Fórmulas de Prostaférese

As Fórmulas de Prostaférese — também conhecidas como Fórmulas de Transformação em Produto — são ferramentas poderosas na trigonometria. Enquanto em algumas situações conseguimos calcular o valor numérico de uma expressão de forma direta, em outras, precisamos fatorá-la ou transformá-la para encontrar a solução.

Abaixo, veremos como transformar a soma e a diferença de funções trigonométricas em produtos. Esse recurso é fundamental para adaptar fórmulas trigonométricas ao cálculo de logaritmos e para realizar simplificações essenciais na resolução de equações trigonométricas.

Para construir essas transformações, partimos de quatro identidades fundamentais: as fórmulas de adição e subtração de arcos.

Identidades Fundamentais

(1) Seno da Soma:

$$ \text{sen}(a+b) = \text{sen}(a)\cos(b) + \text{sen}(b)\cos(a) $$

(2) Seno da Diferença:

$$ \text{sen}(a-b) = \text{sen}(a)\cos(b) - \text{sen}(b)\cos(a) $$

(3) Cosseno da Soma:

$$ \cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \text{sen}(a)\text{sen}(b) $$

(4) Cosseno da Diferença:

$$ \cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \text{sen}(a)\text{sen}(b) $$

As Fórmulas de Werner (O Passo Intermediário)

Se combinarmos essas identidades somando ou subtraindo os pares, eliminamos metade dos termos e obtemos as chamadas Fórmulas de Werner. Veja como funciona cada combinação:

Somando (1) e (2):

$$ \text{sen}(a+b) + \text{sen}(a-b) = 2\text{sen}(a)\cos(b) $$

Subtraindo (2) de (1):

$$ \text{sen}(a+b) - \text{sen}(a-b) = 2\text{sen}(b)\cos(a) $$

Somando (3) e (4):

$$ \cos(a+b) + \cos(a-b) = 2\cos(a)\cos(b) $$

Subtraindo (4) de (3):

$$ \cos(a+b) - \cos(a-b) = -2\text{sen}(a)\text{sen}(b) $$

A Mudança de Variável

Para transformarmos essas relações em ferramentas práticas de fatoração, fazemos uma substituição simples de variáveis. Vamos definir:

• $a + b = p$
• $a - b = q$

Isso nos dá o sistema linear:

\begin{cases} a+b=p\\ a-b=q \end{cases}

Somando as duas equações membro a membro, isolamos $a$:

$$ 2a = p + q \\ \ \\ a = \frac{p+q}{2} $$

Substituindo o valor de $a$ de volta na primeira equação, isolamos $b$:

$$ \frac{p+q}{2} + b = p \\ \ \\ b = p - \frac{p+q}{2} \\ \ \\ b = \frac{p-q}{2} $$

As Fórmulas de Prostaférese

Agora, basta substituir os valores de $(a+b)$, $(a-b)$, $a$ e $b$ nas Fórmulas de Werner que encontramos logo acima. Assim, chegamos às fórmulas de transformação de soma em produto:

1. Soma de Senos

$$ \text{sen}(a+b) + \text{sen}(a-b) = 2\ \text{sen}(a)\cos(b) $$

$$ \text{sen}(p) + \text{sen}(q) = 2\text{sen}\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right) $$

2. Subtração de Senos

$$ \text{sen}(a+b) - \text{sen}(a-b) = 2 \cos(a)\text{sen}(b)\\ $$

$$ \text{sen}(p) - \text{sen}(q) = 2\cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\text{sen}\left(\frac{p-q}{2}\right) $$

3. Soma de Cossenos

$$ \cos(a+b) + \cos(a-b) = 2 \cos(a)\cos(b) $$

$$ \cos(p) + \cos(q) = 2\cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right) $$

4. Subtração de Cossenos

$$ \cos(a+b) - \cos(a-b) = -2\ \text{sen}(a)\text{sen}(b) $$

$$ \cos(p) - \cos(q) = -2\text{sen}\left(\frac{p+q}{2}\right)\text{sen}\left(\frac{p-q}{2}\right) $$

Extensão para Tangentes

Utilizando a relação fundamental $\text{tg}(x) = \dfrac{\text{sen}(x)}{\cos(x)}$ e o MMC algébrico, também podemos estender a Prostaférese para as tangentes de forma muito elegante:

