20/07/2009

Demonstração da Derivada da Função Seno

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Veremos neste artigo como encontrar a derivada da função seno. Para isso, utilizaremos o conceito de derivada, o limite fundamental e uma das fórmulas da prostaférese, que transforma a diferença de senos em produto.

 

Vamos relembrar os seguintes conceitos:

 

A fórmula da prostaférese que transforma a diferença de cossenos em produto:

$$

\text{sen}(p)-\text{sen}(q) = 2 \text{sen}\left(\frac{p-q}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{p+q}{2}\right) \tag{1}

$$

O limite fundamental:

$$

\lim_{x \longrightarrow 0} \frac{\text{sen}(x)}{x} = 1 \tag{2}

$$

O conceito de derivada:

$$

f^{\prime} (x) = \lim_{\Delta \longrightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \tag{3}

$$

Seja a função seno $f(x) = \text{sen}(x)$. Do conceito da derivada, dado em $(3)$, temos:

$$

f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \longrightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\\

\ \\

f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \longrightarrow 0} \frac{\text{sen}(x+\Delta x) - \text{sen}(x)}{\Delta x}

$$

O numerador do limite apresenta uma diferença de senos. Utilizamos a fórmula da prostaférese, dada em $(1)$ para transformar em produto:

$$

f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \longrightarrow 0} \frac{\displaystyle  2\text{sen}\left(\frac{x+\Delta x - x}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{x+\Delta x + x}{2}\right)}{\Delta x}\\

\ \\

f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \longrightarrow 0} \frac{\displaystyle 2\text{sen}\left(\frac{\Delta x}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{2x+ \Delta x}{2}\right)}{\Delta x}\\

\ \\

f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \longrightarrow 0} \frac{\displaystyle 2\text{sen}\left( \frac{\Delta x}{2}\right) \cdot \cos \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)}{\Delta x}

$$

Neste momento, $x$ passa a ser uma constante. Fazemos uma mudança de variável:

$$

\frac{\Delta x}{2}=t\\

\ \\

\Delta x = 2t

$$

Então, se $\Delta x \longrightarrow 0$, logo $t \longrightarrow 0$. Portanto:

$$

f^{\prime} (x) = \lim_{t \longrightarrow 0} \frac{2\text{sen}(t) \cdot \cos(t+x)}{2t}\\

\ \\

f^{\prime} (x) = \lim_{t \longrightarrow 0} \frac{\text{sen}(t) \cdot \cos(t+x)}{t}\\

\ \\

f^{\prime}(x) = \lim_{t \longrightarrow 0} \frac{\text{sen}(t)}{t} \cdot \lim_{t \longrightarrow 0} \cos(t+x)

$$

Aplicando o limite de $t$, obtemos:

$$

f^{\prime}(x) = 1 \cdot \cos(x) 

$$ 
Note que o primeiro limite acima é o limite fundamental, dado em $(2)$. Portanto: $f^{\prime}(x) = \cos(x)$.


Assim, se $f(x)=\text{sen}(x)$, sua derivada será $f^{\prime}(x) = \cos(x)$.


Links para este artigo:


Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Demonstração da Derivada da Função Seno. Publicado por Kleber Kilhian em 20/07/2009. URL: . Leia os Termos de uso.


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11 comentários:

  1. José Paiva02/10/2010 13:04

    Evitando o uso de prostaferese, poderíamos fazer uso da definição de derivada para f(x) = sen(x), em que sen(x+dx)=senx.cosdx+sendx.cosx e tomar em evidência o fator comum senx, poupando a necessidade de uma substituição já que teríamos a soma das parcelas senx(cosdx-1)/dx e sendx.cosx/dx, no limite em que dx -> 0. Dos limites trigonométricos fundamentais, a primeira parcela tende a 0 e a segunda a cosx, de onde se tem que sen'(x) = cosx.

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  2. Amigo esse fator comum senx eu não vi...

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  3. Amigo entendi o fato é que F'(x)= (Sen(X+DX)-SenX)/DX com DX->0 ou seja Senx fica em evidência... Mais simplificado mesmo.

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  4. Gostei das demonstrações usando a prostaférese. Muito boas, mas precisam de alguma maturidade matemática para serem compreendidas.

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  5. Creio que no momento da comparação com a fórmula de prostaférese (I), no númerador haja uma multiplicação ao invés de subtração.
    E parabéns pelo blog. Aqui encontro a resposta a várias questões que tenho em aula, mas que meu professor não tem tempo de explicar devido ao cronograma corrido.

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  6. Olá amigo. Bem observado. Já corriji a multiplicação. Agradeço sua visita, elogios e por ter me avisado sobre o erro.
    Um abraço!

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  7. Mas por que mesmo o seno de dx sobre dx, quando dx tende a zero, é igual a 1?

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    1. Veja uma demonstração neste vídeo:

      http://www.youtube.com/watch?v=K-yXOjr-arE

      Abraços.

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  8. Olá...
    No finalzinho em:

    "Aplicando o limite de t, obtemos:"
    $$\displaystyle\underset{t\rightarrow0}{\lim }\cos(t+x)=x $$

    era para ser:
    $$\displaystyle\underset{t\rightarrow0}{\lim }\cos(t+x)=\cos(x) $$

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  9. Olá! Bem observado. Já corrigi. Um abraço.

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  10. Obrigado, muito útil! Abraço.

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