09/06/2012

Integração por Frações Parciais, parte 1 – Fatores Lineares

O método de integração por frações parciais é utilizado para resolver integrais quando o integrando não pode ser calculado diretamente, por substituição de variável ou ainda por partes. Neste caso, devemos decompor o integrando em uma soma de frações parciais e integrá-la membro a membro.

Quando decompomos a fração que compõe o integrando em uma soma de outras frações mais simples, o que se espera é obter um integrando que seja mais fácil de integrar.

A decomposição é realizada fatorando o polinômio $q(x)$ que aparece no denominador, associando a cada fator linear ou quadrático irredutível uma ou mais frações parciais.

Integração por frações parciais - Fatores lineares

Um polinômio $p(x)$ é uma função da forma:
\begin{equation*}
a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + a_n
\end{equation*}
onde os coeficientes são constantes, sendo $a_0 \neq 0$ e $n$ é um número inteiro positivo, podendo assumir valores nulos.

Assim, se tivermos dois polinômios do mesmo grau, qualquer valor que atribuirmos à variável nos dois polinômios serão iguais.

Teoricamente, podemos expressar um polinômio de coeficientes reais como um produto de fatores lineares reais da forma $ax+b$ e fatores de segundo grau irredutíveis da forma $ax^2+bx+c$.

Uma fração racional é o quociente entre dois polinômios:
\begin{equation*}
F(x) = \frac{f(x)}{g(x)}
\end{equation*}
onde $f(x)$ e $g(x)$ são polinômios. Se o grau de $f(x)$ for menor do que de $g(x)$, então $F(x)$ é uma fração racional própria; caso contrário, se o grau de $f(x)$ for maior do que de $g(x)$, então $F(x)$ é denominada imprópria.

Uma fração racional imprópria pode ser expressa como uma soma de um polinômio e de uma fração racional própria:
\begin{equation*}
\frac{x^3}{x^2+1} = x - \frac{x}{x^2-1}
\end{equation*}
Uma fração racional própria pode ser expressa como uma soma de frações parciais, mais simples, cujos denominadores assumem a forma:
\begin{equation*}
\left( ax+b \right)^n \quad \text{e} \quad \left( ax^2+bx-c \right)^n
\end{equation*}
onde $n$ é um inteiro positivo.

Neste quadro, podemos ter 4 casos distintos, dependendo de como os denominadores se apresentam:
  • Fatores lineares distintos;
  • Fatores lineares repetidos;
  • Fatores quadráticos distintos;
  • Fatores quadráticos repetidos.

Neste artigo, veremos os dois primeiros casos, referentes à fatores lineares. Para os últimos casos, sugiro a leitura do artigo Integração por frações parciais - Fatores quadráticos irredutíveis.

Caso 1: Fatores lineares distintos

A cada fator linear da forma $ax+b$ que aparece penas uma vez no denominador de uma fração racional própria, podemos dizer que corresponde a uma fração parcial da forma:
\begin{equation*}
\frac{A}{ax+b}
\end{equation*}
onde $A$ é uma constante a ser determinada.

O processo de determinação das constantes $A,\ B,\ C,\ \cdots$ que compõem os numeradores das frações parciais, talvez seja mais trabalhoso do que calcular a integral que se segue.

Para que este método se torne mais orgânico, vamos iniciar com uma integral e, a partir desse exemplo, desenvolver dois métodos para encontrar as frações parciais.

Exemplo 1:

Vamos calcular a integral abaixo utilizando o método de integração por frações parciais.
\begin{equation*}
I = \int \frac{dx}{x^2-4}
\end{equation*}
Vamos dividir este procedimento em 3 etapas e desenvolver cada um passo-a-passo para melhor entendimento.

► Etapa 1: Fatorar o denominador.
Vamos iniciar fatorando o denominador em um produto de binômios:
\begin{equation*}
x^2-4 = (x-2)(x+2)
\end{equation*}
Podemos reescrever o integrando da seguinte forma:
\begin{equation*}
\frac{1}{x^2-4} = \frac{1}{(x-2)(x+2)}
\end{equation*}
ou ainda:
\begin{equation*}
\frac{1}{x^2-4} = \frac{A}{(x-2)} + \frac{B}{(x+2)} \tag{1}
\end{equation*}
onde $A$ e $B$ são constantes que devemos determinar.

