20/06/2012

Integração por Substituição Trigonométrica

Há meios diferentes para integrar uma função e para cada integral, devemos identificar qual o melhor dos métodos a aplicar. Somente resolvendo diversos exemplos para podermos nos familiarizar com cada um desses métodos.

A substituição trigonométrica é uma técnica de integração muito utilizada quando ocorre integrandos algébricos. Ela se baseia no fato que identidades trigonométricas muitas vezes possibilitam a substituição de um função algébrica por uma função trigonométrica, que pode ser mais facilmente integrada.

Integração por substituição trigonométrica

No caso de integração por substituição trigonométrica, um integrante que contenha uma das formas:
\begin{gather*}
\sqrt{a^2-x^2} \tag{I} \\
\ \\
\sqrt{a^2+x^2}\tag{II}\\
\ \\
\sqrt{x^2-a^2}\tag{III}
\end{gather*}
sendo $a$ uma constante positiva e não tendo nenhum outro fator irracional, pode ser transformado numa integral trigonométrica mais familiar, utilizando substituições trigonométricas ou com o emprego de uma nova variável.

Para os três casos acima, utilizamos as identidades trigonométricas:
\begin{gather*}
1-\text{sen}^2(\theta) = \cos^2(\theta) \tag{1}\\
\ \\
1+\text{tg}^2(\theta) = \text{sen}^2(\theta)\tag{2}\\
\ \\
\text{sec}^2(\theta)-1 = \text{tg}^2(\theta)\tag{3}
\end{gather*}
Vamos ver dada um desses casos separadamente.

Caso I

Para uma integral que envolva um radical do tipo $\displaystyle \sqrt{a^2-x^2}$, fazemos a mudança de variável de $x$ para $\theta$. A substituição deve ser apropriada e fica melhor observada no triângulo retângulo:

Triângulo retângulo - seno

Temos que:
\begin{equation*}
\text{sen}(\theta) = \frac{x}{a}\\
\ \\
x = a \ \text{sen}(\theta)
\end{equation*}
Assim, $x = a\ \text{sen}(\theta)$ substitui $\displaystyle \sqrt{a^2-x^2}$ por $a\ \cos(\theta)$, pois:
\begin{equation*}
a^2 - x^2 = a^2 - \left(a\ \text{sen}(\theta)\right)^2\\
\ \\
a^2 - x^2 = a^2 - a^2\  \text{sen}^2(\theta)\\
\ \\
a^2 - x^2 = a^2 \left(1-\text{sen}^2(\theta)\right)
\end{equation*}
E pela identidade trigonométrica dada em $(1)$, obtemos:
\begin{equation*}
a^2 - x^2 = a^2\ \cos^2(\theta)
\end{equation*}
Extraindo a raiz de ambos os membros da equação, obtemos:
\begin{equation*}
\sqrt{a^2-x^2} = a\ \cos(\theta)
\end{equation*}
Justificando a substituição.

Caso II

Para uma integral que envolva um radical do tipo $\displaystyle \sqrt{a^2+x^2}$, fazemos a mudança de variável de $x$ para $\theta$. Observando o triângulo retângulo:

Triângulo retângulo - tangente

Temos que:
\begin{equation*}
\text{tg}(\theta) = \frac{x}{a}\\
\ \\
x = a\ \text{tg}(\theta)
\end{equation*}
Assim, $x = a\ \text{tg}(\theta)$ substitui $\displaystyle \sqrt{a^2 +x^2}$ por $a\ \text{sec}(\theta)$, pois:
\begin{equation*}
a^2 + x^2 = a^2 + \left(a\ \text{tg}(\theta)\right)^2\\
\ \\
a^2 + x^2 = a^2 + a^2\ \text{tg}^2(\theta)\\
\ \\
a^2 + x^2 = a^2 \left( 1 + \text{tg}(\theta) \right)
\end{equation*}
E pela identidade trigonométrica da em $(2)$, obtemos:
\begin{equation*}
a^2 + x^2 = a^2\ \text{sec}^2(\theta)
\end{equation*}
Extraindo a raiz de ambos os membros da equação acima, obtemos:
\begin{equation*}
\sqrt{a^2+x^2} = a\ \text{sec}(\theta)
\end{equation*}
Justificando a substituição.

