O método de integração por partes se aplica particularmente bem aos produtos de diferentes tipos de funções, tais como $x\cos(x)$, que é um produto entre um polinômio por uma função trigonométrica. Ao utilizar este método, a diferencial dada deve ser pensada como um produto $u\cdot dv$. A parte chamada $dv$ deve ser algo que possamos integrar e a parte chamada $u$ deve ser usualmente algo que é simplificado por derivação.

Consideremos a função:
\begin{equation}
f=u \cdot v
\end{equation}
\begin{equation}
f=u \cdot v
\end{equation}
Sua derivada será:
\begin{equation}
f'=u'v+v'u
\end{equation}
\begin{equation}
f'=u'v+v'u
\end{equation}
Também podemos escrevê-la da seguinte forma:
\begin{equation}
d(uv)=vdu+udv
\end{equation}
\begin{equation}
d(uv)=vdu+udv
\end{equation}
Da igualdade $(3)$ temos que:
\begin{equation}
udv=d(uv)-vdu
\end{equation}
\begin{equation}
udv=d(uv)-vdu
\end{equation}
Integrando os dois membros da igualdade $(4)$, temos:
\begin{equation}
\int udv=\int d(uv) -\int vdu
\end{equation}
\begin{equation}
\int udv=\int d(uv) -\int vdu
\end{equation}
E obtemos o seguinte resultado:
\begin{equation}
\int udv=uv-\int vdu
\end{equation}
\int udv=uv-\int vdu
\end{equation}
Quando formos realizar uma integração por partes, fazemos:
- $1ª$ parte da integral: $u$
- $2ª$ parte da integral (incluindo o $dx$): $dv$
Exemplo 1:
Calcular a integral $\displaystyle \int xe^x dx$.
Temos que:
\begin{equation*}
u=x\\
\ \\
\frac{du}{dx}=1\\
\ \\
du=dx\\
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
dv=e^x dx\\
\ \\
v=e^x\\
\end{equation*}
Assim, podemos escrever:
\begin{equation*}
\ \\
\int xe^x dx=xe^x-\int e^x dx\\
\ \\
\int xe^x dx=xe^x-e^x+C\\
\ \\
\int xe^x dx=e^x(x-1)+C
\ \\
\end{equation*}
\begin{equation*}
u=x\\
\ \\
\frac{du}{dx}=1\\
\ \\
du=dx\\
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
dv=e^x dx\\
\ \\
v=e^x\\
\end{equation*}
Assim, podemos escrever:
\begin{equation*}
\ \\
\int xe^x dx=xe^x-\int e^x dx\\
\ \\
\int xe^x dx=xe^x-e^x+C\\
\ \\
\int xe^x dx=e^x(x-1)+C
\ \\
\end{equation*}
Exemplo 2:
Calcular a integral $\displaystyle \int x \cos(x)dx$.
Temos que:
\begin{equation*}
u=x\\
\ \\
\frac{du}{dx}=1\\
\ \\
du=dx\\
\ \\
dv=\cos(x)dx\\
\ \\
v=\text{sen}(x)
\end{equation*}
Assim, podemos escrever:
\begin{equation*}
\int x\cos(x)dx=x\text{sen}(x)-\int \text{sen}(x)dx\\
\ \\
\int x\cos(x)dx=x\text{sen}(x)-\cos(x)\\
\ \\
\int x\cos(x)dx=x\text{sen}(x)+\cos(x)+C
\end{equation*}
\begin{equation*}
u=x\\
\ \\
\frac{du}{dx}=1\\
\ \\
du=dx\\
\ \\
dv=\cos(x)dx\\
\ \\
v=\text{sen}(x)
\end{equation*}
Assim, podemos escrever:
\begin{equation*}
\int x\cos(x)dx=x\text{sen}(x)-\int \text{sen}(x)dx\\
\ \\
\int x\cos(x)dx=x\text{sen}(x)-\cos(x)\\
\ \\
\int x\cos(x)dx=x\text{sen}(x)+\cos(x)+C
\end{equation*}
Exemplo 3:
Calcule a integral $\displaystyle \int x\ln(x)dx$
Temos que:
\begin{equation*}
u=\ln(x)\\
\ \\
\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}\\
\ \\
du=\frac{1}{x}dx\\
\ \\
dv=xdx\\
\ \\
v=\frac{x^2}{2}
\end{equation*}
Fazemos:
\begin{equation*}
\int x\ln(x)dx=\frac{1}{2}x^2\cdot \ln(x)-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{dx}{x}\\
\ \\
\int x\ln(x)dx=\frac{1}{2}x^2 \cdot \ln(x)-\frac{1}{2}\int xdx\\
\ \\
\int x\ln(x)dx=\frac{1}{2}x^2\cdot \ln(x)-\frac{1}{2}\int xdx\\
\ \\
\int x\ln(x)dx=\frac{1}{2}x^2 \left(\ln(x)-\frac{1}{2}\right)+C\\
\end{equation*}
\begin{equation*}
u=\ln(x)\\
\ \\
\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}\\
\ \\
du=\frac{1}{x}dx\\
\ \\
dv=xdx\\
\ \\
v=\frac{x^2}{2}
\end{equation*}
Fazemos:
\begin{equation*}
\int x\ln(x)dx=\frac{1}{2}x^2\cdot \ln(x)-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{dx}{x}\\
\ \\
\int x\ln(x)dx=\frac{1}{2}x^2 \cdot \ln(x)-\frac{1}{2}\int xdx\\
\ \\
\int x\ln(x)dx=\frac{1}{2}x^2\cdot \ln(x)-\frac{1}{2}\int xdx\\
\ \\
\int x\ln(x)dx=\frac{1}{2}x^2 \left(\ln(x)-\frac{1}{2}\right)+C\\
\end{equation*}
Exemplo 4:
Calcule a integral $\displaystyle \int (3x+7) \cdot \cos(x)dx$.
