Conheça o Ebook Equação Fácil | Sua primeira aula sobre equações deveria ser assim

20/07/2009

Demonstração da Derivada da Função Seno

Esta demonstração está dividida em duas partes, para melhor esclarecimento:

1) Inicialmente, vamos relembrar alguns conceitos:

a) Uma das fórmulas de Prostaférese, onde se transforma diferença de senos em produto:

clip_image002

 

b) O Limite Fundamental :

             clip_image002[4]

c) O conceito de derivada:

            clip_image002[6]

2) Seja a função seno:

f (x) = sen(x)

Do conceito de derivada temos:

clip_image002[8]

Então:

clip_image002[10]

Aqui temos em diferença de senos. Comparando com a fórmula de prostaférese ( I ) e fazendo as devidas substituições, obtemos:

clip_image002

clip_image004

clip_image006

Neste momento, x passa a ser uma constante. Fazemos uma troca de variável, onde:

clip_image002[14]

Então, se:

clip_image002[16]

Então:

clip_image002[18]

Portanto:

clip_image002[20]

clip_image004[4]

Aplicando o limite de t, obtemos:

clip_image002[22]

clip_image002

 

Portanto:

clip_image002[24]

Conclusão:

Se:

clip_image002[26]

clip_image004[8]

e:

clip_image002[28]


Veja mais:

Demonstração da Derivada a Função Cosseno
Demonstração da Derivada da Função Exponencial
Demonstração da Derivada da Função Logarítmica
Demonstração da Derivada da Função Produto
Demonstração da Derivada da Função Quociente


Achou algum link quebrado? Por favor, entre em contato para reportar o erro.
Leia a política de moderação do blog. Para escrever em $\LaTeX$ nos comentários, saiba mais em latex.obaricentrodamente.com.

11 comentários:

  1. José Paiva02/10/2010 13:04

    Evitando o uso de prostaferese, poderíamos fazer uso da definição de derivada para f(x) = sen(x), em que sen(x+dx)=senx.cosdx+sendx.cosx e tomar em evidência o fator comum senx, poupando a necessidade de uma substituição já que teríamos a soma das parcelas senx(cosdx-1)/dx e sendx.cosx/dx, no limite em que dx -> 0. Dos limites trigonométricos fundamentais, a primeira parcela tende a 0 e a segunda a cosx, de onde se tem que sen'(x) = cosx.

    ResponderExcluir
  2. Amigo esse fator comum senx eu não vi...

    ResponderExcluir
  3. Amigo entendi o fato é que F'(x)= (Sen(X+DX)-SenX)/DX com DX->0 ou seja Senx fica em evidência... Mais simplificado mesmo.

    ResponderExcluir
  4. Gostei das demonstrações usando a prostaférese. Muito boas, mas precisam de alguma maturidade matemática para serem compreendidas.

    ResponderExcluir
  5. Creio que no momento da comparação com a fórmula de prostaférese (I), no númerador haja uma multiplicação ao invés de subtração.
    E parabéns pelo blog. Aqui encontro a resposta a várias questões que tenho em aula, mas que meu professor não tem tempo de explicar devido ao cronograma corrido.

    ResponderExcluir
  6. Olá amigo. Bem observado. Já corriji a multiplicação. Agradeço sua visita, elogios e por ter me avisado sobre o erro.
    Um abraço!

    ResponderExcluir
  7. Mas por que mesmo o seno de dx sobre dx, quando dx tende a zero, é igual a 1?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Veja uma demonstração neste vídeo:

      http://www.youtube.com/watch?v=K-yXOjr-arE

      Abraços.

      Excluir
  8. Olá...
    No finalzinho em:

    "Aplicando o limite de t, obtemos:"
    $$\displaystyle\underset{t\rightarrow0}{\lim }\cos(t+x)=x $$

    era para ser:
    $$\displaystyle\underset{t\rightarrow0}{\lim }\cos(t+x)=\cos(x) $$

    ResponderExcluir
  9. Olá! Bem observado. Já corrigi. Um abraço.

    ResponderExcluir

Whatsapp Button works on Mobile Device only

Pesquise no blog