Caso III

Para uma integral que envolva um radical do tipo $\displaystyle \sqrt{x^2-a^2}$, fazemos a mudança de variável de $x$ para $\theta$. Observando o triângulo retângulo:

Triângulo retângulo - secante

Temos que:
\begin{equation*}
\text{sec}(\theta) = \frac{x}{a}\\
\ \\
x = a\ \text{sec}(\theta)
\end{equation*}
Assim, $x=a\ \text{sec}(\theta)$ substitui $\displaystyle \sqrt{x^2-a^2}$ por $a\ \text{tg}(\theta)$, pois:
\begin{equation*}
x^2 - a^2 = \left(a\ \text{sec}(\theta)\right)^2 - a^2\\
\ \\
x^2 - a^2 = a^2 \text{sec}^2(\theta) - a^2\\
\ \\
x^2 - a^2 = a^2 \left(\text{sec}^2(\theta)-1\right)
\end{equation*}
E pela identidade trigonométrica dada em $(3)$, obtemos:
\begin{equation*}
x^2-a^2 = a^2 \ \text{tg}^2(\theta)
\end{equation*}
Extraindo a raiz de ambos os membros da equação, obtemos:
\begin{equation*}
\sqrt{x^2-a^2} = a\ \text{tg}(\theta)
\end{equation*}
Justificando a substituição.

Com base nos resultados obtidos acima, podemos montar uma tabela:

Tabela de substituição trigonométrica para integrais

Vejam que, para representar graficamente as substituições sugeridas no triângulo retângulo, o radical ficará sempre no lado do triângulo que não é utilizado pela relação trigonométrica:

  • Caso I: Usa-se $x = a\ \text{sen}(\theta)$; logo, o radical aparece no cateto adjacente a $\theta$;
  • Caso II: Usa-se $a\ \text{tg}(\theta)$ ; logo, o radical aparece na hipotenusa;
  • Caso III: Usa-se $a\ \text{sec}(\theta)$; logo, o radical aparece no cateto oposto a $\theta$.

Exemplo 1:

Calcular a integral $\displaystyle \int \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}\ dx$.

Essa é uma integral do tipo I. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo:

Integral por substituição trigonométrica do tipo I

Assim, escrevemos:
\begin{gather*}
\text{sen}(\theta) = \frac{x}{a}\\
\ \\
x = a\ \text{sen}(\theta) \tag{a}\\
\ \\
dx = a\ \cos(\theta)\ d\theta \tag{b}\\
\ \\
\sqrt{a^2 - x^2} = a\ \cos(\theta)\tag{c}
\end{gather*}
Assim, seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}\ dx\\
\ \\
I = \int \frac{a\ \cos(\theta)}{a\ \text{sen}(\theta)}\ a\ \cos(\theta)\ d\theta\\
\ \\
I = a \int \frac{\cos^2(\theta)}{\text{sen}(\theta)}\ d\theta\\
\ \\
I = \ \int \frac{1 - \text{sen}^2(\theta)}{\text{sen}(\theta)}\ d\theta\\
\ \\
I = a \int \left( \frac{1}{\text{sen}(\theta)}-\text{sen}(\theta) \right)\ d\theta\\
\ \\
I =  a \int \left( \text{cosec}(\theta) - \text{sen}(\theta)\right)\ d\theta\\
\ \\
I = -a\ \ln \left( \text{cosec}(\theta) + \text{cotg}(\theta)\right) + a\ \cos(\theta) + C
\end{equation*}
Devemos agora reescrever o resultado em termos da variável original $x$. Observando o triângulo retângulo, devemos encontrar as relações trigonométricas que aparecem no resultado acima. assim:
\begin{equation*}
\text{cosec}(\theta) = \frac{a}{x}\\
\ \\
\text{cotg}(\theta) = \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}\\
\ \\
\cos(\theta) = \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
I = -a \ln \left( \frac{a}{x} + \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}\right)  + a\ \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a} + C\\
\ \\
I =\sqrt{a^2-x^2} - a \ \ln \left( \frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{x} \right) + C\\
\ \\
I = \sqrt{a^2 - x^2} - \ln \left(a + \sqrt{a^2-x^2} \right) + a\ \ln (x) + C
\end{equation*}

Exemplo 2:

Calcular a integral $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}}$.

Esta é uma integral do tipo II. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo:

