Através da regra do quociente, podemos calcular a deriva do quociente entre duas ou mais funções. Para demonstrar a derivada da função quociente, utilizamos a regra da derivada do produto. Seja a função quociente:
$$
f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \tag{1}
$$
u(x) = f(x) \cdot v(x)
$$
u^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) \cdot v(x) + v^{\prime}(x) \cdot f(x) \tag{2}
$$
u^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) \cdot v(x) + v^{\prime}(x) \cdot \frac{u(x)}{v(x)}\\
\ \\
u^{\prime}(x) = \frac{f^{\prime}(x)\cdot v^2(x)+v^{\prime}(x) \cdot u(x)}{v(x)}\\
\ \\
u^{\prime}(x) \cdot v(x) = f^{\prime}(x) \cdot v^2(x) + v^{\prime}(x) \cdot u(x)\\
\ \\
f^{\prime}(x) = \frac{u^{\prime}(x) \cdot v(x) - v^{\prime}(x) \cdot u(x)}{v^2(x)}
$$
f^{\prime} = \frac{u^{\prime}\ v - u\ v^{\prime}}{v^2}
$$
f^{\prime}(x) = \frac{u^{\prime}(x) \cdot v(x) - v^{\prime}(x) \cdot u(x)}{v^2(x)}\\
\ \\
f^{\prime}(x) = \frac{2x \cdot (1+2x) - 2 \cdot x^2}{(1+2x)^2}\\
\ \\
f^{\prime}(x) = \frac{2x + 4x^2-2x^2}{1+4x+4x^2}\\
\ \\
f^{\prime} (x)= \frac{2x+2x^2}{1+4x+4x^2}
$$
f^{\prime}(x) = \frac{2x(1+x)}{(1+2x)^2}
$$
f^{\prime}(x) = \frac{u^{\prime}(x) \cdot v(x) - v^{\prime}(x) \cdot u(x)}{v^2(x)}\\
\ \\
f^{\prime}(x) = \frac{(3x^2-4)(x^2+1)-(x^3-4x)(2x)}{(x^2+1)^2}\\
\ \\
f^{\prime} (x)= \frac{3x^4+3x^2-4x^2-4-2x^4+8x^2}{(x^2+1)^2}\\
\ \\
f^{\prime}(x) = \frac{x^4+7x^2-4}{(x^2+1)^2}
$$
f^{\prime}(x) = \frac{u^{\prime}(x) \cdot v(x) - v^{\prime}(x) \cdot u(x)}{v^2(x)}\\
\ \\
f^{\prime}(x) = \frac{\cos(x) \cdot x^4 - \text{sen}(x) \cdot 4x^3}{\left(x^4\right)^2}\\
\ \\
f^{\prime}(x) = \frac{x^3(x\cos(x) - 4\ \text{sen}(x)}{x^8}\\
\ \\
f^{\prime}(x) = \frac{x \cos(x)-4\ \text{sen}(x)}{x^5}
$$
f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \tag{1}
$$
Vamos manipular essa igualdade de modo a isolar $u(x)$:
$$u(x) = f(x) \cdot v(x)
$$
No segundo membro da igualdade temos um produto entre as funções $f(x)$ e $v(x)$. Aplicamos a regra do produto para derivadas:
$$u^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) \cdot v(x) + v^{\prime}(x) \cdot f(x) \tag{2}
$$
Substituindo $(1)$ em $(2)$, obtemos:
$$u^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) \cdot v(x) + v^{\prime}(x) \cdot \frac{u(x)}{v(x)}\\
\ \\
u^{\prime}(x) = \frac{f^{\prime}(x)\cdot v^2(x)+v^{\prime}(x) \cdot u(x)}{v(x)}\\
\ \\
u^{\prime}(x) \cdot v(x) = f^{\prime}(x) \cdot v^2(x) + v^{\prime}(x) \cdot u(x)\\
\ \\
f^{\prime}(x) = \frac{u^{\prime}(x) \cdot v(x) - v^{\prime}(x) \cdot u(x)}{v^2(x)}
$$
Ou como comumente costumamos ver:
$$f^{\prime} = \frac{u^{\prime}\ v - u\ v^{\prime}}{v^2}
$$
Exemplo 1:
Vamos calcular a derivada do quociente $f(x) = \cfrac{x^2}{1+2x}$.
Primeiramente identificamos as funções e suas derivadas. Fazemos $u=x^2$ e sua derivada será $u^{\prime} = 2x$; e fazemos $v=1+2x$ e sua derivada será $v^{\prime} = 2$. Em seguida, aplicamos na fórmula da regra do quociente:
$$f^{\prime}(x) = \frac{u^{\prime}(x) \cdot v(x) - v^{\prime}(x) \cdot u(x)}{v^2(x)}\\
\ \\
f^{\prime}(x) = \frac{2x \cdot (1+2x) - 2 \cdot x^2}{(1+2x)^2}\\
\ \\
f^{\prime}(x) = \frac{2x + 4x^2-2x^2}{1+4x+4x^2}\\
\ \\
f^{\prime} (x)= \frac{2x+2x^2}{1+4x+4x^2}
$$
Ou colocamos de forma fatorada:
$$f^{\prime}(x) = \frac{2x(1+x)}{(1+2x)^2}
$$
Exemplo 2:
Vamos calcular a derivada do quociente $f(x) = \cfrac{x^3-4x}{x^2+1}$.
