Método de Integração por Partes

O método de integração por partes geralmente funciona bem quando outros métodos falham, como em produtos de funções, tais como $e^x\ \cos(x)$ e $x\ \cos(x)$. Devemos pensar o integrando como um produto , onde seja algo mais fácil de integrar e seja simplificado por derivação.

Vamos iniciar com a função:

$$
f = u \cdot v \tag{1}
$$

A derivada de $f$ será:

$$
f^\prime = u^\prime \ v + u \ v^\prime \tag{2}
$$

Podemos reescrever a derivada com outra notação para ficar mais intuitivo:

$$
d(uv) = v\ du + u\ dv \tag{3}
$$

Para obtermos:

$$
u\ dv = d(uv) - v\ du \tag{4}
$$

Ao integrarmos ambos os membros da igualdade, obtemos:

$$
\int u\ dv = \int d(uv) - \int v\ du \tag{5}
$$

Encontrando a fórmula para integração por partes:

$$
\int u \ dv = uv - \int v\ du \tag{6}
$$

De um modo geral, é possível seguir algumas etapas para resolver integrais através d método por partes:

1. Fatoramos o integrando em duas partes convenientes;
2. Escolhemos as substituições dos fatores, sendo o primeiro igual a $u$ e o segundo (incluindo $dx$) igual a $du$;
3. Calculamos a derivada de $u$ e a integral de $dv$ para obtermos $du$ e $v$, respectivamente;
4. Calculamos a integral $\displaystyle \int v\ du$;
5. Escrevemos os resultado como:

$$
\int u\ dv = uv - \int v\ du
$$

As escolhas de $u$ e $dv$ são cruciais para o sucesso na integração e devemos pensar essa escolha como um produto de $u$ por $dv$ de tal modo que seja o mais simples possível de integrar. Uma escolha equivocada pode levar a uma integral ainda mais difícil.

Frequentemente é necessário realizar duas ou mais integrações por partes ou ainda combinar outro método de integração, como o método por substituição.

A seguir, vamos analisar exemplos de como aplicar o método de integração por partes.

Exemplo 1:

Calcular a integral $\displaystyle \int x \ \text{sen}(x)\ dx$.

Seja a integral:

$$
I = \int x\ \text{sen}(x)\ dx
$$

Para aplicarmos o método de integração por partes, vamos escolher $u=x$ e $dv = \text{sen}(x)\ dx$. Em seguida, calculamos a derivada de $u$ e a integral de $dv$:

\begin{matrix}
u=x &\longrightarrow & du = dx\\
dv=\text{sen}(x)\ dx & \longrightarrow &v=-\cos(x)+C_0
\end{matrix}

O próximo passo é aplicar os resultados obtidos acima na fórmula para integração por partes:

$$
\int u\ dv = uv - \int v\ du\\
\ \\
I = x(-\cos(x) + C_0) - \int (-\cos(x) + C_0)\ dx\\
\ \\
I = -x\ \cos(x) + C_0 x + \int \cos(x)\ dx - \int C_0\ dx
$$
A integral de $\cos(x)$ é $\text{sen}(x)$ e a integral de $C_0$ é $C_0x$. Assim:
$$
I = -x\ \cos(x) + C_0x + \text{sen}(x) + C - C_0x\\
\ \\
I = \text{sen}(x) - x\ \cos(x) + C
$$

Como pudemos ver, a constante $C_0$, proveniente da integração de $dv$, aparece duas vezes no processo de integração por partes, mas com sinais opostos, e acaba sendo cancelada. Isso mostra que qualquer escolha de $v$ na forma $-\cos(x)$ produz o mesmo resultado para $\displaystyle \int x\ \text{sen}(x)\ dx$. Uma forma de demonstrar é fazendo $v$ igual a $v+C_0$:

$$
\int u\ dv = u(v+C_0) - \int (v+C_0)\ du\\
\ \\
\int u\ dv = uv + C_0 u - \int v\ du - \int C_0\ du\\
\ \\
\int u\ dv = uv + C_0u - \int v\ du - C_0u\\
\ \\
\int u\ dv = uv - \int v\ du
$$

Sendo assim, quando integrarmos $dv$, não precisamos incluir a constante $C_0$ e podemos resolver a integral pelo método de integração por partes como:

$$
\int u\ dv = uv - \int v\ du\\
\ \\
I = -x\ \cos(x) + \int \cos(x)\ dx\\
\ \\
I = \text{sen}(x) - x\ \cos(x) + C
$$

Experimente realizar a integração fazendo $u=\text{sen}(x)$ e $dv=x$. Este é um caso típico onde escolhas equivocadas nos levam a integrais mais complicadas do que a original.