Integral por substituição trigonométrica do tipo II

Assim, escrevemos:
\begin{gather*}
\text{tg}(\theta) = \frac{x}{a}\\
\ \\
x = a\ \text{tg}(\theta) \tag{a}\\
\ \\
dx = a\ \text{sec}^2(\theta)\ d\theta \tag{b}\\
\ \\
\sqrt{a^2+x^2} = a\ \text{sec}(\theta) \tag{c}
\end{gather*}
Assim, seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}}\\
\ \\
I = \int \frac{a\ \text{sec}^2(\theta)}{a\ \text{sec}(\theta)}\ d\theta \\
\ \\
I = \int \text{sec}(\theta)\ d\theta\\
\ \\
I = \ln \left( \text{sec}(\theta) + \text{tg}(\theta) \right)  + C
\end{equation*}
Vamos agora reescrever o resultado em termos da variável original $x$. Observando o triângulo retângulo, encontramos as relações:
\begin{equation*}
\text{sec}(\theta) = \frac{\sqrt{a^2+x^2}}{a}\\
\ \\
\text{tg}(\theta) = \frac{x}{a}
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
I = \ln \left( \frac{\sqrt{a^2+x^2}}{a}+\frac{x}{a} \right) + C\\
\ \\
I = \ln \left(\frac{\sqrt{a^2+x^2}+x}{a} \right) + C\\
\ \\
I = \ln \left(\sqrt{a^2+x^2}+x\right) - \ln(a) + C
\end{equation*}
Como $C$ é uma constante arbitrária e $\ln(a)$ também é uma constante, podemos reescrever o resultado como:
\begin{equation*}
I = \ln \left( \sqrt{a^2+x^2}+x \right)+ C
\end{equation*}

Exemplo 3:

Calcular a integral $\displaystyle \int \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x}\ dx$.

Esta é uma integral do tipo III. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo:

Integral por substituição trigonométrica do tipo III

Assim escrevemos:
\begin{gather*}
\text{sec}(\theta) = \frac{x}{a}\\
\\\
x = a\ \text{sec}(\theta) \tag{a}\\
\ \\
dx = a\ \text{sec}(\theta)\ \text{tg}(\theta)\ d\theta \tag{b} \\
\ \\
\sqrt{x^2-a^2} = a\ \text{tg}(\theta) \tag{c}
\end{gather*}
Assim, seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x}\ dx\\
\ \\
I = \int \frac{a\ \text{tg}(\theta)}{a\ \text{sec}(\theta)}\ a \ \text{sec}(\theta)\ \text{tg}(\theta)\ d\theta\\
\ \\
I = \int a\ \text{tg}^2(\theta)\ d\theta\\
\ \\
I = a \int \left(\text{sec}^2(\theta)-1\right)\ d\theta\\
\ \\
I = a\ \text{tg}(\theta) - a\ (\theta) + C
\end{equation*}
Vamos reescrever o resultado em termos da variável original $x$. Observando o triângulo encontramos as relações:
\begin{equation*}
\text{tg}(\theta) = \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}\\
\ \\
\theta = \text{arctg}\left( \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a} \right)
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
I = a\ \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a} - a\ \text{arctg}\left( \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a} \right)+C\\
\ \\
I = \sqrt{x^2-a^2} - a\ \text{arctg} \left( \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a} \right) + C
\end{equation*}

Exemplo 4:

Calcular a integral $\displaystyle \int \frac{dx}{x^2\sqrt{16-x^2}}$.

Esta é uma integral do tipo I. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo:

Integral por substituição trigonométrica do tipo I

Assim, escrevemos:
\begin{gather*}
\text{sen}(\theta) = \frac{x}{4}\\
\ \\
x = 4\ \text{sen}(\theta) \tag{a}\\
\ \\
dx = 4\ \cos(\theta)\ d\theta \tag{b}\\
\ \\
\sqrt{16-x^2} = 4\ \cos(\theta) \tag{c}
\end{gather*}
Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \frac{dx}{x^2 \sqrt{16-x^2}}\\
\ \\
I = \frac{4\ \cos(\theta)\ d\theta}{\left(4\ \text{sen}(\theta)\right)^2\ 4\ \cos(\theta)}\\
\ \\
I = \frac{1}{16} \int \frac{d\theta}{\text{sen}^2(\theta)}\\
\ \\
I = \frac{1}{16} \int \text{cosec}^2(\theta)\ d\theta\\
\ \\
I = -\frac{1}{16} \text{cotg}(\theta)\ d\theta +C
\end{equation*}
Agora, reescrevemos o resultado em termos da variável original $x$. Observando o triângulo retângulo, encontramos a relação:
\begin{equation*}
\text{cotg}(\theta) = \frac{\sqrt{16-x^2}}{x}
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
I = -\frac{\sqrt{16-x^2}}{16x} + C
\end{equation*}

Exemplo 5:

Calcular a integral $\displaystyle \int \frac{dx}{x^2 \sqrt{4+x^2}}$.