Primeiramente identificamos as funções e suas derivadas. Fazemos $u=x^3-4x$ e sua derivada será $u^{\prime} = 3x^2-4$; e fazemos $v=x^2+1$ e sua derivada será $v^{\prime} = 2x$. Em seguida, aplicamos na fórmula da regra do quociente:
$$f^{\prime}(x) = \frac{u^{\prime}(x) \cdot v(x) - v^{\prime}(x) \cdot u(x)}{v^2(x)}\\
\ \\
f^{\prime}(x) = \frac{(3x^2-4)(x^2+1)-(x^3-4x)(2x)}{(x^2+1)^2}\\
\ \\
f^{\prime} (x)= \frac{3x^4+3x^2-4x^2-4-2x^4+8x^2}{(x^2+1)^2}\\
\ \\
f^{\prime}(x) = \frac{x^4+7x^2-4}{(x^2+1)^2}
$$
Exemplo 3:
Vamos calcular a derivada do quociente $f(x) = \cfrac{\text{sen}(x)}{x^4}$.
Primeiramente identificamos as funções e suas derivadas. Fazemos $u=\text{sen}(x)$ e sua derivada será $u^{\prime} = \cos(x)$; e fazemos $v=x^4$ e sua derivada será $v^{\prime} = 4x^3$. Em seguida, aplicamos na fórmula da regra do quociente:
$$f^{\prime}(x) = \frac{u^{\prime}(x) \cdot v(x) - v^{\prime}(x) \cdot u(x)}{v^2(x)}\\
\ \\
f^{\prime}(x) = \frac{\cos(x) \cdot x^4 - \text{sen}(x) \cdot 4x^3}{\left(x^4\right)^2}\\
\ \\
f^{\prime}(x) = \frac{x^3(x\cos(x) - 4\ \text{sen}(x)}{x^8}\\
\ \\
f^{\prime}(x) = \frac{x \cos(x)-4\ \text{sen}(x)}{x^5}
$$
Muitooo bom .. me ajudou bastante!
ResponderExcluirpodia deixar exemplos com numeros neh!
ResponderExcluirVeja um exemplo:
ResponderExcluir$y = \dfrac{x^3-4x}{x^2+1}$
$y\prime = \dfrac{(x^3-4x)\prime (x^2+1)-(x^3-4x)(x^2+1)\prime }{(x^2+1)^2}$
$y\prime = \dfrac{(3x^2-4)(x^2+1)-(x^3-4x)(2x)}{(x^2+1)^2}$
$y\prime = \dfrac{x^4+7x^2-4}{(x^2+1)^2}$
Oi, eu me perdi completamente na resolução. Na última y'. Pode me explicar como resolveu?
ExcluirDa penúltima para a última $y^\prime$ foi aplicado a distributiva e simplificado:
Excluir\begin{equation*}
y^\prime = \frac{3x^4 + 3x^2 - 4x^2 -4 - 2x^4 +8x^2}{(x^2+1)^2}\\
\ \\
y^\prime = \frac{x^4 + 7x^2 - 4}{(x^2+1)^2}\\
\end{equation*}
Excelente, meus parabéns, ajudou pra valer!
ResponderExcluircomo ficaria essa função
ResponderExcluirf(x)=(-x^3+2x^2)^2/(-x^2+3x)^2
a) a sua derivada
b) o seu valor quando x valer -2
Olá Tiago. Veja que é um quociente de duas funções compostas. Sendo assim, aplica-se a regra do quociente e também a regra da cadeia.
Excluir$$f(x)=\frac{(2x^2-x^3)^2}{(3x-x^2)^2}$$
Devemos aplicar a regra da cadeia. Fazemos:
$$u=(2x^2-x^3)^2$$
$$u'=2(2x^2-x^3)(4x-3x^2)$$
fatorando, obtemos:
$$u'=2x^3(3x^2-10x+8)$$
$$v=(3x-x^2)^2$$
$$v'=2(3x-x^2)(3-2x)$$
Fatorando, obtemos:
$$v'=2x(2x^2-9x+9)$$
E para $v^2$, temos:
$$v^2=[(3x-x^2)^2]^2=(3x-x^2)^4$$
Basta aplicarmos na regra do quociente:
$$f'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$
$$f'=\frac{2x^3(3x^2-10x+8)(3x-x^2)^2-2x(2x^2-9x+9)(2x^2-x^3)^2}{(3x-x^2)^4}$$
Neste ponto já está derivada, mas tem que fazer as manipulações algébricas para deixá-la mais arrumadinha. Depois, basta substituir o valor de $x$ por $2$ e calcular o resultado. Verá que $f(2)=0$
Um abraço.
como ficaria a derivada pela regra do cociente f(x)= x^3 + 15/ x^3 - 5x
ResponderExcluirSeja $f(x)=\displaystyle \frac {x^3+15}{x^3-5x}$. Temos que:
Excluir$$ u=x^3+15 \Rightarrow u'=3x^2$$
$$ v=x^3-5x \Rightarrow v'= 3x^2-5$$
Então a derivada será;:
$$ f'(x) = \frac {3x^2 (x^3-5x)-(x^3+15)(3x^2-5)}{(x^3-5x)^2}$$
$$=\frac{3x^5-15x^3-3x^5+5x^3-45x^2+125}{x^2 (x^2-5)^2} $$
$$=-\frac {5 (2x^3+9x^2-15}{x^2 (x^2-5)^2} $$
Parabéns pela explicação.
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