13/10/2010

Método de integração por substituição

O método de integração por substituição, ou método de mudança de variável, é um dos métodos de integração mais poderoso. É originado pela regra da cadeia para derivadas de funções compostas.

O objetivo é transformar uma dada integral que em princípio parece complicada de calcular em uma mais simples, que pode ser resolvida.

Geralmente, quando fazemos a substituição, utilizamos a letra $u$, mas pode ser qualquer outra, $v$, $z$, por exemplo.

Mesmo efetuando a substituição, não é garantido que a integral na variável nova seja resolvida. O problema é encontrar uma substituição adequada que resolva a integral. Mas o melhor mesmo é a prática. Somente assim será possível reconhecer mais facilmente a melhor substituição.

Método de integração por substituição

Podemos validar o método da substituição, mostrando que na realidade é a regra da cadeia para derivadas, mas de forma inversa. Iniciamos com uma integral da seguinte forma:
\begin{equation*}
I = \int f \left[ g(x) \right]\ g^{\prime} (x)\ dx \tag{1}
\end{equation*}
Fazemos a substituição $u=g(x)$. Assim, sua derivada será $du = g^{\prime}(x)\ dx$, e a integral se transforma em:
\begin{equation*}
I = \int f(u)\ du
\end{equation*}
Se conseguirmos resolver esta integral, então:
\begin{equation*}
I = F(u) + C \tag{2}
\end{equation*}
Mas como $u=g(x)$, então seremos capazes de resolver a integral dada em $(1)$:
\begin{equation*}
\int f \left[ g(x) \right]\ g^{\prime} (x)\ dx = F \left[ g(x) \right] + C \tag{3}
\end{equation*}
O resultado encontrado em $(3)$ e justifica pela regra da cadeia:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx} F\left[g(x)\right] = F^{\prime} \left[ g(x)\right]\ g^{\prime}(x) = f \left[ g(x) \right]\ g^{\prime}(x)
\end{equation*}
Para ilustrar, vamos resolver alguns exemplos.

Exemplo 1:

Encontrar a integral $\displaystyle \int x\ \cos(x^2)\ dx$, utilizando o método da substituição.

Iniciamos fazendo a mudança de variável $u=x^2$. Assim, $du=2x\ dx$ e $\displaystyle dx=\frac{du}{2x}$.

Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int x\ \cos(x^2)\ dx
\end{equation*}
Fazendo as substituições, obtemos:
\begin{equation*}
I = \int \cos(u)\ \frac{du}{2}\\
\ \\
I = \frac{1}{2} \int \cos(u)\ du\\
\ \\
I= \frac{1}{2} \text{sen}(u)+C
\end{equation*}
Mas $u=x^2$, assim:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{2} \text{sen}(x^2) + C
\end{equation*}

Exemplo 2:

Encontrar a integral $\displaystyle \int x\ e^{x^2}\ dx$, utilizando o método da substituição.

Iniciamos fazendo a mudança de variável $u=x^2$. Assim, $du =2x\ dx$ e $\displaystyle dx = \frac{du}{2x}$.

Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int x\ e^{x^2}\ dx
\end{equation*}
Fazendo as substituições, obtemos:
\begin{equation*}
I = \int e^u\ \frac{du}{2}\\
\ \\
I = \frac{1}{2}e^{u}+C
\end{equation*}
Mas $u=x^2$, assim:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{2} e^{x^2}+C
\end{equation*}

Exemplo 3:

Encontrar a integral $\displaystyle \int \frac{x^2}{x^3+1}\ dx$.

Vamos resolver esta integral pelo método da substituição, apesar de haver outras formas. Iniciamos fazendo a mudança de variável $u = x^3+1$. Assim, $du = 3x^2\ dx$ e $\displaystyle dx=\frac{du}{3x^2}$.

Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \frac{x^2}{x^3+1}\ dx
\end{equation*}
Fazendo as substituições, obtemos:
\begin{equation*}
I = \int \frac{x^2}{u}\cdot \frac{du}{3x^2}\\
\ \\
I = \int \frac{1}{u}\cdot \frac{du}{3}\\
\ \\
I = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u}\ du\\
\ \\
I = \frac{1}{3}\ \ln(u)+C
\end{equation*}
Mas $u=x^3+1$, assim:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{3}\ \ln(x^3+1)+C
\end{equation*}

Exemplo 4:

Encontrar a integral $\displaystyle \int \text{sen}\left( \frac{x}{2}\right)\ dx$.

Iniciamos fazendo a mudança de variável $\displaystyle u=\frac{x}{2}$. Assim, $\displaystyle du=\frac{1}{2}dx$ e $dx= 2du$.

Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \text{sen}\left( \frac{x}{2}\right)\ dx
\end{equation*}
Fazendo as substituições, obtemos:
\begin{equation*}
I = 2 \int \text{sen}(u)\ du\\
\ \\
I = -2\ \cos\left(\frac{x}{2}\right)+C
\end{equation*}

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    22 comentários:

    1. kkk
      tenho um post com o mesmo tema no rascunho do blog agora fico sem jeito de postar KK.

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    2. Publica e coloca o link do meu post e depois faço o mesmo com o seu! ;)

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    3. Ok, obrigado,

      É certo que o post do Baricentro ficou mais detalhado que o meu :)

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    4. Muito bom o post Kebler. Não tinha visto ainda desta forma. Seria interessante também para o futuro fazer um post sobre a técnica de integração por frações parciais, substituição trigonométrica, etc.

      Parabéns!!!

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    5. Obrigado por citar os posts do meu blog. Abraços!!

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    6. Obrigado Paulo. Vou pesquisar sobre suas sugestões para fazer um post. Quero também fazer um post sobre o método de substituição em integrais definidas.

      Abraços!

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    7. Olá prof Kléber, parabéns pelo seu dia.
      Um abraço!

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    8. Obrigado Prof Ju por sua lembraça e comntário! Parabéns a você também pelo seu dia!
      Um abraço!

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    9. $e^x/(1+e^x)dx$

      ResponderExcluir
      Respostas
      1. A resposta para e^x/(1+e^x) = ln |1 + e^x| + C.
        Pois, tem que tomar como du = 1/x = ln (x) e nunca se esquecer de somar a Constante.

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    10. Eu prefiro fazer a substituição da variável original numa função:

      $$ \int f(x)dx=\int f(ln(u))\frac{1}{u}du $$

      eu acho que desta forma temos uma visão melhor do conceito da substituição.

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    11. ótima explicação!

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    12. Blog excelente , parabéns!

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    13. muito obrigada! esclareceu minha dúvidas

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    14. e se eu tiver uma raiz quadrada? como faco?

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    15. gostaria de saber oq aconteceu com o X q multiplicava o cos no exemplo 1. Pq ele sumiu?

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      Respostas
      1. Veja que dx = du / 2x, o que levou ao cancelamento do x.

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    16. Por quê sempre coloca o 2 acompanhando na substituição do dx?

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    17. Isso não é uma regra. Vai depender de como o integrando é constituído.

      Veja a resolução desta integral, por exemplo:

      https://www.obaricentrodamente.com/2017/12/integral-cos2axdx.html

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