Resolvendo Equações Quadráticas pelo Método Geométrico de Descartes

Descartes, no livro $I$ de sua obra La Géométrie, se preocupou com problemas geométricos onde a equação final só pode conter uma quantidade desconhecida. Ele observou que era o grau dessa equação algébrica resultante que determinava os instrumentos geométricos pelo qual a construção pedida podia ser realizada.

Descartes desenvolveu um método para resolver equações quadráticas, não no sentido algébrico como os antigos babilônios faziam, mas no sentido geométrico. Seu método permitia resolver equações do tipo:
\begin{equation*}
x^2 \pm bx-c^2=0
\end{equation*}
Por exemplo, para resolver uma equação do tipo $x^2 \pm bx – c^2 = 0$, Descartes procedia assim:

$1)$ Trace um segmento $AB$ de comprimento igual a $c$;

$2)$ Por $B$, levante um segmento $BO$ igual a $b/2$ que seja perpendicular a $AB$;

$3)$ Com centro em $O$, descreva uma circunferência que passe por $B$ e trace a reta que passa por $A$ e $O$ que corta a circunferência em $C$ e $D$;

$4)$ Se:

     $a)$ $b$ for positivo, então o segmento $AC = x$ é o segmento desejado;
     $b)$ $b$ for negativo, então o segmento $AD = x$ é o segmento desejado.

No entanto, Descartes ignorava a raiz $AD$ da equação para o caso de $b$ ser positivo, pois dizia ser falsa, ou seja, negativa. Assim o segmento $AD$ fornece a segunda raiz da equação, onde o segmento $AD$ é o valor absoluto da raiz negativa, pois não faz sentido na geometria euclidiana um segmento de reta de comprimento negativo. O mesmo ocorria para o caso de $b$ ser negativo.

Vamos abordar algumas equações e aplicar seu método, utilizando o software Régua e Compasso (gratuito), que já nos fornece o comprimento dos segmentos automaticamente.

Exemplo $1$:

Encontre as raízes da equação $x^2-3x-4=0$, utilizando o método geométrico de Descartes.

A equação pode ser reescrita como $x^2 -3x - (2)^2 = 0$. Em seguida, definimos os comprimentos dos segmentos:

$a)$ O segmento inicial $AB=c=2$
$b)$ O segmento $BO=b/2=1,5$

$1)$ Trace o segmento $AB=2$:

$2)$ Trace a perpendicular $BO=1,5$ por $B$:

$3)$ Descreva a circunferência de raio igual a $b/2=1,5$ com centro em $O$:

$4)$ Trace a reta que passa por $A$ e $O$, cortando a circunferência nos pontos $C$ e $D$:

$5)$ Os segmentos $AC$ e $AD$ são as duas raízes da equação dada, como pode ser observado nas imagens:

Desta forma, temos as duas raízes representadas como dois segmentos de reta. Notem que o segmento $AD$ fornece o valor absoluto da raiz negativa. Resolvendo pela fórmula da equação de segundo grau, encontramos as duas raízes:
\begin{equation*}
x_1 = AC = 4\\
\ \\
x_2 = AD = -1
\end{equation*}

Exemplo $2$:

Encontre as raízes da equação $x^2-x-4=0$, utilizando o método geométrico de Descartes.

A equação pode ser reescrita como $x^2-x-(2)^2=0$. Agora, definimos os comprimentos dos segmentos:

$a)$ O segmento  inicial $AB=c=2$
$b)$ O segmento $BO=b/2=0,5$

Resolvendo pela fórmula da equação do segundo grau, encontramos as duas raízes:
\begin{equation*}
x_1 = AC = 2,56155\\
\ \\
x_2 = AD = -1,56155
\end{equation*}

Exemplo $3$:

Encontre as raízes da equação $x^2-8x-9=0$, utilizando o método geométrico de Descartes.

A equação pode ser reescrita como $x^2-8x-(3)^2=0$. Agora, definimos os comprimentos dos segmentos:

$a)$ O segmento inicial $AB=c=3$
$b)$ O segmento $BO-b/2=4$

Resolvendo pela fórmula da equação de segundo grau, encontramos as duas raízes:
\begin{equation*}
x_1 = AC = 9\\
\ \\
x_2=AD=-1
\end{equation*}

Exemplo $4$:

Encontre as raízes da equação $x^2+2x-1=0$, utilizando geométrico de Descartes.

A equação pode ser reescrita como $x^2+2x-(1)^2=0$. Vejam que esta equação tem o $b$ positivo. Definimos os comprimentos dos segmentos:

$a)$ O segmento inicial $AB=c=1$
$b)$ O segmento $BO=b/2=1$

Resolvendo pela fórmula da equação de segundo grau, encontramos as raízes:
\begin{equation*}
x_1 = AC = -2,41421\\
\ \\
x_2 = AD = 0,41421
\end{equation*}

Referências:

[1] História da Matemática - Carl Boyer - Editora Blucher

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