Veremos neste artigo como encontrar a derivada da função cosseno. Para isso, utilizaremos o conceito de derivada, o limite fundamental e uma das fórmulas da prostaférese, que transforma a diferença de cossenos em produto.
Vamos relembrar os seguintes conceitos:
A fórmula da prostaférese que transforma a diferença de cossenos em produto:
$$\cos(p)-\cos(q) = -2 \text{sen}\left(\frac{p+q}{2}\right) \cdot \text{sen}\left(\frac{p-q}{2}\right) \tag{1}
$$
O limite fundamental:
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \frac{\text{sen}(x)}{x} = 1 \tag{2}
$$
O conceito de derivada:
$$f^{\prime} (x) = \lim_{\Delta \longrightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \tag{3}
$$
Seja a função cosseno $f(x) = \cos(x)$. Do conceito da derivada, dado em $(3)$, temos:
$$f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \longrightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\\
\ \\
f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \longrightarrow 0} \frac{\cos(x+\Delta x) - \cos(x)}{\Delta x}
$$
O numerador do limite apresenta uma diferença de cossenos. Utilizamos a fórmula da prostaférese, dada em $(1)$ para transformar em produto:
$$f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \longrightarrow 0} \frac{\displaystyle -2\text{sen}\left(\frac{x+\Delta x + x}{2}\right) \cdot \text{sen} \left(\frac{x+\Delta x - x}{2}\right)}{\Delta x}\\
\ \\
f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \longrightarrow 0} \frac{\displaystyle -2\text{sen}\left(\frac{2x+\Delta x}{2}\right) \cdot \text{sen} \left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\Delta x}\\
\ \\
f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \longrightarrow 0} \frac{\displaystyle -2\text{sen}\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right) \cdot \text{sen} \left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\Delta x}
$$
Neste momento, $x$ passa a ser uma constante. Fazemos uma mudança de variável:
$$\frac{\Delta x}{2}=t\\
\ \\
\Delta x = 2t
$$
Então, se $\Delta x \longrightarrow 0$, logo $t \longrightarrow 0$. Portanto:
$$f^{\prime} (x) = \lim_{t \longrightarrow 0} \frac{-2\text{sen}(x+t) \cdot \text{sen}(t)}{2t}\\
\ \\
f^{\prime} (x) = \lim_{t \longrightarrow 0} \frac{-\text{sen}(x+t) \cdot \text{sen}(t)}{t}\\
\ \\
f^{\prime}(x) = \lim_{t \longrightarrow 0} -\text{sen}(x+t) \cdot \lim_{t \longrightarrow 0} \frac{\text{sen}(t)}{t}
$$
Aplicando o limite de $t$, obtemos:
$$f^{\prime}(x) = -\text{sen}(x) \cdot 1
$$
Assim, se $f(x)=\cos(x)$, sua derivada será $f^{\prime}(x) = -\text{sen}(x)$.
Somente hoje tive oportunidade de olhar com carinho sei blog, parabens, somente alguem com uma mente como a sua tem competencia para fazer um belo trabalho.
ResponderExcluirUm grande beijo, de uma amiga e admiradora do sua inteligencia, Rosmari
Oi Rose, obrigado pelo carinho, sei que é de coração. Essas são somente algumas idéias (pelo menosas mais fáceis de realizar) porque o tempo é curto para dar conta de tantas tarefas. Mas este blog está me mantendo com a cabeça ativa e é o que importa. Um grande beijo. Kleber.
ResponderExcluirRapaz, parabéns, um blog desses além de ajudar muitos universitários, mostra o tamanho da sua inteligência, bela iniciativa...
ResponderExcluirEu que agradeço sua visita e comentário. Volte sempre.
ResponderExcluirmuito bom, experimente aplicar as regras de soma e produto no caso tan(x)?
ResponderExcluirGostei muito claro e objetivo.
ResponderExcluirmuito bom!! hehe
ResponderExcluirMuito bom adoro matemática ,e você é demais.
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