Esta é uma integral do tipo II. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo:

Integral por substituição trigonométrica do tipo II

Assim, escrevemos:
\begin{gather*}
\text{tg}(\theta) = \frac{x}{2}\\
\ \\
x = 2\ \text{tg}(\theta) \tag{a}\\
\ \\
dx = 2\ \text{sec}^2(\theta)\ d\theta \tag{b}\\
\ \\
\sqrt{4+x^2} = 2\ \text{sec}(\theta) \tag{c}
\end{gather*}
Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \frac{dx}{x^2 \sqrt{4+x^2}}\\
\ \\
I = \int \frac{2\ \text{sec}^2(\theta)\ d\theta}{\left(2\ \text{tg}(\theta)\right)^2\ 2\ \text{sec}(\theta)}\\
\ \\
I = \frac{1}{4} \int \frac{\text{sec}(\theta)}{\text{tg}^2(\theta)}\ d\theta\\
\ \\
I = \frac{1}{4} \int \text{cosec}^2(\theta)\ \cos(\theta)\ d\theta\\
\ \\
I = \frac{1}{4} \text{cosec}(\theta)+C
\end{equation*}
Reescrevendo o resultado em termos da variável original $x$ e utilizando as relações observadas no triângulo retângulo, fazemos:
\begin{equation*}
\text{cosec}(\theta) = \frac{4+x^2}{x}
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{4+x^2}}{x}+C\\
\ \\
I = \frac{\sqrt{4+x^2}}{4x}+C
\end{equation*}

Exemplo 6:

Calcular a integral $\displaystyle \int \frac{dx}{x^3 \sqrt{x^2-25}}$.

Esta é uma integral do tipo III. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo:

Integral por substituição trigonométrica do tipo III

Assim, escrevemos:
\begin{gather*}
\text{sec}(\theta) = \frac{x}{5}\\
\ \\
x = 5\ \text{sec}(\theta) \tag{a}\\
\ \\
dx = 5\ \text{sec}(\theta)\ \text{tg}(\theta)\ d\theta \tag{b}\\
\ \\
\sqrt{x^2-25} = 5\ \text{tg}(\theta) \tag{c}
\end{gather*}
Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \frac{dx}{x^3 \sqrt{x^2-25}}\\
\ \\
I = \int \frac{5\ \text{sec}(\theta)\ \text{tg}(\theta)\ d\theta}{(5\ \text{sec}(\theta))^3 \ 5\ \text{tg}(\theta)}\\
\ \\
I = \int \frac{5\ \text{sec}(\theta)\ \text{tg}(\theta)\ d\theta}{125\ \text{sec}^3(\theta)\ 5\ \text{tg}(\theta)}\\
\ \\
I = \frac{1}{125} \int \frac{d\theta}{\text{sec}^2(\theta)}\\
\ \\
I = \frac{1}{125} \int \cos^2(\theta)\ d\theta\\
\end{equation*}
A integral de $\cos^2(\theta)$ é $\displaystyle \frac{1}{2}(\theta + \text{sen}(\theta)\ \cos(\theta))$, assim:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{125} \cdot \frac{1}{2}(\theta + \text{sen}(\theta)\ \cos(\theta))+C\\
\ \\
I = \frac{1}{250} (\theta + \text{sen}(\theta)\ \cos(\theta))+C
\end{equation*}
Agora, representamos o resultado em termos da variável original $x$. Observando o triângulo retângulo, encontramos as relações:
\begin{equation*}
\text{sen}(\theta) = \frac{\sqrt{x^2-25}}{x}\\
\ \\
\cos(\theta) = \frac{5}{x}\\
\ \\
\theta = \text{arctg} \left( \frac{5}{\sqrt{x^2-25}} \right)
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{250} \left( \text{arctg}\left( \frac{5}{\sqrt{x^2-25}} \right) + \frac{\sqrt{x^2-25}}{x}\cdot \frac{5}{x} \right) + C\\
\ \\
I = \frac{1}{250} \left( \frac{5\sqrt{x^2-25}}{x^2} + \text{arctg} \left( \frac{5}{\sqrt{x^2-25}} \right) \right) + C
\end{equation*}

Exemplo 7:

Para ilustrar o uso desse método, vamos determinar a equação da tractriz, que é uma curva definida pela trajetória de um objeto arrastado ao longo de um plano horizontal por um fio de comprimento constante quando a outra extremidade do fio se move ao longo de uma reta no plano. A palavra tractriz provém do latim tractum, que significa "draga". Vamos considerar um plano formado por eixos ortogonais $x\ y$ e o objeto comece no ponto $(a,\ 0)$ com a outra extremidade do fio na origem. Se esta se move para cima ao longo do eixo dos $y$:

Tractriz

o fio será sempre tangente à curva e o comprimento da tangente entre o eixo dos $y$ e o ponto de contato será sempre igual a $a$. O coeficiente angular da tangente é dado pela fórmula:
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}
\end{equation*}
Separando as variáveis e usando o resultado do exemplo 1, temos:
\begin{equation*}
y = - \int \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}\ dx \\
\ \\
y = a\ \ln \left( \frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{x} \right) - \sqrt{a^2-x^2}+C
\end{equation*}
Quando $x=a$, $y=0$ e $C=0$. Logo:
\begin{equation*}
y = a\ \ln \left( \frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{x} \right)-\sqrt{a^2-x^2}
\end{equation*}
que é a equação da tractriz.

