19/07/2009

Resolução da Integral $\displaystyle \int \ln(x)\ dx$

Nesta postagem, vamos demonstrar que:
\begin{equation*}
\ln(x)\ dx = x\ \left(\ln |x|-1 \right)
\end{equation*}


Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \ln (x)\ dx
\end{equation*}
Aplicamos o método de integração por partes:
\begin{equation*}
\int u\ dv = uv - \int v\ du
\end{equation*}
Fazemos $u=\ln(x)$, de modo que $\displaystyle \frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$. Assim, $\displaystyle du = \frac{1}{x}\ dx$. Agora, fazemos $dv=dx$, de modo que $v=x$.

Fazendo as devidas substituições na integral, obtemos:
\begin{equation*}
I = \int u\ dv = uv - \int v\ du\\
\ \\
I = \ln|x| \cdot x - int x \cdot \frac{1}{x}\ dx\\
\ \\
I= \ln|x| \cdot x - \int dx\\
\ \\
I = \ln |x| \cdot x - x\\
\ \\
I = x \left( \ln|x|-1\right)
\end{equation*}

Sobre a função $\ln |x|$, sugiro este vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=8j1Isx2gs_k

Veja mais:

Lista de resolução de integrais 
Integração por substituição
Integração por partes
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20 comentários:

  1. muito obrigado!

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  2. Eu que agradeço sua visita e comntário.

    Um abraço!

    ResponderExcluir
  3. Não seria integração por partes? Muito bom o blog... Não conhecia. AGora vou frequentar todos os dias...

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  4. Olá amigo, agradeço sua atenção à minha desatenção. Corrigido!
    Um abraço e volte sempre.

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  5. Cara faz 3 anos que faço o curso de matemática e estas informações foram preciosas neste assunto que estou trabalhando(equações diferenciais)havia esquecido completamente desta integral,a mente que está cansada,eu acho.
    valeu muito obrigado.

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  6. A Matemática é muito rica e possui muitas vertentes; se não praticarmos constantemente, acabamos nos esquecendo de alguns detalhes.
    Fico feliz em lhe ajudar.
    Abraços.

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  7. Bom dia Kleber,
    Gostaria de saber se você não tem alguma coisa sobre o assunto homomorfismo de aneis(exercícios resolvidos)estou precisando muito.
    Desde agora muito obrigado pela atenção.

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  8. Olá,
    Lembro de ter um matteria lsobre homomorfismo, mas não me lembro o conteúdo. Quando chegar em casa, procuro e deixo aqui uma resposta.
    Abraços.

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  9. Olá amigo,
    Não sei se o que tenho sobre homomorfismo irá te ajudar, mas coloquei para download neste link:

    http://www.4shared.com/file/uxXFY8h_/Homomorfismo.html


    Abraços.

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  10. Bom dia Kleber,

    Muito obrigado pelo material de homomorfismo,vai me ajudar muito.

    Um grande abraço e mais uma vez obrigado.

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  11. Bom dia kleber,
    Tenho uma dúvida.Como resolver esta integral:
    integral de x/x^2+3?Posso usar integração por partes?ou por substituição?Como faz?
    desde já obrigado.

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    Respostas
    1. u=x2+3

      du1/2=xdx =i=1/u.du1/2 i=1/2u+c i=1/2ln(x2+3)

      Excluir
  12. Olá, não pude deixar de notar o problema enviado pelo leitor do baricentro da mente. Vamos ao problema:

    Calcular a seguinte integral:
    [;\int\frac{xdx}{x^2+3};]

    Faça a seguinte substituição:

    [;u=x^2+3;], assim, [;du=2xdx\rightarrow \frac{du}{2}=xdx;]
    Portanto,

    [;\int\frac{xdx}{x^2+3}=\frac{1}{2}\int\frac{du}{u}=\frac{1}{2}ln|x|+C=\frac{1}{2}ln(x^2+3)+C=ln\sqrt{x^2+3}+C;]

    Espero ter ajudado!

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  13. Olá Amigo, creio que o Diego já tirou sua dúvida. (Obrigado Diego!). Deve-se usar o método de integração por substituição:

    http://obaricentrodamente.blogspot.com/2010/10/metodo-de-integracao-por-substituicao.html

    Eu particularmente pararia a resolução na penultima passagem, deixando como resultado sem a raiz. Mas isso é somente uma das formas de expressar o resultado.

    Não sei se você conseguirá visualizar as expressões que o Diego fez se não tiver o Script instalado em seu Firefox. Em todo o caso, vou reproduzir a resposta aqui utilizando o código Latex instalado no meu blog:

    Seja calcular a integral:
    $\displaystyle \int\frac{xdx}{x^2+3}$
    Faça a substituição:
    $u=x^2$ então $\displaystyle du=2xdx\rightarrow \frac{du}{2}=xdx$
    Portanto:
    $\displaystyle \int\frac{xdx}{x^2+3}=\frac{1}{2}\int\frac{du}{u}=\frac{1}{2}ln|x|+C=\frac{1}{2}ln(x^2+3)+C=ln\sqrt{x^2+3}+C$


    Abraços!

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  14. Muito obrigado Diego.Agradeço também ao grande Kleber.Esse é o cara.Me ajudou muito tanto com o material de homomorfismo,tanto com a resolução desta integral.

    Valeu um grande abraço.

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  15. Preciso de ajuda.Qual a integral de lnx/x dx.Faz por substituição?
    valeu.

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  16. Olá amigo, deve-se utilizar o método de substituição:
    Seja:
    $(1)\to u=ln(x)$
    Então,:
    $du=\dfrac{dx}{x}$
    $(2)\to dx=xdu$
    Assim:
    $\displaystyle \int\dfrac{ln(x)}{x}dx = \displaystyle \int \dfrac{u}{x}xdu$
    Cancelando $x$, obtemos:
    $\displaystyle \int \dfrac{u}{x}xdu=\displaystyle \int udu$
    Aplicando a integral, obtemos:
    $\dfrac{u^2}{2}+C$
    Substituindo a relação (1), obtemos:
    $\displaystyle \int\dfrac{ln(x)}{x}dx=\dfrac{ln^2(x)}{2}+C$

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  17. Muito boa a explicação.
    Daniel cruz

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  18. Muito obrigada pela ajuda!
    Muito bom os detalhes do cálculo, continue assim!
    Até

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  19. Precisei da integral do ln de x num exercício de calculo 2 e não sei porque,más,coloquei 1/x automaticamente e só alguns segundos depois percebi que estava errado(Um tempo considerável sem rever essa parte de integração por partes e já me esqueci).Muito obrigado pela ajuda,demonstração bem detalhada e de fácil entendimento.

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