5. Soma de Tangentes:

$$ \text{tg}(p) + \text{tg}(q) = \frac{\text{sen}(p)}{\cos(p)} + \frac{\text{sen}(q)}{\cos(q)} $$

$$ \text{tg}(p) + \text{tg}(q) = \frac{\text{sen}(p)\cos(q) + \text{sen}(q)\cos(p)}{\cos(p)\cos(q)} $$

$$ \text{tg}(p) + \text{tg}(q) = \frac{\text{sen}(p+q)}{\cos(p)\cos(q)} $$

6. Subtração de Tangentes:

$$ \text{tg}(p) - \text{tg}(q) = \frac{\text{sen}(p)}{\cos(p)} - \frac{\text{sen}(q)}{\cos(q)} $$

$$ \text{tg}(p) - \text{tg}(q) = \frac{\text{sen}(p)\cos(q) - \text{sen}(q)\cos(p)}{\cos(p)\cos(q)} $$

$$ \text{tg}(p) - \text{tg}(q) = \frac{\text{sen}(p-q)}{\cos(p)\cos(q)} $$

Exemplo

Para compreender o poder prático dessas transformações, vamos resolver um problema clássico de equações trigonométricas onde a Prostaférese simplifica drasticamente o caminho.

Determine as soluções da equação trigonométrica $\text{sen}(5x) + \text{sen}(x) = 0$ no intervalo $[0, 2\pi]$.

◾ Passo 1: Identificar a fórmula adequada

Olhando para o lado esquerdo da equação, temos uma soma de dois senos: $\text{sen}(5x) + \text{sen}(x)$. Para transformar essa soma em produto, utilizamos a primeira fórmula de Prostaférese:

$$ \text{sen}(p) + \text{sen}(q) = 2\text{sen}\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right) $$

Neste caso, identificamos os arcos como:

• $p = 5x$
• $q = x$

◾ Passo 2: Aplicar a transformação em produto

Substituindo $p$ e $q$ na fórmula, temos:

$$ \text{sen}(5x) + \text{sen}(x) = 2\text{sen}\left(\frac{5x+x}{2}\right)\cos\left(\frac{5x-x}{2}\right) $$

Simplificando os argumentos dentro das frações:

$$ \text{sen}(5x) + \text{sen}(x)= 2\text{sen}\left(\frac{6x}{2}\right)\cos\left(\frac{4x}{2}\right) $$

$$ \text{sen}(5x) + \text{sen}(x) = 2\ \text{sen}(3x)\cos(2x) $$

Agora, substituímos esse produto de volta na equação original. O que antes era uma soma complexa vira um produto igualado a zero:

$$ 2\text{sen}(3x)\cos(2x) = 0 $$

◾ Passo 3: Resolver a equação fatorada

A grande vantagem da Prostaférese está aqui é que o produto dos dois fatores é igual a zero. Isso significa que pelo menos um deles deve ser zero. Isso nos permite dividir o problema em dois casos simples:

Caso 1: Quando o seno é zero

$$ \text{sen}(3x) = 0 \implies 3x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{3} \quad (\text{com } k \in \mathbb{Z}) $$

Caso 2: Quando o cosseno é zero

$$ \cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \quad (\text{com } k \in \mathbb{Z}) $$

◾ Passo 4: Determinar as raízes no intervalo $[0, 2\pi]$

Por fim, basta atribuir valores inteiros para $k$ em ambas as soluções gerais para encontrar as respostas que estão dentro do intervalo pedido:

Para $x = \dfrac{k\pi}{3}$: encontramos as raízes:

$$ 0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \text{ e } 2\pi $$

Para $x = \dfrac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$: encontramos as raízes:

$$ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \text{ e } \frac{7\pi}{4} $$

Organizando todas as respostas em ordem crescente, chegamos ao conjunto solução:

$$ S = \left\{ 0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{4}, \pi, \frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{4}, 2\pi \right\} $$

Note que, se tentássemos resolver abrindo $\text{sen}(5x)$ por arcos múltiplos no início, cairíamos em um polinômio de quinto grau imenso. A Prostaférese transformou o problema em poucas linhas de álgebra simples.

Veja mais:

• Demonstração dos ângulos notáveis
• Demonstração da 1ª Fórmula de De Moivre
• Demonstração da relação trigonométrica fundamental