Se as extremidades do fio movem-se para baixo no eixo dos $y$, então uma outra parte da curva é gerada. Se girarmos essas duas partes em torno do eixo dos $y$, a superfície resultante será uma pseudo-esfera, com forma de uma "trombeta dupla".

Trombeta de Gabriel


Tente resolver estes exercícios:

\begin{equation*}
1) \qquad \int \frac{x^3}{\sqrt{9-x^2}}\ dx \\
\ \\
2) \qquad \int \frac{x^2}{(4-x^2)^{3/2}}\ dx\\
\ \\
3) \qquad \int \frac{dx}{x^2\ \sqrt{x^2-9}}\\
\ \\
4) \qquad \int \frac{dx}{x^3\ \sqrt{x^2-4}}\\
\ \\
5) \qquad \int \sqrt{9-4x^2}\ dx
\end{equation*}

Links para este artigo:


Referências:

  • Cálculo com Geometria Analítica V1 - Simmons
  • Cálculo V1 - Munen & Foulis
  • Cálculo Diferencial e Integral - Frank Ayres Jr

Veja mais:



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37 comentários:

  1. Uma perfeita explicação !!! adorei e os segredos da trigonometria no calculo integral.Consgui resolver a integral proposta,

    ResponderExcluir
  2. Eu tinha estudado num material meio confuso e, no primeiro exercício estava achando que teria que fazer a substituição só do tal x q é argumento da raiz. via cos^2 e não entendia que o segundo fator de cosseno tinha vindo da substituição diferencial.
    Acho q vou conseguir salvar meu escalpo na prova.

    ResponderExcluir
  3. Obrigado prezados leitores pelos comentários. Espero que este artigo tenham elucidados suas dúvidas.

    Abraços.

    ResponderExcluir
  4. Resolvi a integral: de sqrt(a^2 - x^2) e deu :a^2( 1/4 sen 2 (o) + 1/2 arcosin (o) que paassando a variável x deu: a^2.[ 1/4.X/A.SQRT(X^2 - A^2 ) + ARCOSIN X/A] pOR FAvor Kleber!! quero saber se a minha resposta ficou certa, obrigado!! (o) = theta.

    ResponderExcluir
  5. Olá Hamilton. Fiz a resolução a seguir e conferi com a Wolframalpha:

    Seja a integral:
    $\displaystyle \int \sqrt{a^2-x^2}dx$
    Fazemos:
    $x=a \sin(\theta)$
    $dx=a \cos(\theta)d\theta$
    Então:
    $\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-a^2 \sin^2(\theta)}=\sqrt{a^2(1-\sin^2(\theta))}=a\sqrt{\cos^2(\theta)}$
    Assim:
    $\displaystyle \int\sqrt{a^2-x^2}dx=\displaystyle \int a\sqrt{\cos^2(\theta)}\cdot a

    \cos(\theta)d\theta=\displaystyle \int a^2\cos^2(\theta) d\theta$
    Pela identidade:
    $\cos^2(\theta)=\dfrac{1}{2}\cos(2\theta)+\dfrac{1}{2}$
    Temos que:
    $I=\displaystyle \int a^2\left [ \dfrac{1}{2}\cos(2\theta)+\dfrac{1}{2} \right ] d\theta$
    $I=\displaystyle \int a^2\dfrac{1}{2}\cos(2\theta)+\displaystyle \int a^2\dfrac{1}{2} d\theta$
    $I=\displaystyle a^2 \int \dfrac{1}{2} d\theta + \dfrac{1}{2}a^2 \displaystyle \int \cos(2\theta) d\theta$
    $I=\dfrac{1}{2}a^2\theta+\dfrac{1}{2}a^2 \displaystyle \int \cos(2\theta) d\theta$
    Seja $u=2 \theta$; $du=2d \theta$; $d\theta=du/2$
    $\dfrac{1}{2}a^2 \displaystyle \int cos(2\theta)d\theta=\dfrac{1}{2}a^2 \displaystyle \int

    \dfrac{cos(u)}{2}du=$
    $=\dfrac{1}{4}a^2\cdot \sin(u)=\dfrac{1}{4}a^2 \sin(2\theta)$
    $I=\dfrac{1}{2}a^2 \theta +\dfrac{1}{4}a^2 \sin(2\theta)+C$
    Sendo $\sin(\theta)=\dfrac{x}{a};\theta=\arcsin(\frac{x}{a})$
    $I=\dfrac{1}{2}a^2 \cdot\arcsin\left ( \frac{x}{a} \right )+\dfrac{1}{4}a^2 \cdot \sin(2\theta)+C$
    $I=\dfrac{1}{2}a^2 \cdot\arcsin\left ( \frac{x}{a} \right )+\dfrac{1}{2}ax \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}+C$
    $I=\dfrac{1}{2}\left [ ax\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}+a^2\cdot \arcsin\left ( \frac{x}{a} \right ) \right ]+C$


