02/06/2012

Resolução da integral $\displaystyle \int \cos^2(x)\ dx$

Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?

Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.

Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica.

Neste artigo, vamos demonstrar que:
\begin{equation*}
\int \cos^2(x)\ dx = \frac{1}{2}\big( x + \text{sen}(x)\ \cos(x) \big) + C
\end{equation*}


Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \cos^2(x)\ dx
\end{equation*}
Iniciamos lembrando da identidade trigonométrica:
\begin{equation*}
\cos^2 (x) = \frac{1}{2}\ \big( 1 + \cos(2x)\big)
\end{equation*}
Substituindo na integral, obtemos:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{2}\ \int \big( 1 + \cos(2x) \big)\ dx\\
\ \\
I = \frac{1}{2} \int \ dx + \frac{1}{2} \int \cos(2x)\ dx
\end{equation*}
A primeira integral é trivial e para a segunda integral, utilizamos o método de integração por substituição, fazendo $u = 2x$. Assim, $du = 2\ dx$ e $\displaystyle dx = \frac{1}{2}\ du$:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{2}\ x + \frac{1}{4} \int \cos(u)\ du\\
\ \\
I = \frac{1}{2}\ x + \frac{1}{4}\ \text{sen}(u) + C
\end{equation*}
Mas, $u = 2x$, assim:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{2}\ x + \frac{1}{4}\ \text{sen}(2x) + C
\end{equation*}
Da função arco duplo, temos que:
\begin{equation*}
\text{sen}(2x) = 2\ \text{sen}(x)\ \cos(x)
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{2}\ x + \frac{1}{2} \ \text{sen}(x)\ \cos(x) + C
\end{equation*}

Exemplo 1:

Vamos determinar a área sombreada sob a curva $f(x) = \cos^2 (x)$ no intervalo $\displaystyle \left[ \frac{\pi}{2} , \frac{3\pi}{2}\right]$, como mostrado na imagem acima.

Para esta resolução, utilizamos o conceito de integral definida:
\begin{equation*}
A = \int_{\pi / 2}^{1\pi / 2} \cos^2(x)\ dx
\end{equation*}
Utilizando o resultado da demonstração anterior, fazemos:
\begin{equation*}
A = \Bigg[ \frac{1}{2}\ x + \frac{1}{2}\ \text{sen}(x)\ \cos(x) \Bigg]_{\pi/2}^{3\pi/2}\\
\ \\
A = \frac{1}{2}\Bigg[ x + \text{sen}(x)\ \cos(x)  \Bigg]_{\pi/2}^{3\pi/2}\\
\ \\
A = \frac{1}{2} \Bigg[ \Bigg( \frac{3\pi}{2} + \text{sen}\Big(\frac{3\pi}{2}\Big) \cos \Big(\frac{3\pi}{2}\Big) \Bigg) - \Bigg( \frac{\pi}{2} + \text{sen}\Big(\frac{\pi}{2}\Big) \cos\Big(\frac{\pi}{2}\Big)\Bigg) \Bigg]\\
\ \\
A = \frac{1}{2} \Bigg[ \left(\frac{3\pi}{2}-1\cdot 0\right) - \left(\frac{\pi}{2}+1\cdot 0\right)  \Bigg]\\
\ \\
A = \frac{1}{2} \left( \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2} \right)\\
\ \\
A = \frac{1}{2} \cdot \pi\\
\ \\
A = \frac{\pi}{2}\ u.a.
\end{equation*}
Assim, a área sombreada vale $\pi /2 \approx 1,57$ unidades de área.

Links para este artigo:

http://bit.ly/integral-cos2x
ttps://www.obaricentrodamente.com/2012/06/integral-de-cos2x.html

Veja mais:

Método de integração por partes
Método de integração por substituição
Método de integração por frações parciais
Lista de integrais resolvidas
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10 comentários:

  1. Muito bom o post Kleber, pois em várias situações temos que usar a integral de cosseno de x ao quadrado. Obrigado pela citação do link.

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  2. Obrigado Paulo. Esta integral surgiu durante os cálculos do volume do ovo modelo 2 que estávamos fazendo juntos. Achei que seria uma boa para outras pessoas.

    Obrigado pelo comentário. Um abraço!