Calculamos o mínimo múltiplo comum (mmc) entre os denominadores das frações do membro da direita da igualdade:
\begin{equation*}
\frac{1}{x^2-4} = \frac{A(x+2) + B(x-2)}{(x-2)(x+2)}  \tag{2}
\end{equation*}
Para eliminarmos os denominadores, multiplicamos ambos os membros da igualdade por $(x^2-4)$, obtendo:
\begin{equation*}
1 = A(x+2) + B(x-2) \tag{3}
\end{equation*}
Aplicamos a propriedade distributiva para eliminarmos os parênteses:
\begin{equation*}
1 = Ax + 2A + Bx - 2B \tag{4}
\end{equation*}
Agora, agrupamos os termos que possuem a variável $x$ e as constantes:
\begin{equation*}
1 = (Ax+Bx) + (2A-2B)
\end{equation*}
e colocamos a variável em evidência:
\begin{equation*}
1 = (A+B)x + (2A-2B) \tag{5}
\end{equation*}
Vejam que $(A+B)$ é o coeficiente do termo que possui a variável $x$.

► Etapa 2: Determinar as constantes.
Nesta etapa, devemos determinar os valores para as constantes $A$ e $B$. Para isso, vamos aplicar dois métodos que podem ser úteis em situações distintas.

Método geral
Relembrando que dois polinômios são iguais se, e somente se, os coeficientes dos termos de mesma potência são iguais.

Sendo assim, ao observarmos a igualdade $(5)$, podemos igualar os coeficientes das potências semelhantes de $x$ em ambos os membros, montando um sistema linear de equações:
\begin{cases}
A&+&B&=&0\\
2A&-&2B&=&1
\end{cases}
Para resolver o sistema linear, podemos utilizar o método que nos for mais conveniente, como por exemplo por substituição, Chió, Castilho, Eliminação de Gauss (escalonamento).

Vamos usar o escalonamento para eliminar o termo $2A$ da segunda equação. Reescrevemos a segunda equação somando-a com a primeira multiplicada por $-2$. Assim:
\begin{cases}
A & + & B & = & 0\\
&-&4B & = & 1
\end{cases}
Da segunda equação, temos que:
\begin{equation*}
B = -\frac{1}{4}
\end{equation*}
Substituindo $B$ na primeira equação:
\begin{equation*}
A = \frac{1}{4}
\end{equation*}

Método abreviado
O método abreviado consiste em obter valores para $x$ que anulem os denominadores das frações parciais. Vamos observar as frações da relação $(1)$:
\begin{equation*}
\frac{A}{x-2} \quad \text{e} \quad \frac{B}{x+2}
\end{equation*}
Quais valores que, se atribuirmos a $x$, obteremos zero no denominador? Para a primeira fração, $x=2$ e para a segunda equação $x=-2$.

Agora, substituímos estes valores de $x$ na relação $(4)$:

Para $x=2$:
\begin{equation*}
1 = A(2+2) + B(2-2)\\
\ \\
1 = 4A\\
\ \\
A = \frac{1}{4}
\end{equation*}

Para $x=-2$:
\begin{equation*}
1 = A(-2+2) + B(-2-2)\\
\ \\
1 = -4B\\
\ \\
B = -\frac{1}{4}
\end{equation*}
Vejam que foram os mesmos valores obtidos pelo método geral, o que já era esperado, mas não deixa de ser reconfortante.

► Etapa 3: Reescrever e calcular a integral
Como já temos os valores das constantes $A$ e $B$, podemos reescrever a integral original como uma soma de frações parciais.
\begin{equation*}
I = \int \frac{dx}{x^2-4}\\
\ \\
I = \int \left( \frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{(x+2)} \right)dx\\
\ \\
I = \int \frac{1/4}{(x-2)}dx + \int \frac{(-1/4)}{(x+2)}dx\\
\ \\
I = \frac{1}{4} \int \frac{dx}{(x-2)} - \frac{1}{4} \int \frac{dx}{(x+2)}
\end{equation*}
Para resolver ambas as integrais, utilizamos o método da substituição de variável. Para a primeira integral, fazemos $u=x-2$ e $du=dx$ e para a segunda integral, fazemos $v=x+2$ e $dv=dx$. Assim:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{4} \int \frac{du}{u} - \frac{1}{4} \int \frac{dv}{v}\\
\ \\
I = \frac{1}{4} \ln |u| - \frac{1}{4} \ln |v| + C
\end{equation*}
Mas $u=x-2$ e $v=x+2$:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{4} \ln |x-2| - \frac{1}{4} ln |x+2| + C
\end{equation*}
ou ainda, pelas propriedades dos logaritmos:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{4} \ln \left| \frac{x-2}{x+2} \right| + C
\end{equation*}

Exemplo 2:

Calcular a integral abaixo utilizando o método de integração por frações parciais:
\begin{equation*}
I = \int \frac{x+1}{x^3+x^2-6x} dx
\end{equation*}

► Etapa 1: Fatorar o denominador
Iniciamos fatorando o denominador:
\begin{equation*}
x^3+x^2-6x = x(x-2)(x+3)
\end{equation*}
Agora, reescrevemos o integrando como uma soma de frações parciais:
\begin{equation*}
\frac{x+1}{x^3+x^2-6x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x+3}
\end{equation*}
onde $A$, $B$ e $C$ são constantes a determinar.