    ResponderExcluir
  6. Obrigado Klebeer!!!! Que clareza no exercicio adorei e entendi. Eu fiz de um modo diferente mas vou verificar deu a mesma respostua da tua vlw.. Era o que eu pensava tirei uma duvida. Só nao consegui retornar a cálculo inverso!! 1 abraço;

    ResponderExcluir
  7. É possivel achar a integral de V( 2X^3 - 1 ) DX ONDE v( Y ) RAIZ QUADRADA , POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA ? cOMO EU FARIA ESSE CALCULO?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Veja esta resolução pela wolfram:

      http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+\sqrt{2x^3-1}

      Vou tentar fazer por substituição trigonométrica, não sei se é possível.

      Excluir
  8. Gostaria de aprender como resolver passo a passo uma equação diferencial. Procurei no Google mas nao entendi nada, Poderia me explicar?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Hamilton, olha só, eu estou viajando e com o tempo um pouco restrito para ficar na internet. Por enquanto, sugiro que veja os links abaixo que possuem resoluções. Não estão difíceis de entender. Mas é importante aprender a teoria.

      http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2009/05/edo-lei-da-refrigeracao-de-newton.html

      http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2010/08/edo-lei-dos-gases-de-boyle.html

      http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2010/08/uma-breve-historia-das-equacoes.html

      Veja que a equação diferencial produz uma família de soluções que dependerão de alguns parâmetros.

      Excluir
  9. Obrigado Kleber !!! Pela atenção . e feliz ano novo.

    ResponderExcluir
  10. muito obrigada essa explicação é muito boa, me ajudou muito, d+.....

    ResponderExcluir
  11. Respostas
    1. Olá Patty,

      Veja esta resolução:

      http://imageshack.us/a/img856/9365/e5lu.png

      Um abraço!

      Excluir
    2. Essa integral resolve pelo método das frações parciais.

      Excluir
  12. Olá Kleber Kilhian,
    Você pode me ajudar, como se integra 1/(√4+x^2) dx
    Obrigada.

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    1. Olá Dalana. sua integral é do Tipo II que aparece no começo desse artigo. É ainda muito parecida com a do exemplo 2. Seria bom você ler primeiro a teoria acima. Vamos À resolução:

      $$\int \frac{dx}{\sqrt{4+x^2}}=\int \frac{dx}{\sqrt{2^2+x^2}}$$
      Fazemos a substituição trigonométrica:
      $$x=2 \tan(\theta) \qquad \text{e} \qquad dx=2 \sec^2(\theta)d\theta$$
      Agora vamos trabalhar o radicando, substituindo o valor de $x$:
      $$2^2+x^2=2^2+(2 \tan(\theta))^2=2^2+2^2 \tan^2(\theta)=2^2(1+\tan^2(\theta))=2^2(\sec^2(\theta))$$
      Veja que neste último passo usamos uma identidade trigonométrica. Fazemos:
      $$\sqrt{2^2+x^2}=2(\sec(\theta))$$
      Assim:
      $$\int \frac{dx}{\sqrt{4+x^2}}=\int \frac{2\sec^2(\theta)}{2\sec(\theta)}d\theta=\int \sec (\theta) d\theta = \ln \mid \sec(\theta) + \tan (\theta) \mid +C$$
      Reescrevendo em função da variável $x$:
      $\displaystyle \bullet \sec(\theta)=\frac{\sqrt{4+x^2}}{2}$
      $\displaystyle \bullet \tan(\theta)=\frac{x}{`2}$

      Assim:

      $$\int \frac{dx}{\sqrt{4+x^2}}= \ln \left (\frac{\sqrt{4+x^2}}{2} + \frac{x}{2} \right)+C = \ln \left( \frac{\sqrt{4+x^2}+x}{2}\right)+C= \ln (\sqrt{4+x^2}+x)- \ln (2)+C$$

      Excluir
  13. Kleber, poderia explicar direitinho o Exemplo 5 após encontrar 1/4 \int secØ / tg²Ø dØ ??? eu não entendi pq vc encontrou 1/4 \int cosec²Ø * cosØ dØ à diante ... Agradeço muito!

