Demonstração da derivada da função seno

Veremos neste artigo como encontrar a derivada da função seno. Para isso, utilizaremos o conceito de derivada, o limite fundamental e uma das fórmulas da prostaférese, que transforma a diferença de senos em produto.

Vamos relembrar os seguintes conceitos:
 
A fórmula da prostaférese que transforma a diferença de cossenos em produto:

$$\text{sen}(p)-\text{sen}(q) = 2 \text{sen}\left(\frac{p-q}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{p+q}{2}\right) \tag{1}$$

O limite fundamental:
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \frac{\text{sen}(x)}{x} = 1 \tag{2}$$

O conceito de derivada:
$$f^{\prime} (x) = \lim_{\Delta \longrightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \tag{3}$$

Seja a função seno $f(x) = \text{sen}(x)$. Do conceito da derivada, dado em $(3)$, temos:

$$f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \longrightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\\ \ \\ f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \longrightarrow 0} \frac{\text{sen}(x+\Delta x) - \text{sen}(x)}{\Delta x}$$

O numerador do limite apresenta uma diferença de senos. Utilizamos a fórmula da prostaférese, dada em $(1)$ para transformar em produto:

$$f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \longrightarrow 0} \frac{\displaystyle  2\text{sen}\left(\frac{x+\Delta x - x}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{x+\Delta x + x}{2}\right)}{\Delta x}\\ \ \\ f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \longrightarrow 0} \frac{\displaystyle 2\text{sen}\left(\frac{\Delta x}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{2x+ \Delta x}{2}\right)}{\Delta x}\\ \ \\ f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \longrightarrow 0} \frac{\displaystyle 2\text{sen}\left( \frac{\Delta x}{2}\right) \cdot \cos \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)}{\Delta x}$$

Neste momento, $x$ passa a ser uma constante. Fazemos uma mudança de variável:

$$\frac{\Delta x}{2}=t\\ \ \\ \Delta x = 2t$$

Então, se $\Delta x \longrightarrow 0$, logo $t \longrightarrow 0$. Portanto:

$$f^{\prime} (x) = \lim_{t \longrightarrow 0} \frac{2\text{sen}(t) \cdot \cos(t+x)}{2t}\\ \ \\ f^{\prime} (x) = \lim_{t \longrightarrow 0} \frac{\text{sen}(t) \cdot \cos(t+x)}{t}\\ \ \\ f^{\prime}(x) = \lim_{t \longrightarrow 0} \frac{\text{sen}(t)}{t} \cdot \lim_{t \longrightarrow 0} \cos(t+x)$$

Aplicando o limite de $t$, obtemos:

$$f^{\prime}(x) = 1 \cdot \cos(x)$$

Note que o primeiro limite acima é o limite fundamental, dado em $(2)$. Portanto: $f^{\prime}(x) = \cos(x)$.

Assim, se $f(x)=\text{sen}(x)$, sua derivada será $f^{\prime}(x) = \cos(x)$.

Links para este artigo:

• https://bit.ly/derivada-funcao-seno
  
• https://www.obaricentrodamente.com/2009/07/demonstracao-da-derivada-da-funcao-seno.html
  

Veja mais:

• A derivada da função cosseno
• A derivada da função produto
  
• A derivada da função quociente
  
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