Exemplo 2:

Calcular a integral $\displaystyle \int x \ e^x\ dx$.

Seja a integral:

$$
I = \int x\ e^x\ dx
$$

Para aplicarmos o método de integração por partes, vamos escolher $u=x$ e $dv = e^x\ dx$. Em seguida, calculamos a derivada de $u$ e a integral de $dv$:

\begin{matrix}
u=x &\longrightarrow & du = dx\\
dv=e^x\ dx & \longrightarrow &v=e^x
\end{matrix}

O próximo passo é aplicar os resultados obtidos acima na fórmula para integração por partes:

$$
I = x\ e^x - \int e^x\ dx\\
\ \\
I = x\ e^x - e^x + C\\
\ \\
I = e^x(x-1) + C
$$

Exemplo 3:

Calcular a integral $\displaystyle \int x^n \ln|x^m| \ dx$

Seja a integral:

$$
I = \int x^n \ln|x^m| \ dx
$$

Fazemos $u = \ln|x^m|$ e $dv=x^n\ dx$. Em seguida calculamos a derivada de $u$ e a integral de $dv$:

\begin{matrix}
u=\ln|x^m| &\longrightarrow & \displaystyle du = \frac{m}{x}\ dx\\
dv=x^n \ dx & \longrightarrow & v=\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}
\end{matrix}

Substituindo os resultados na fórmula para integração por partes, obtemos:

$$
I = \frac{x^{n+1}}{n+1} \ \ln|x^m| - \int \frac{x^{n+1}}{n+1}\ \frac{m}{x}\ dx\\
\ \\
I = \frac{x^{n+1}\ln|x^m|}{n+1} - \frac{m}{n+1} \int x^n\ dx
$$

A integral de $x^n$ é $\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}$. Assim:

$$
I = \frac{x^{n+1}\ln|x^m|}{n+1} - \frac{m}{n+1} \ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\\
\ \\
I = \frac{x^{n+1}\ln|x^m|}{n+1} - \frac{m\ x^{n+1}}{(n+1)^2} + C\\
\ \\
I = \frac{x^{n+1} \big( (n+1)\ln|x^m| - m \big)}{(n+1)^2} + C
$$

Esta integral representa uma família de curvas que assumem configurações diferentes dependendo das constantes $m$ e $n$:

Para $n=0$ e $m=1$, teremos:

$$
\int \ln|x|\ dx = x\big( \ln|x| - 1\big) + C
$$

Para $n=0$, teremos:

$$
\int \ln |x^m|\ dx = x\big( \ln|x^m|-m\big) + C
$$

Para $m=1$, teremos:

$$
\int x^n \ln|x|\ dx = \frac{x^{n+1}\big( (n+1) \ln|x| -1 \big)}{(n+1)^2}+C
$$

Para $m=2$ e $n=3$, teremos:

$$
\int x^3 \ln|x^2|\ dx = \frac{x^4 \big(2 \ln|x^2|-1\big)}{8}+C
$$

Exemplo 4:

Calcular a integral $\displaystyle \int (3x+7)\ \cos(x)\ dx$.

Seja a integral:

$$
I = \int (3x+7)\ \cos(x)\ dx
$$

Fazemos $u = 3x+7$ e $dv=\cos(x)\ dx$. Em seguida calculamos a derivada de $u$ e a integral de $dv$:

\begin{matrix}
u=3x+7 &\longrightarrow & \displaystyle du = 3\ dx\\
dv=\cos(x) \ dx & \longrightarrow & v=\text{sen}(x)
\end{matrix}

Substituindo os resultados na fórmula para integração por partes, obtemos:

$$
I = (3x+7)\ \text{sen}(x) - 3\int \text{sen}(x)\ dx\\
\ \\
I = (3x+7)\ \text{sen}(x) + 3\cos(x) +C
$$

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• http://bit.ly/integracao-partes
• https://www.obaricentrodamente.com/2010/07/metodo-de-integracao-por-partes.html

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