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    1. Oi Valéria, na verdade foi somente substituições:

      Lembrando que

      sec = 1/cos
      cossec = 1/sen
      tg = sen/cos

      Então, temos:

      $$\frac{1}{4}\int \frac{\text{sec} \theta}{\tan^2\theta}=\frac{1}{4} \int \frac{\frac{1}{\cos \theta}}{\frac{\text{sen}\theta}{\cos \theta}\cdot \frac{\text{sen}\theta}{\cos \theta}}=\frac{1}{4} \int \frac{1}{\cos \theta}\cdot \frac{\cos \theta}{\text{sen}\theta}\cdot\frac{\cos \theta}{\text{sen}\theta}=\frac{1}{4} \int \frac{1}{\text{sen}^2\theta}\cdot \cos \theta=\frac{1}{4}\int \text{cossec}^2\theta\cdot \cos \theta d\theta$$

      Espero ter esclarecido. Abraços.

      Excluir
  14. Kleber, pode me ajudar com esta integral? \int √16-xˆ2 / 4xˆ2 dx

    Eu encontrei -1/4 (√16-xˆ2 /x) - (arctg(√16-xˆ2 /x) + C

    ...

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    1. Valéria, ao invés de digitar a resolução aqui, que ficaria meio longa, fiz numa folha e tirei uma foto. Veja neste link:

      http://share.pho.to/6Hwun/9l/original

      Um abraço.

      Excluir
  15. Kleber … Obrigada pela ajuda. Eu estou resolvendo uma série de exercícios para fixar o assunto .. Ainda tenho dúvida em algumas questões.. Posso postá-las aqui ?

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    1. Valéria, envie em meu e-mail, vou ver o que posso te ajudar: kleberkilhian@gmail.com

      Abraços.

      Excluir
  16. Olá Bom dia!!!! Gostaria de saber como eu resolvo essa integral por substituição trigonométrica!!!

    ∫dt/√(9-16t²)

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    1. Mateus, boa noite.

      Desculpe a demora, estou muito ocupado. Vi a resolução em vídeo dessa sua integral. Pode conferir aqui no youtube:

      https://www.youtube.com/watch?v=1NS_-BieNvQ

      Abraços!

      Excluir
  17. Como posso Integrar (X^7)sqrt((x^4)-2)
    Todos os métodos que tentei acabavam me levando à integral de uma arcotangente.

    ResponderExcluir
  18. Davi, não precisa ser uma substituição trigonométrica, pode ser algébrica mesmo:

    Seja $\displaystyle I = \int x^7\sqrt{x^4-2}$
    Fazemos a substituição $u=x^4$. Assim, $du=4x^3dx$ e $dx=\cfrac{1}{4x^3}du$.

    $$I = \int \cfrac{u~x^3\sqrt{u-2}}{4x^3}~du = \frac{1}{4}\int u\sqrt{u-2}~du$$
    Fazemos a substituição $v=u-2$. Assim, $dv=du$ e $u=v+2$:
    $$
    I=\frac{1}{4}\int (v+2)\sqrt{v}~dv = \frac{1}{4} \int (v+2)~v^{1/2}~dv\\
    \ \\
    I = \frac{1}{4} \int \left( v^{3/2}+2v^{1/2} \right)~dv = \frac{1}{4}\int v^{3/2}~dv + \frac{1}{2}\int v^{1/2}~dv\\
    \ \\
    I = \frac{1}{4}\cdot \frac{2}{5} v^{5/2} + \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3} v^{3/2} +C = \frac{1}{10}v^{5/2}+\frac{1}{3}v^{3/2}+C
    $$
    Mas $v=u-2$:
    $$
    I = \frac{1}{10}(u-2)^{5/2} + \frac{1}{3}(u-2)^{3/2} + C
    $$
    Mas $u=x^4$:
    $$
    I = \frac{1}{10}(x^4-2)^{5/2} + \frac{1}{3}(x^4-2)^{3/2}+C\\
    \ \\
    I = \frac{1}{30}\left(x^4-2\right)^{5/2}\left(x^4-2\right)^{3/2}\\
    \ \\
    I = \frac{1}{30}\left(x^4-2\right)^4+C
    $$

    Abraços.

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    1. Nem passou pela minha cabeça, obrigado.

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  19. preciso de ajudaaaa

    Integrando por substituição calcule
    fx raiz x^2+1

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    1. Edneia, não entendi a função que você escreveu.

      Excluir
  20. Estou com dificuldade de fazer a integração por substituição da seguinte função: \int \:\frac{1}{x^4\sqrt{x^2-3}}dx, chego até a parte da integração dai para frente não consigo fazer.


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  21. boa noite,
    como consigo resolver esta integral por substituição trigonometrica

    integral dx/x^2(raizx^2-3)

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    1. Olá Artur. Veja uma possível resolução:

      Seja a integral:
      $$I=\int\frac{1}{x^2\sqrt{x^2-3}}dx$$
      Veja no post o caso $III$. Tem-se $\displaystyle \sqrt{x^2-a}$. Usamos $x=a\ \sec(u)$ para obter $a\ \text{tg}(u)$.

