As Reações de Girard para cúbicas relacionam os coeficientes de uma equação polinomial com a soma das raízes, a soma dos produtos dois a dois e o produto de suas raízes, sem precisar resolvê-las explicitamente. Veremos como aplicar essas relações em equações cúbicas.
1. Introdução sobre equações de terceiro grau
Uma equação de terceiro grau (também chamada de cúbica), pode ser expressa como:
$$ax^3+bx^2+cx+d=0 \tag{1}
$$
onde:
- $a$, $b$, $c$ e $d$ são coeficientes reais (ou complexos, em casos mais gerais)
- $a\neq 0$ (para garantir que a equação seja cúbica)
- $x$ é a variável
Sejam $x_1$, $x_2$ e $x_3$ as três raízes complexas (não necessariamente distintas) da equação cúbica.
Se dividirmos ambos os membros da equação por $a$, transformamos a cúbica em sua forma mônica, ou seja, com o coeficiente do termo de maior grau igual a 1:
$$x^3 + \frac{b}{a}x^2 + \frac{c}{a}x + \frac{d}{a} = 0
$$
Obtendo:
$$x^3 + Sx^2 + Px + Q = 0 \tag{2}
$$
onde:
- $S=\cfrac{b}{a}$
- $P=\cfrac{c}{a}$
- $Q=\cfrac{d}{a}$
2. As Relações de Girar para uma equação cúbica
Dada uma equação cúbica da forma:
$$x^3 + Sx^2 + Px + Q = 0
$$
que possui raízes $x_1$, $x_2$ e $x_3$. As Relações de Girard estabelecem que:
a) A soma das raízes é dada por:
$$x_1+x_2+x_3 = -S = -\cfrac{b}{a}
$$
b) A soma dos produtos dois a dois é dada por:
$$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = P=\cfrac{c}{a}
$$
c) O produto das raízes é dado por:
$$x_1 x_2 x_3 = -Q=-\cfrac{d}{a}
$$
3. Demonstração
As Relações de Girard para cúbicas podem ser obtidas diretamente da expansão do produto:
$$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)= \\
x^3 - (x_1+x_2+x_3)x^2 + \\
(x_1x_2 + x_1x_3 +x_2x_3)x -\\
x_1x_2x_3
$$
Comparando com a equação $(2)$, obtemos as três Relações de Girard para cúbicas.
Podemos expressar a equação em sua forma fatorada:
$$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) = 0
$$
Vamos expandir esse produto aplicando a propriedade distributiva de forma separada par melhor disposição.
1º passo: Multiplicar os dois primiros fatores:
$$(x-x_1)(x-x_2)=\\ x^2 - x\ x_1 - x\ x_2 + x_1x_2=\\
x^2- (x_1+x_2)x + x_1x_2
$$
2º passo: Multiplicar o produto dos dois primeiros fatores pelo terceiro
$$\big(x^2-(x_1+x_2)x + x_1x_2\big)(x-x_3)= \\
\ \\
x^3 - x^2x_3 - (x_1+x_2)x^2 + (x_1+x_2)x_3x +\\
x_1x_2x - x_1x_2x_3\\
\ \\
= x^3 -(x_1+x_2+x_3)x^2 +\\
(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x-\\
x_1x_2x_3
$$
3º passo: Multiplicar cada termo por $a$:
$$ax^3 - a(x_1+x_2+x_3)x^2\\
+a(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x\\
-a(x_1x_2x_3) = 0
$$
Comparando termo a termo com a equação $(1)$, obtemos:
- $b = -a(x_1+x_2+x_3)$
- $c = a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)$
- $d = -a(x_1x_2x_3)$
Dividindo ambos os membro por $a$, obtemos:
\begin{cases}x_1+x_2+x_3 = -\cfrac{b}{a}\\
x_1\ x_2+x_1\ x_3+x_2\ x_3 = \cfrac{c}{a}\\
x_1\ x_2\ x_3=-\cfrac{d}{a}
\end{cases}
Exemplo 1:
Dada a equação $x^3-6x^2+11x-6=0$, vamos encontrar as Relações de Girard.
