Resolução da integral $\displaystyle \int \cos^2(x)\ dx$

Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?

Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.

Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica.

Neste artigo, vamos demonstrar que:

\begin{equation*}
\int \cos^2(x)\ dx = \frac{1}{2}\big( x + \text{sen}(x)\ \cos(x) \big) + C
\end{equation*}

Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \cos^2(x)\ dx
\end{equation*}

Iniciamos lembrando da identidade trigonométrica:

\begin{equation*}
\cos^2 (x) = \frac{1}{2}\ \big( 1 + \cos(2x)\big)
\end{equation*}

Substituindo na integral, obtemos:

\begin{equation*}
I = \frac{1}{2}\ \int \big( 1 + \cos(2x) \big)\ dx\\
\ \\
I = \frac{1}{2} \int \ dx + \frac{1}{2} \int \cos(2x)\ dx
\end{equation*}

A primeira integral é trivial e para a segunda integral, utilizamos o método de integração por substituição, fazendo $u = 2x$. Assim, $du = 2\ dx$ e $\displaystyle dx = \frac{1}{2}\ du$:

\begin{equation*}
I = \frac{1}{2}\ x + \frac{1}{4} \int \cos(u)\ du\\
\ \\
I = \frac{1}{2}\ x + \frac{1}{4}\ \text{sen}(u) + C
\end{equation*}
Mas, $u = 2x$, assim:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{2}\ x + \frac{1}{4}\ \text{sen}(2x) + C
\end{equation*}
Da função arco duplo, temos que:
\begin{equation*}
\text{sen}(2x) = 2\ \text{sen}(x)\ \cos(x)
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{2}\ x + \frac{1}{2} \ \text{sen}(x)\ \cos(x) + C
\end{equation*}

Exemplo 1:

Vamos determinar a área sombreada sob a curva $f(x) = \cos^2 (x)$ no intervalo $\displaystyle \left[ \frac{\pi}{2} , \frac{3\pi}{2}\right]$, como mostrado na imagem acima.

Para esta resolução, utilizamos o conceito de integral definida:

\begin{equation*}
A = \int_{\pi / 2}^{1\pi / 2} \cos^2(x)\ dx
\end{equation*}

Utilizando o resultado da demonstração anterior, fazemos:

\begin{equation*}
A = \Bigg[ \frac{1}{2}\ x + \frac{1}{2}\ \text{sen}(x)\ \cos(x) \Bigg]_{\pi/2}^{3\pi/2}\\
\ \\
A = \frac{1}{2}\Bigg[ x + \text{sen}(x)\ \cos(x)  \Bigg]_{\pi/2}^{3\pi/2}\\
\ \\
A = \frac{1}{2} \Bigg[ \Bigg( \frac{3\pi}{2} + \text{sen}\Big(\frac{3\pi}{2}\Big) \cos \Big(\frac{3\pi}{2}\Big) \Bigg) - \Bigg( \frac{\pi}{2} + \text{sen}\Big(\frac{\pi}{2}\Big) \cos\Big(\frac{\pi}{2}\Big)\Bigg) \Bigg]\\
\ \\
A = \frac{1}{2} \Bigg[ \left(\frac{3\pi}{2}-1\cdot 0\right) - \left(\frac{\pi}{2}+1\cdot 0\right)  \Bigg]\\
\ \\
A = \frac{1}{2} \left( \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2} \right)\\
\ \\
A = \frac{1}{2} \cdot \pi\\
\ \\
A = \frac{\pi}{2}\ u.a.
\end{equation*}

Assim, a área sombreada vale $\pi /2 \approx 1,57$ unidades de área.

Links para este artigo:

http://bit.ly/integral-cos2x
ttps://www.obaricentrodamente.com/2012/06/integral-de-cos2x.html

Veja mais:

Método de integração por partes
Método de integração por substituição
Método de integração por frações parciais
Lista de integrais resolvidas