      Fazemos $a=\sqrt{3}$. Assim, para o integrando, substituímos $x=\sqrt{3} \sec(u)$ e $dx = \sqrt{3}\ \text{tg}(u) \sec(u) du$.

      Então $\sqrt{x^2-3} = \sqrt{3 \sec^2(u)-3}=\sqrt{3}\text{tg}(u)$ e $\displaystyle u = \text{arcsec}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)$.

      $$
      I = \sqrt{3} \int \frac{\cos(u)}{3\sqrt{3}}du\\
      \ \\
      I = \frac{1}{3} \int \cos (u) du\\
      \ \\
      I = \frac{1}{3} \text{sen}(u) + C\\
      \ \\
      $$
      Substituindo $u$, obtemos:
      $$
      I = \frac{1}{3} \text{sen} \left( \text{arcsec}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right) \right) + C
      $$
      Usando o fato que:
      $$
      \text{sen}\left(\text{arcsec}(z)\right) = \sqrt{1-\frac{1}{z^2}}
      $$
      Obtemos:
      $$
      I = \frac{\sqrt{x^2-3}}{3x}+C
      $$.

      Abs.

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  22. como consigo resolver essa questão?

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  23. Walter Curvelo09/09/2017 21:52

    Boa noite professor! Me baseando na sua explicação resolvi a questão de Integração por Substituição Trigonométrica proposta pelo meu professor que era √4-x², encontrei o resultado 2arc sen(x–2)+x√4-x^2–2+c. Não sei se está certo, como vi que resolveu algumas questões pedidas nos comentários, gostaria de ver a resolução desse para comparar. Agradeço!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Walter, como vai? Veja a resolução:

      Seja a integral
      $$I = \int \sqrt{4-x^2} dx$$
      Fazemos a substituição trigonométrica:
      $$ \sqrt{4-x^2}=2\cos(\theta)$$
      assim, $dx=2\cos(\theta) d\theta$, obtemos:
      $$
      I = \int 2 \cos(\theta) \cdot 2 \cos(\theta) d\theta\\
      \ \\
      I = \int 4 \cos^2 (\theta) d\theta\\
      \ \\
      I = 4\int \cos^2(\theta) d\theta
      $$
      Da identidade trigonométrica, temos:
      $$
      \cos^2(\theta) = \frac{1}{2}\left(1+\cos(2\theta)\right)
      $$
      Assim:
      $$
      I = 2 \int \left(1+\cos(2\theta)\right) d\theta\\
      \ \\
      I = 2\int d\theta + 2\int \cos(2\theta) d\theta\\
      \ \\
      I = 2\theta + 2\int \cos(2\theta) d\theta\\
      $$
      Fazemos a substituição trigonométrica:
      $$u=2\theta \quad \text{e} \quad du = 2d\theta$$
      Assim:
      $$
      I = 2\theta + 2\int \cos(u)\cdot \frac{1}{2} du\\
      \ \\
      I = 2\theta + \int \cos(u) du\\
      \ \\
      I = 2\theta + \text{sen}(u) + C\\
      $$
      Mas $u=2\theta$, assim:
      $$
      I = 2\theta + \text{sen}(2\theta)+C
      $$
      Pela identidade do arco duplo, temos:
      $$
      I = 2\theta + 2\text{sen}(\theta)\cos(\theta) + C
      $$
      Escrevendo $\cos$ em função de $\text{sen}$, temos:
      $$
      \cos^2(\theta)=1-\text{sen}^2(\theta)\\
      \ \\
      \cos(\theta)=\sqrt{1-\text{sen}^2(\theta)}
      $$
      Assim:
      $$
      I = 2\theta + 2\ \text{sen}(\theta) \sqrt{1-\text{sen}^2(\theta)}+C
      $$
      Mas $\displaystyle \theta = \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right)$. Assim:
      $$
      I = 2\ \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) + x \sqrt{1-\text{sen}^2\left(\text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) \right)}+C\\

      \ \\

      I = 2\ \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) + x \sqrt{1-\frac{x^2}{4}}+C\\

      \ \\

      I = 2\ \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{x}{2} \sqrt{4-x^2}+C
      $$

      Abraços!

      Excluir
    2. Walter Curvelo11/09/2017 14:30

      Muito obrigado pela resposta professor! Bateu exatamente com o valor que eu havia conseguido. Seu material foi de grande ajuda e sua atenção em responder com tamanha velocidade maior! Muito obrigado e sucesso na vida!

      Excluir

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