Calculamos o mínimo múltiplo comum dos denominadores, obtendo:
\begin{equation*}
x+1 = A(x-2)(x+3) + B(x)(x+3) + C(x)(x-2)\\
\ \\
x+1 = A(x^2+3x-2x-6) + B(x^2+3x) + C(x^2-2x)\\
\ \\
x+1 = Ax^2 + Ax - 6A + Bx^2 + 3Bx + Cx^2 - 2Cx\\
\ \\
x+1 = (A+B+C)x^2 + (A+3B-2C)x - 6A
\end{equation*}

► Etapa 2: Determinar as constantes
Vamos determinar as constantes utilizando o método geral e o abreviado.

■ Método geral
Com o método geral, igualamos os coeficientes das potências semelhantes de $x$ em ambos os membros, chegando a um sistema de equações:
\begin{cases}
&A & + & B & + & C & = & 0\\
&A & + & 3B & - & 2C & = & 1\\
-&6A & & & & & = &1
\end{cases}
Vamos utilizar o método da eliminação de Gauss para resolver este sistema. Começamos trocando as posições da primeira com a terceira incógnita, obtendo:
\begin{cases}
&C & + & B & + & A & = & 0\\
-&2C & + & 3B & + & A & = & 1\\
 & & & & -& 6A& = &1
\end{cases}
Caso exista alguma dúvida em como resolver sistemas pelo método de eliminação de Gauss, sugiro a leitura do artigo.

Vamos eliminar a incógnita $C$ da segunda equação. Multiplicamos a primeira equação por $2$ e somamos à segunda:
\begin{cases}
C & + & B & + & A & = & 0\\
 &  & 5B & + & 3A & = & 1\\
& & & -& 6A& = &1
\end{cases}
Da terceira equação, obtemos:
\begin{equation*}
A = -\frac{1}{6}
\end{equation*}
Substituindo na segunda equação, obtemos:
\begin{equation*}
5B + 3\left(-\frac{1}{6}\right) = 1\\
\ \\
5B - \frac{3}{6} = 1\\
\ \\
5B = 1 + \frac{1}{2}\\
\ \\
5B = \frac{3}{2}\\
\ \\
B = \frac{3}{10}
\end{equation*}
e finalmente substituímos na primeira equação:
\begin{equation*}
C + \frac{3}{10} - \frac{1}{6} = 0\\
\ \\
C + \frac{2}{15} = 0\\
\ \\
C = -\frac{2}{15}
\end{equation*}

Método abreviado
No método abreviado, devemos obter valores para $x$ que anulem os denominadores de frações parciais:
\begin{equation*}
\frac{A}{x} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x+3}
\end{equation*}
Neste caso, os valores para $x$ que anulam os denominadores são, respectivamente: $0$, $2$ e $-3$. Agora, substituímos estes valores na relação:
\begin{equation*}
x+1 = A(x-2)(x+3) + B(x)(x+3) + C(x)(x-2)
\end{equation*}
Para $x=0$:
\begin{equation*}
1 = -6A\\
\ \\
A = -\frac{1}{6}
\end{equation*}

Para $x=2$:
\begin{equation*}
3 = 10B\\
\ \\
B = \frac{3}{10}
\end{equation*}

Para $x=-3$:
\begin{equation*}
-2 = 15C\\
\ \\
C = -\frac{2}{15}
\end{equation*}

Que, confortavelmente, são os mesmo valores obtidos pelo método geral.

► Etapa 1: Reescrever e calcular a integral
Agora, podemos reescrever a integral original sob a forma de uma soma de frações parciais:
\begin{equation*}
I = \int \left( \frac{A}{x} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x+3} \right) dx\\
\ \\
I = \int \left( -\frac{1/6}{x} + \frac{3/10}{x-2} - \frac{2/15}{x+3} \right) dx \\
\ \\
I = -\frac{1}{6} \int \frac{dx}{x} + \frac{3}{10} \int \frac{dx}{x_2} - \frac{2}{15} \int \frac{dx}{x+3}
\end{equation*}
Resolvemos estas três integrais utilizando o método de integração por substituição de variável, fazendo $u=x-2$ e $du=dx$; e $v=x+3$ e $dv=dx$.
\begin{equation*}
I = -\frac{1}{6} \ln |x| + \frac{3}{10} \ln |u| - \frac{2}{15} \ln |v| + C\\
\ \\
I = -\frac{1}{6} \ln|x| + \frac{3}{10}|x-2| - \frac{2}{15} \ln |x+3| + C
\end{equation*}

Caso 2: Fatores lineares repetidos

Pode ocorrer de um fator linear do tipo $ax+b$ aparecer $n$ vezes no denominador de uma fração racional própria, o que corresponde a uma soma de $n$ frações parciais da forma:
\begin{equation*}
\frac{A}{(ax+b)} + \frac{B}{(ax+b)^2} + \frac{C}{(ax+b)^3} + \cdots
\end{equation*}
onde $A$, $B$, $C$, $\cdots$ são constantes a serem determinadas.