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  3. Oi, Kleber!

    Excelente! E o interessante é que a área hachurada é a mesma área sob o gráfico de [;y=sen^2(x);] nos limites [;x=0;] e [;x=\pi;].

    Valeu!

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  4. Eu estou estudando cálculo e apesar de ainda não ter tido nenhuma aula sobre integral, eu resolvi ler um um pouco sobre o assunto. Percebi que a integração é complicada em vários casos e que alguns exigem artifícios de cálculo, já que a integral de uma função nem sempre é evidente.
    Esta postagem me mostrou uma forma de integrar que agora fará parte do meu "arsenal". Uma primeira impressão sobre esse poste é que ele sugere que usemos identidades trigonométricas para escrever funções em formas mais fáceis de integrar.
    Sendo a integração um processo evidentemente mais complicado, ter um bom "arsenal" é essencial.

    Valeu.

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  5. Eu descobri esse blog procurando uma demonstração da derivada da função produto.
    Como estamos falando de cálculo gostaria de sugerir um post sobre a demonstração da derivada da função $y=f(x)^{g(x)}$.

    Se puder, fica a sugestão.

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  6. Olá Francehelder,

    No caso de integrações, que não são triviais, existem algumas técnicas, como a integração por substituição, que foi o caso deste artigo, integração por partes, substituições trigonométricas, integração por frações parciais.

    As identidades ajudam a minimizar o trabalho, mas nem sempre usar uma identidade trigonométrica transforma integral original numa mais simples. É o caso de tentar e ver no que dá. Aos poucos vai-se pegando o jeito.

    O legal é pegar tabelas de integrais já prontas, isso ajuda nos exercícios diários. Se conseguir demonstrá-las... ótimo! Isso mostra que realemnte aprendeu.

    Tem bons livros de cálculo diferencial e integral com linguagens da mais didática à mais técnica. Dê uma pesquisada na biblioteca da faculdade e veja qual linguagem te agrada mais. Se possível, adquira o livro.

    Sobre sua sugestão, vou pesquisar.

    Obrigado pelo comentário e um abraço!

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  7. Eu falei dessa demonstração por que não encontrei muita coisa sobre ela e não tinha conseguido demonstrá-la. Eu já faço demonstrações a algum tempo, mesmo assim ao tentar demonstrá-la pela primeira vez eu tive um certo medo da fórmula. Me assustei com ela. Esqueci de olhar o problema como outro qualquer e isso atrapalhou. Depois de sugerir um post com a demonstração, eu tentei fazê-la novamente e vou coloca-la aqui:
    Considerando a função $y=f(x)^{g(x)}$, para encontrar sua derivada, usarei um artifício que vi minha professora usando na aula do cálculo: escrever a função na forma $y=e^{g(x)\ln{f(x)}}$.
    Com isso, podemos derivar a função usando a regra da cadeia:
    $y'=[e^{g(x)\ln{f(x)}}]'$
    $y'=e^{g(x)\ln{f(x)}}\cdot[g(x)\ln{f(x)}]'$
    $y'=e^{g(x)\ln{f(x)}}\cdot[g'(x)\ln{f(x)}+g(x)(\ln{f(x)})']$
    $y'=e^{g(x)\ln{f(x)}}\cdot[g'(x)\ln{f(x)}+g(x)\cdot\dfrac{1}{f(x)}\cdot f'(x)]$
    $y'=e^{g(x)\ln{f(x)}}\cdot\left[g'(x)\ln{f(x)}+g(x)\cdot\dfrac{f'(x)}{f(x)}\cdot\right]$
    $y'=f(x)^{g(x)}\cdot\left[g'(x)\ln{f(x)}+g(x)\cdot\dfrac{f'(x)}{f(x)}\right]$

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    Respostas
    1. Esta que você acabou de fazer é a demonstração contida no livro de cálculo do Guidorizzi.

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  8. Também não tinha visto essa demonstração. Pelo pouco que vi, usam artifícios e a regra da cadeia para demonstrá-la. Encontrei uma demonstração, mas está meio obscura ainda. Vou tentar entender melhor e depois vejo se posto aqui.

    Obrigado pela contribuição e um abraço.

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  9. Obrigado por passar conhecimento.

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