Identificamos os coeficientes:
- $a=1$
- $b=-6$
- $c=11$
- $d=-6$
Aplicamos as Relações de Girard para:
a) A soma das raízes:
$$x_1+x_2+x_3 = -\frac{b}{a} = -\frac{(-6)}{1}=6
$$
b) A soma dos produtos dois a dois:
$$x_1x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a} = \frac{11}{1} = 11
$$
c) O produto das raízes:
$$x_1\ x_2\ x_3 = -\frac{d}{a} = -\frac{(-6)}{1} = 6
$$
Exemplo 2:
Dada a equação $x^3-x^2+x-1=0$, vamos encontrar as Relações de Girard.
Identificamos os coeficientes:
- $a=1$
- $b=-1$
- $c=1$
- $d=-1$
Aplicamos as Relações de Girard para:
a) A soma das raízes:
$$x_1+x_2+x_3 = -\frac{b}{a} = -\frac{(-1)}{1}=1
$$
b) A soma dos produtos dois a dois:
$$x_1x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1
$$
c) O produto das raízes:
$$x_1\ x_2\ x_3 = -\frac{d}{a} = -\frac{(-1)}{1} = 1
$$
4. Recuperando uma raiz faltante
Se tivermos apenas duas das três raízes de uma equação cúbica, podemos aplicar as Relações de Girard para recuperar a terceira raiz.
Exemplo 3:
Dada a equação $x^3-6x^2+11x-6=0$, com duas raízes iguais a $x_1=1$ e $x_2=2$, vamos encontrar a terceira raiz.
Como a equação já está em sua forma mônica, temos $a=1$, $b=-6$, $c=11$ e $d=-6$. Podemos substituir os coeficientes em quaisquer das três relações de Girard para obtermos a terceira raiz:
a) A soma das raízes:
$$x_1+x_2+x_3 = -\frac{b}{a}\\
\ \\
1+2+x_3=-\frac{(-6)}{1}\\
\ \\ x_3 = 3
$$
b) A soma dos produtos dois a dois:
$$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}\\
\ \\
1\cdot 2 + 1\cdot x_3 + 2\cdot x_3 = \frac{11}{1}\\
\ \\
2+x_3+2x_3 = 11\\
\ \\
x_3 = 3
$$
c) O produto das raízes:
$$x_1\ x_2\ x_3 = -\frac{d}{a}\\
\ \\
1\cdot 2 \cdot x_3 = -\frac{(-6)}{1}\\
\ \\
2x_3 = 6\\
\ \\
x_3=3
$$
Desta forma, a raiz faltante é $x_3 = 3$.
5. Determinar a equação a partir das relações de Girard
Pode ocorrer em alguns casos de conhecermos as raízes e precisarmos encontrar a equação polinomial que as possui como soluções.
Utilizando as Relações de Girard, podemos recriar rapidamente a equação cúbica.
Exemplo 4:
Sejam $x_1=1$, $x_2=2$ e $x_3=3$ as raízes de uma equação cúbica. Vamos encontrar a equação que as tem como solução.
Utilizando as três relações, podemos encontrar os coeficientes da equação em sua forma mônica, ou seja $a=1$. Assim temos que:
a) A soma das raízes:
$$x_1+x_2+3 = -b\\
\ \\
6=-b
\ \\ b=-6
$$
b) A soma dos produtos dois a dois:
$$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = c\\
\ \\
1\cdot 2 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3 = c\\
\ \\
2+3+6=c\\
\ \\
c = 11
$$
c) O produto das raízes:
$$x_1\ x_2\ x_3 = -d\\
\ \\
1\cdot 2 \cdot 3 = -d\\
\ \\
d=-6
$$
Encontramos os coeficiente $a=1$, $b=-6$, $c=11$ e $d=-6$. Assim, a cúbica é:
$$x^3 - 6x^2 + 11x -6 = 0
$$
Referências:
- Fundamentos de Matemática Elementar V6 - Complexos, Polinômios, Equações - Gelson Iezzi
- Matemática: Contexto e Aplicações V2 - Dante
- O Cálculo com Geometria Analítica V1 - Leithold
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