Exemplo 3:

Calcular a integral abaixo utilizando o método das frações parciais.
\begin{equation*}
I = \int \frac{3x+5}{x^3-x^2-x+1}dx
\end{equation*}
O primeiro passo é fatorar o denominador:
\begin{equation*}
x^3-x^2-x+1 = (x+1)(x-1)^2
\end{equation*}
Vejam que, neste caso, o fator que se repete é o $(x-1)$, pois $(x-1)^2 = (x-1)(x-1)$, de modo que podemos reescrever o integrando como:
\begin{equation*}
\frac{3x+5}{x^3-x^2-x+1} = \frac{3x+5}{(x+1)(x-1)^2}
\end{equation*}
Como o fator $(x-1)$ aparece duas vezes no denominador, as frações parciais serão:
\begin{equation*}
\frac{3x+5}{x^3-x^2-x+1} = \frac{A}{(x+1)} + \frac{B}{(x-1)} + \frac{C}{(x-1)^2} \tag{6}
\end{equation*}
onde $A$, $B$ e $C$ são as constantes a determinar.

Calculamos o mínimo múltiplo comum entre os denominadores do membro da direita da igualdade para que, depois, possamos eliminá-los:
\begin{equation*}
\frac{3x+5}{x^3-x^2-x+1} = \frac{A(x-1)^2 + B(x+1)(x-1) + C(x+1)}{(x+1)(x-1)^2}
\end{equation*}
E então:
\begin{equation*}
3x+5 = A(x-1)^2 + B(x+1)(x-1) + C(x+1) \tag{7}
\end{equation*}
Agora, aplicamos a propriedade distributiva para eliminarmos os parênteses, obtendo:
\begin{equation*}
3x+5 = Ax^2-2Ax+A+Bx^2-B+Cx+C
\end{equation*}
Agrupamos os termos semelhantes:
\begin{equation*}
3x+5 = (A+B)x^2 + (-2A+C)x + (A+B+C) \tag{8}
\end{equation*}
Para encontrarmos os valores das constantes $A$, $B$ e $C$, vamos utilizar o método geral e depois o abreviado.

■ Método geral
Iniciamos igualando os coeficiente das potências semelhantes de $x$ de ambos os membros da igualdade $(8)$, chegando ao sistema linear:
\begin{cases}
& A & + & B & &  & = & 0\\
- & 2A & & & + & C & = & 3\\
& A & - & B & + & C & = & 5
\end{cases}
Para resolver este sistema, vamos utilizar o método de eliminação de Gauss, trocando a primeira com a terceira linha e depois a primeira com a terceira coluna:
\begin{cases}
C & - & B & + & A & = & 5\\
 C & & & - & 2A & = & 3\\
  &  & B & + & A & = & 0
\end{cases}
Para eliminarmos a incógnita $C$ da segunda equação, multiplicamos a primeira por $-1$ e somamos à segunda:
\begin{cases}
C & - & B & + & A & = & 5\\
  & & B & - & 3A & = & -2\\
  &  & B & + & A & = & 0
\end{cases}
E para eliminarmos a incógnita $B$ da terceira equação, multiplicamos a segunda por $-1$ e somamos à terceira:
\begin{cases}
C & - & B & + & A & = & 5\\
  & & B & - & 3A & = & -2\\
  &  &  &  & 4A & = & 2
\end{cases}
Da terceira equação, obtemos:
\begin{equation*}
A = \frac{1}{2}
\end{equation*}
Substituindo na segunda equação, obtemos:
\begin{equation*}
B - 3\left(\frac{1}{2}\right) = -2\\
\ \\
B - \frac{3}{2} = -2\\
\ \\
B = -\frac{1}{2}
\end{equation*}
Substituindo na primeira equação, obtemos:
\begin{equation*}
C + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 5\\
\ \\
C = 4
\end{equation*}
■ Método abreviado
No método abreviado, devemos obter valores para $x$ que anulem os denominadores das frações parciais dada em $(6)$:
\begin{equation*}
\frac{A}{(x+1)} + \frac{B}{(x-1)} + \frac{C}{(x-1)^2}
\end{equation*}
Neste caso, os valores para $x$ que anulam os denominadores são $-1$ e $1$. substituindo estes valores na relação $(7)$:
\begin{equation*}
3x+5 = A(x-1)^2 + B(x+1)(x-1) + C(x+1)
\end{equation*}
Para $x=-1$:
\begin{equation*}
2 = 4A\\
\ \\
A = \frac{1}{2}
\end{equation*}