Temos que:
\begin{equation*}
u=3x+7\\
\ \\
\frac{du}{dx}=3\\
\ \\
du=3dx\\
\ \\
dv=\cos(x)dx\\
\ \\
v=\text{sen}(x)
\end{equation*}
Então fazemos:
\begin{equation*}
\int (3x+7)\cos(x)dx = (3x+7)\cdot \text{sen}(x)-\int \text{sen}(x)\\
\ \\
\int (3x+7)\cos(x)dx=(3x+7)\cdot \text{sen}-3\int \text{sen}(x)dx\\
\ \\
\int (3x+7)\cos(x)dx=(3x+7) \text{sen}(x)+3\cos(x)+C
\end{equation*}
\begin{equation*}
u=3x+7\\
\ \\
\frac{du}{dx}=3\\
\ \\
du=3dx\\
\ \\
dv=\cos(x)dx\\
\ \\
v=\text{sen}(x)
\end{equation*}
Então fazemos:
\begin{equation*}
\int (3x+7)\cos(x)dx = (3x+7)\cdot \text{sen}(x)-\int \text{sen}(x)\\
\ \\
\int (3x+7)\cos(x)dx=(3x+7)\cdot \text{sen}-3\int \text{sen}(x)dx\\
\ \\
\int (3x+7)\cos(x)dx=(3x+7) \text{sen}(x)+3\cos(x)+C
\end{equation*}
Exemplo 5:
Calcule a integral $\displaystyle \int(2x-1)e^x dx$
Temos que:
\begin{equation*}
u=2x-1\\
\ \\
\frac{du}{dx}=2\\
\ \\
du=2dx\\
\ \\
dv=e^xdx\\
\ \\
v=e^x
\end{equation*}
Então fazemos:
\begin{equation*}
\int (2x-1)e^xdx=(2x-1)e^x-\int e^x \cdot 2dx\\
\ \\
\int (2x-1)e^xdx=(2x-1)e^x-2\int e^x dx\\
\ \\
\int (2x-1)e^xdx=(2x-1)e^x-2e^x\\
\ \\
\int (2x-1)e^xdx=2xe^x-e^x-2e^x\\
\ \\
\int (2x-1)e^xdx=2xe^x-3e^x\\
\ \\
\int (2x-1)e^xdx=e^x(2x-3)+C
\end{equation*}
\begin{equation*}
u=2x-1\\
\ \\
\frac{du}{dx}=2\\
\ \\
du=2dx\\
\ \\
dv=e^xdx\\
\ \\
v=e^x
\end{equation*}
Então fazemos:
\begin{equation*}
\int (2x-1)e^xdx=(2x-1)e^x-\int e^x \cdot 2dx\\
\ \\
\int (2x-1)e^xdx=(2x-1)e^x-2\int e^x dx\\
\ \\
\int (2x-1)e^xdx=(2x-1)e^x-2e^x\\
\ \\
\int (2x-1)e^xdx=2xe^x-e^x-2e^x\\
\ \\
\int (2x-1)e^xdx=2xe^x-3e^x\\
\ \\
\int (2x-1)e^xdx=e^x(2x-3)+C
\end{equation*}
Muito didática essa exposição da técnica de integração por partes e obrigado por citar o meu blog.
ResponderExcluirAbraços!
Agradeço eu, por partilhares,gostei muito.
ExcluirGostei muito de seus conteúdos!!!
ResponderExcluirOlá Flávio, obrigado por comentar. Um abraço!
ResponderExcluirParece que teve um erro de digitação no exemplo 2. Na segunda linha, onde está u=v, deveria ser u=x.
ResponderExcluirAlex Chacon.
Olá Chacon, obrigado pela leitura atenta. Abraços.
ExcluirParabéns pelo blog, muito bom mesmo!!!!
ResponderExcluirAgradeço seu comentário. Volte sempre.
ExcluirAbraços.
Seu blog é muito bom. Parabéns pelo trabalho! Tem me ajudado bastante.
ResponderExcluirOlá Kleber!
ResponderExcluirHouve em específico alguém que estruturou este método? Quem?
Olá Charles! Nossa, esse comentários seu estava perdido nos spans...
ExcluirNão sei quem exatamente estruturou o método. Talvez em algum livro de historia do cálculo possa ter esta informação.
Obrigado e um abraço!
Exelente conteúdo.
ResponderExcluirExelente conteúdo!!!
ResponderExcluirOlá, muito obrigada pelo conteúdo está ajudando demais! Só uma observação na última questão na última linha é 2x e não 3x.
ResponderExcluirObrigado Toy pelo feedback. Já está corrigido. Abs.
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