20/07/2009

Demonstração da derivada da função cosseno

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Veremos neste artigo como encontrar a derivada da função cosseno. Para isso, utilizaremos o conceito de derivada, o limite fundamental e uma das fórmulas da prostaférese, que transforma a diferença de cossenos em produto.

 

Vamos relembrar os seguintes conceitos:

 

A fórmula da prostaférese que transforma a diferença de cossenos em produto:

$$

\cos(p)-\cos(q) = -2 \text{sen}\left(\frac{p+q}{2}\right) \cdot \text{sen}\left(\frac{p-q}{2}\right) \tag{1}

$$

O limite fundamental:

$$

\lim_{x \longrightarrow 0} \frac{\text{sen}(x)}{x} = 1 \tag{2}

$$

O conceito de derivada:

$$

f^{\prime} (x) = \lim_{\Delta \longrightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \tag{3}

$$

Seja a função cosseno $f(x) = \cos(x)$. Do conceito da derivada, dado em $(3)$, temos:

$$

f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \longrightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\\

\ \\

f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \longrightarrow 0} \frac{\cos(x+\Delta x) - \cos(x)}{\Delta x}

$$

O numerador do limite apresenta uma diferença de cossenos. Utilizamos a fórmula da prostaférese, dada em $(1)$ para transformar em produto:

$$

f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \longrightarrow 0} \frac{\displaystyle -2\text{sen}\left(\frac{x+\Delta x + x}{2}\right) \cdot \text{sen} \left(\frac{x+\Delta x - x}{2}\right)}{\Delta x}\\

\ \\

f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \longrightarrow 0} \frac{\displaystyle -2\text{sen}\left(\frac{2x+\Delta x}{2}\right) \cdot \text{sen} \left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\Delta x}\\

\ \\

f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \longrightarrow 0} \frac{\displaystyle -2\text{sen}\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right) \cdot \text{sen} \left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\Delta x}

$$

Neste momento, $x$ passa a ser uma constante. Fazemos uma mudança de variável:

$$

\frac{\Delta x}{2}=t\\

\ \\

\Delta x = 2t

$$

Então, se $\Delta x \longrightarrow 0$, logo $t \longrightarrow 0$. Portanto:

$$

f^{\prime} (x) = \lim_{t \longrightarrow 0} \frac{-2\text{sen}(x+t) \cdot \text{sen}(t)}{2t}\\

\ \\

f^{\prime} (x) = \lim_{t \longrightarrow 0} \frac{-\text{sen}(x+t) \cdot \text{sen}(t)}{t}\\

\ \\

f^{\prime}(x) = \lim_{t \longrightarrow 0} -\text{sen}(x+t) \cdot \lim_{t \longrightarrow 0} \frac{\text{sen}(t)}{t}

$$

Aplicando o limite de $t$, obtemos:

$$

f^{\prime}(x) = -\text{sen}(x) \cdot 1

$$ 
Note que o segundo limite acima é o limite fundamental, dado em $(2)$. Portanto: $f^{\prime}(x) = -\text{sen}(x)$.


Assim, se $f(x)=\cos(x)$, sua derivada será $f^{\prime}(x) = -\text{sen}(x)$.


Links para este artigo:


Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Demonstração da derivada da função cosseno. Publicado por Kleber Kilhian em 20/07/2009. URL: . Leia os Termos de uso.


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8 comentários:

  1. Somente hoje tive oportunidade de olhar com carinho sei blog, parabens, somente alguem com uma mente como a sua tem competencia para fazer um belo trabalho.

    Um grande beijo, de uma amiga e admiradora do sua inteligencia, Rosmari

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  2. Oi Rose, obrigado pelo carinho, sei que é de coração. Essas são somente algumas idéias (pelo menosas mais fáceis de realizar) porque o tempo é curto para dar conta de tantas tarefas. Mas este blog está me mantendo com a cabeça ativa e é o que importa. Um grande beijo. Kleber.

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  3. Anônimo5/4/11 17:27

    Rapaz, parabéns, um blog desses além de ajudar muitos universitários, mostra o tamanho da sua inteligência, bela iniciativa...

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  4. Eu que agradeço sua visita e comentário. Volte sempre.

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  5. muito bom, experimente aplicar as regras de soma e produto no caso tan(x)?

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  6. Gostei muito claro e objetivo.

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  7. Anônimo5/6/14 09:13

    muito bom!! hehe

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  8. Muito bom adoro matemática ,e você é demais.

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