Para $x=1$:
\begin{equation*}
8 = 2C\\
\ \\
C = 4
\end{equation*}
Falta ainda determinar a constante $B$. Para isso, atribuímos qualquer valor para $x$ e substituímos os valores já determinados de $|$ e $C$. Vamos supor que $x=0$:
\begin{equation*}
5 = A - B + C\\
\ \\
5 = \frac{1}{2} - B + 4\\
\ \\
B = -\frac{1}{2}
\end{equation*}
Agora que confirmamos que as constantes $A$, $B$ e $C$ foram os mesmos valores obtidos pelos dois métodos, podemos, enfim, calcular a integral original:
\begin{equation*}
I = \int \left( \frac{A}{(x+1)} + \frac{B}{(x-1)} + \frac{C}{(x-1)^2}  \right)dx\\
\ \\
I = \int \left( \frac{1/2}{(x+1)} - \frac{1/2}{(x-1)} + \frac{4}{(x-1)^2}  \right)dx\\
\ \\
I = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x+1} - \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x-1} + 4 \int \frac{dx}{(x-1)^2}
\end{equation*}
Para resolver estas integrais, utilizando o método da substituição de variável. Para a primeira integral, fazemos $u=x+1$ e $du = dx$. Para a segunda integral, fazemos $v=x-1$ e $dv=dx$ e para a terceira equação, fazemos $t=x-1$ e $dt=dx$. Assim:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{2} \ln |u| - \frac{1}{2} |v| - \frac{4}{x-1} + C\\
\ \\
I = \frac{1}{2} \ln |x+1| - \frac{1}{2} \ln |x-1| - \frac{4}{x-1} + C
\end{equation*}

Exemplo 4:

Calcular a integral abaixo utilizando o método das frações parciais:
\begin{equation*}
I = \int \frac{x^4-x^3-3x^2-2x+2}{x^3+x^2-2x}dx
\end{equation*}
O integrando é composto por uma fração imprópria. Temos, então, que dividir os polinômios de modo a obter a soma de um polinômio por uma fração própria. Podemos efetuar a divisão de polinômios na chave:
\begin{matrix}
&x^4 - x^3 - 3x^2 - 2x + 2  \quad &|\underline{x^3+x^2-2x}\\
&\underline{-x^4-x^3+2x^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }  \ \ \ \ \ \  & x -2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\
&-2x^3-x^2-2x+2\ \  & \\
& \underline{2x^3+2x^2-4x\ \ \  \ \ \ \ } &\\
& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  x^2-6x+2 &
\end{matrix}
que é o mesmo que:
\begin{equation*}
\frac{x^4-x^3-3x^2-2x+2}{x^3+x^2-2x} = (x-2) + \frac{x^2-6x+2}{x^3+x^2-2x}
\end{equation*}
Agora, fatoramos o denominador da fração própria que aparece no membro da direita da igualdade acima:
\begin{equation*}
\frac{x^4-x^3-3x^2-2x+2}{x^3+x^2-2x} = (x-2) + \frac{x^2-6x+2}{x(x-1)(x-2)}
\end{equation*}
E o escrevemos sob a forma de uma soma de frações parciais:
\begin{equation*}
\frac{x^2-6x+2}{x^3+x^2-2x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+2} \tag{9}
\end{equation*}
Calculamos o mínimo múltiplo comum:
\begin{equation*}
x^2-6x+2 = A(x-1)(x+2) + B(x)(x+2) + C(x)(x-1) \tag{10}
\end{equation*}
Aplicando a distributiva e agrupando os termos semelhantes, obtemos:
\begin{equation*}
x^2-6x+2 = (A+B+C)x^2 + (A+2B-C)x - 2A
\end{equation*}
Vamos utilizar os métodos geral e abreviado para encontrarmos os valores das constantes $A$, $B$ e $C$.

