Como calcular a derivada da função tangente
A tangente de um ângulo é definida pela razão do seno pelo cosseno deste ângulo. Seja $f(x)=\text{tg}(x)$. Iniciamos reescrevendo a tangente como:
$$\text{tg}(x) = \frac{\text{sen}(x)}{\cos(x)}
$$
Para determinarmos a derivada da função tangente, utilizamos o conceito de derivada da função quociente. Lembrando que:
$$f^{\prime} \frac{u(x)}{v(x)} = \frac{u^\prime (x) \ v(x) - u(x) \ v^\prime (x)}{v^2(x)}
$$
Fazemos $u(x)=\text{sen}(x)$ e sua derivada será $u^\prime(x)=\cos(x)$. Fazemos $v(x)=\cos(x)$ e sua derivada será $v^\prime (x) = -\text{sen}(x)$. Assim:
$$f^\prime (x) = \frac{\cos(x)\ \cos(x) - \text{sen}(x)\ (-\text{sen}(x))}{\cos^2(x)}\\
\ \\
f^\prime (x) = \frac{\cos^2(x) +\text{sen}^2(x)}{\cos^2(x)}\\
\ \\
f^\prime (x) = \frac{1}{\cos^2(x)}\\
\ \\
f^\prime (x) = \sec^2(x)
$$
Então, se:
$$
\boxed
{
\ \\
\ \\
\begin{matrix}
\ \ f(x)=\text{tg}(x)\\
\ \\
\ \ \ f'(x) = \sec^2(x)\ \ \
\end{matrix}\\
\ \\
}
$$
\boxed
{
\ \\
\ \\
\begin{matrix}
\ \ f(x)=\text{tg}(x)\\
\ \\
\ \ \ f'(x) = \sec^2(x)\ \ \
\end{matrix}\\
\ \\
}
$$
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