3x^2\ dx$ e $\displaystyle dx=\frac{du}{3x^2}$.

Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \frac{x^2}{x^3+1}\ dx
\end{equation*}

Fazendo as substituições, obtemos:

\begin{equation*}
I = \int \frac{x^2}{u}\cdot \frac{du}{3x^2}\\
\ \\
I = \int \frac{1}{u}\cdot \frac{du}{3}\\
\ \\
I = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u}\ du\\
\ \\
I = \frac{1}{3}\ \ln(u)+C
\end{equation*}
Mas $u=x^3+1$, assim:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{3}\ \ln(x^3+1)+C
\end{equation*}

Exemplo 4:

Encontrar a integral $\displaystyle \int \text{sen}\left( \frac{x}{2}\right)\ dx$.

Iniciamos fazendo a mudança de variável $\displaystyle u=\frac{x}{2}$. Assim, $\displaystyle du=\frac{1}{2}dx$ e $dx= 2du$.

Seja a integral:

\begin{equation*}
I = \int \text{sen}\left( \frac{x}{2}\right)\ dx
\end{equation*}

Fazendo as substituições, obtemos:

\begin{equation*}
I = 2 \int \text{sen}(u)\ du\\
\ \\
I = -2\ \cos\left(\frac{x}{2}\right)+C
\end{equation*}

Links para este artigo:

• http://bit.ly/Integracao-por-substituicao
• https://www.obaricentrodamente.com/2010/10/metodo-de-integracao-por-substituicao.html

Métodos de integração:

• Partes
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• Substituição
• Frações parciais
• Substituição trigonométrica
• Integrais literais resolvidas
• Artigos sobre derivadas