■ Método geral
Igualando os coeficientes das potências semelhantes de $x$ de ambos os membros da igualdade:
\begin{cases}
& A & + & B & + & C & = & 1\\
& A & + & 2B & - & C & = & -6\\
-& 2A & & & & & = &2
\end{cases}
Trocamos a primeira pela terceira colunas:
\begin{cases}
& C & + & B & + & A & = & 1\\
-& C & + & 2B & + & A & = & -6\\
&  & & &- & 2A & = &2
\end{cases}
Somamos a segunda com a primeira linha:
\begin{cases}
& C & + & B & + & A & = & 1\\
&  & + & 3B & + & 2A & = & -5\\
&  & & &- & 2A & = &2
\end{cases}
Da terceira equação, temos:
\begin{equation*}
A = -1
\end{equation*}
Substituindo na segunda equação:
\begin{equation*}
3B - 2 = -5\\
\ \\
B = -1
\end{equation*}
Substituindo na primeira equação:
\begin{equation*}
C - 1 - 1 = 1\\
\ \\
C = 3
\end{equation*}

■ Método abreviado
Devemos encontrar valores para $x$ que anulem os denominadores da relação $(9)$:
\begin{equation*}
\frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+2}
\end{equation*}
Os valores para $x$ que anulam os denominadores são $0$, $1$ e $-2$. Substituímos estes valores na relação $(10)$, obtendo:

Para $x=0$:
\begin{equation*}
-2A = 2\\
\ \\
A = -1
\end{equation*}
Para $x=1$:
\begin{equation*}
3B = -3\\
\ \\
B = -1
\end{equation*}
Para $x=-2$:
\begin{equation*}
6C = 18\\
\ \\
C = 3
\end{equation*}
Encontrando os mesmos valores calculados pelo método geral.

Agora, podemos reescrever a integral original com o integrando sendo uma soma de frações parciais:
\begin{equation*}
I = \int (x-2)dx + \int \left( \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+2} \right) dx\\
\ \\
I = \int (x-2)dx + \int \left( -\frac{1}{x} - \frac{1}{x-1} + \frac{3}{x+2} \right) dx\\
\ \\
I = \int (x-2)dx -\int \frac{dx}{x} - \int \frac{dx}{x-1} + 3\int \frac{dx}{x+2}\\
\ \\
I = \frac{x^2}{2}-2x - \ln |x| - \ln |x-1| + 3 \ln |x+2| + C
\end{equation*}

Exercícios:

Tente resolver estas integrais utilizando os métodos ensinados acima:
$a)$ $\displaystyle \int \frac{x-1}{x^3-x^2-2x}dx$

$b)$ $\displaystyle \int \frac{x^3+3x-1}{x^4 - 4x^2}dx$

$c)$ $\displaystyle \int \frac{2x^3}{x^2+x}dx$

$d)$ $\displaystyle \int \frac{x-1}{x^3+x^2-4x-4}dx$


Referências:

  • Cálculo Diferencial e Integral – Frank Ayres Jr – Coleção Schaum
  • Cálculo II – Abílio Souza Costa Neto – FTC EAD 
  • Notas de aula

Links para este artigo:


Veja mais:

Siga também o blog pelo canal no Telegram.

Compartilhe esse artigo:



Achou algum link quebrado? Por favor, entre em contato para reportar o erro.
Leia a política de moderação do blog. Para escrever em $\LaTeX$ nos comentários, saiba mais em latex.obaricentrodamente.com.

51 comentários:

  1. Acho que falta uma coisa nesse post.
    A função $\ln{x}$ é definida para $x\in\mathbb{R}_{+}^*$. De modo que
    $\displaystyle\int\dfrac{dx}{x}=\ln{x}$
    , se $x>0$. Me lembro de ver em um livro que
    $\displaystyle\int\dfrac{dx}{x}=\ln{|x|}$
    Assim cobrimos todos os casos, já que o gráfico de $f(x)=\ln{|x|}$ é simétrico em relação ao eixo $Oy$, isso significa que $f^{\prime}(x)=-f^{\prime}(-x)$ para todo $x>0$.
    Para o primeiro exemplo acredito que
    $\displaystyle\int\dfrac{dx}{x^2-4}=\dfrac{1}{4}\ln\left|\dfrac{x-2}{x+2}\right|+C$ está mais correto por cobrir todos os casos.

    ResponderExcluir
  2. Pedro Cunha15/01/2013 09:57

    Obrigado por partilhar, ajudou me muito, em menos de meia hora já estou a conseguir integrar...
    Pedro Cunha

    ResponderExcluir
  3. Que bom que lhe foi útil. Um abraço e volte sempre!

    ResponderExcluir
  4. Olá, Professor!

    Se o grau do polinômio do denominador for maior que 4, o que se faz?

    Abraço.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Evica Martins11/09/2014 07:43

      Como resolvo este exercicio: integral de de 3x+1\x(x-1)(x+1)dx

      Excluir
    2. Evica, veja a resolução:

      Seja a integral:
      \begin{aligned}
      I=\int \frac{3x+1}{x(x+1)(x-1)} dx
      \end{aligned}
      Para resolvermos utilizando o método das frações parciais, fazemos:
      \begin{aligned}
      \frac{3x+1}{x(x+1)(x-1)} =\frac{A_1}{x}+\frac{A_2}{(x-1)}+\frac{A_3}{(x+1)}
      \end{aligned}
      Usando o método abreviado, os valores atribuídos a $x$ que anulam as frações parciais são:

      Para $x=0$: $A_1=-1$
      Para $x=1$: $A_2=2$
      Para $x=-1$: $A_3=-1$

      Substituindo estes valores, obtemos:
      \begin{aligned}
      I&=\int\left( -\frac{1}{x}+\frac{2}{(x-1)}-\frac{1}{(x+1)} \right)dx\\
      &=\int\left( -\frac{1}{x}-\frac{1}{(x+1)}+\frac{2}{(x-1)} \right)dx\\
      &=-\int\frac{1}{x}dx-\int\frac{1}{x+1}dx+2\int\frac{1}{x-1}dx
      \end{aligned}
      Para o integrando $1/x+1$, fazemos a substituição $u=x+1$ e $du=dx$. E para o integrando $1/x-1$, fazemos $v=x-1$ e $dv=dx$:
      \begin{aligned}
      I&=-\ln (x)-\int\frac{1}{u}du+2\int\frac{1}{v}dv\\
      &=-\ln(x)-\ln(u)+2\ln(v)+C\\
      &=-\ln(x)-\ln(x+1)+2\ln(x-1)+C
      \end{aligned}

      Espero ter ajudado.

      Abraços.


      Excluir
  5. Olá Ítalo,

    Bem, devemos analisar o quociente. Talvez dê para fatorar e simplificar, ou mesmo ter que resolver por outros meios. Isso vai depender dos termos envolvidos e de nossa percepção.

    Um abraço!

    ResponderExcluir
  6. Bom dia, professor.
    Como se calcula a integral no caso geral se tenho raizes multiplas complexas e termo de grau 0 no numerador. O caso mais simples deste caso é, ja fatorizado:

    1/(1+x^2)^2

    Como se integra?

    Marcus

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Marcus, aí vc tem que inverte a fração (x^2 +1)-2, aí integra normalmente (x^2+1)-2+1/(-2+1) = ((x^2+1)^-1)/-1 = - 1/(x^2+1).

      Excluir
  7. amo as sua explicaçoes elas sao completissimas, valeu me ajudou muito pra a minha prova. obrigado

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá, que bom que este artigo lhe foi útil.

      Volte sempre.

      Excluir
  8. E quando eu tenho denominador de grau 3, de modo que não haja decomposição?
    Exemplo: integral de x^4+8x^3-x^2+2x+1/ (x^2+x)(x^3+1)

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá SteeH. Inicialmente, veja esta resolução:

      http://img842.imageshack.us/img842/9241/hc29.png

      Vou tentar deixar mais didático.

      Obrigado e um abraço.

      Excluir
  9. Bom dia professores me ajudem a resolver esses dois exercícios porque estou com duvidas , sou estudante cabo verdiano na UniCV
    desde já um muito obrigado 1- Calcula a seguinte primitiva ∫ x ln (√(1+x^2 )) dx

    2- Indique expressão que permite calcular a área da região do plano limitado pelas curvas y=e^x ; y=e^(-x) e y=e^2.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Eu acho que isso não tem resolução analítica. Devem ser aplicados métodos numéricos de resolução, como quadratura de Legendre, 3/8 ou 1/3 de simpson, regra dos trapézios compostos...


      Alex Chacon

      Excluir
  10. Prof., Como ficaria esta integral
    dx/x^2-6x+8

    ResponderExcluir
  11. Seja a integral:
    $$I = \int \frac{dx}{x^2-6x+8}$$
    Fazemos:
    $$x^2-6x+8=(x-4)(x-2)$$. Assim:
    $$I = \int \frac{dx}{(x-4)(x-2)}$$
    Usando o caso 1 - Fatores Lineares Distintos:
    \begin{equation}
    \frac{1}{x^2-6x+8}=\frac{A}{(x-4)}+\frac{B}{(x-2)}
    \end{equation}
    E então:
    \begin{equation}
    1=A(x-2)+B(x-4)
    \end{equation}
    Observando em (1) os denominadores das frações parciais, os valores atribuídos a $x$ para que anulem os denominadores dessas frações são $x=4$ e $x=2$, respectivamente. Agora, substituímos esses valores em (2):

    Para $x=4$:
    $$1=A(4-2)+B(4-4) \Rightarrow 1=2A \Rightarrow A=1/2$$

    Para $x=2$:
    $$1=A(2-2)+B(2-4) \Rightarrow 1=-2B \Rightarrow B=- 1/2$$

    Agora reescrevemos a integral $I$ como:
    $$I = \int \frac{dx}{x^2-6x+8} = \int \left [\frac{1/2}{(x-4)} - \frac{1/2}{(x-2)} \right ] dx$$
    $$I = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x-4} - \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x-2}$$
    $$I = \frac{1}{2} \ln (x-4) - \frac{1}{2} \ln (x-2) + C$$
    $$I = \frac{1}{2} \left (\ln(x-4) - \ln(x-2) \right ) + C$$
    $$I = \frac{1}{2} \ln \left(\frac{x-4}{x-2} \right ) + C$$

    Espero ter ajudado.

    Abraços.

    ResponderExcluir
  12. Solução por frações parciais da integral 1/(x^2-1)^2

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Demorou mas saiu. Veja a resolução: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2014/07/resolucao-da-integral-displaystyle-int.html

      Excluir
  13. obrigado por esse método de abreviado me ajudou muito...

    ResponderExcluir
  14. Professor, como resolvo esta integral?int dx / x(x-1)² ?
    Tentei pelo quarto caso, dos fatores lineáres e quadráticos repetidos.
    Porém nao consigo resolver o sistema..

    ResponderExcluir
  15. Professor, como resolvo esta integral? int. cos(2x)cos(x)dx e int. sen(3x) sen(5x)dx

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá. Envie-me um email para te mandae as resoluções.

      kleberkilhian@gmail.com

      Abraços.

      Excluir
  16. professor como ficam as integrais a seguir
    x dx/1-x

    1-2x dx/2x²

    4x² + 3x + 1 dx / -4x³ -4x² -4x -4

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Diogo, respondi o e-mail que você me enviou com as respostas.

      Excluir
    2. 4x² + 3x + 1 dx / -4x³ -4x² -4x -4

      Excluir
    3. A resposta é:
      $$-\frac{3}{8}\ln(x^2+1)-\frac{1}{4}\ln(x+1)+C$$

      Abraços.

      Excluir
  17. Como resolvemos esse integral por frações parciais :
    1/(x-5)²(x-1)

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Veja a resolução nos links:
      https://www.dropbox.com/s/6crqi2shzkufget/2015-05-20%2020.49.20.jpg?dl=0

      https://www.dropbox.com/s/03tpvqccwm4u460/2015-05-20%2020.49.31.jpg?dl=0

      Abraços.

      Excluir
  18. Boa tarde !!
    Preciso da resolução através da técnica de integração de funções racionais
    a) ∫ dx/ x^4 + x^2

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá, dê uma olhada neste link:
      http://maxima.sourceforge.net/docs/tutorial/en/gaertner-tutorial-revision/Pages/StepwisePF0001.htm

      Excluir
    2. Veja a resolução no link: https://goo.gl/photos/W11zS8StavcbD3iV9

      Excluir
  19. Como ficou as resoluções dos exercícios de casa?

    ResponderExcluir
  20. Poderia me ajudar com um exemplo aplicado de integral por frações parciais! Agradeço desde já!

    ResponderExcluir
  21. Qual seria a integral de 0 a 0,8 de ∫(1+3X)/(1-x)^2?

    ResponderExcluir
  22. https://goo.gl/photos/TMs59vhZ7QvY1cLd6
    Veja a resolução nesta imagem


    ResponderExcluir
  23. Método Abreviado não vi na faculdade, mas realmente parece muito mais fácil, não tenho certeza pois não apliquei em todos os tipos possíveis mas parece deixar menos margem para erro do que um sistema igualado aos coeficientes que acompanham a variável. O único probleminha é no caso da regra do fator linear, mas nada que um lembrete não salve, né? haha. Muito obrigado.

    ResponderExcluir
  24. Tenho duvida neste caso:
    integral dx/(1+x^9).
    me ajudem please

    ResponderExcluir
  25. Professor me ajuda, como resolve essa integral: (-3x+1)/x^2+1

    ResponderExcluir
  26. Por favor, como resolvo a integral indefinida: ln(x^2+5*x+6) ? Muito obrigada.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Veja a resolução

      https://goo.gl/photos/dhVZQHiHMoSg8br86



      Excluir
  27. Professor! Gostaria de saber o desenvolvimento da letra D dos exercícios de casa. Obrigado desde já!

    ResponderExcluir
  28. Como resolvo a integral dx/1+senx+cosx?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Veja uma possível resolução:
      https://drive.google.com/file/d/103KTXT841KjO9POX2dTgsQkn-uFu-mM9/view?usp=drivesdk

      Excluir

Whatsapp Button works on Mobile Device only

Pesquise no blog