04/07/2010

Método de Integração por Partes

O método de integração por partes se aplica particularmente bem aos produtos de diferentes tipos de funções, tais como $x\cos(x)$, que é um produto entre um polinômio por uma função trigonométrica. Ao utilizar este método, a diferencial dada deve ser pensada como um produto $u\cdot dv$. A parte chamada $dv$ deve ser algo que possamos integrar e a parte chamada $u$ deve ser usualmente algo que é simplificado por derivação.

Consideremos a função:
\begin{equation}
f=u \cdot v
\end{equation}

Sua derivada será:
\begin{equation}
f'=u'v+v'u
\end{equation}

Também podemos escrevê-la da seguinte forma:
\begin{equation}
d(uv)=vdu+udv
\end{equation}

Da igualdade $(3)$ temos que:
\begin{equation}
udv=d(uv)-vdu
\end{equation}

Integrando os dois membros da igualdade $(4)$, temos:
\begin{equation}
\int udv=\int d(uv) -\int vdu
\end{equation}

E obtemos o seguinte resultado:

\begin{equation}
\int udv=uv-\int vdu
\end{equation}

Quando formos realizar uma integração por partes, fazemos:

$1ª$ parte da integral: $u$
$2ª$ parte da integral (incluindo o $dx$): $dv$

Exemplo 1:

Calcular a integral $\displaystyle \int xe^x dx$.

Temos que:
\begin{equation*}
u=x\\
\ \\
\frac{du}{dx}=1\\
\ \\
du=dx\\
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
dv=e^x dx\\
\ \\
v=e^x\\
\end{equation*}
Assim, podemos escrever:
\begin{equation*}
\ \\
\int xe^x dx=xe^x-\int e^x dx\\
\ \\
\int xe^x dx=xe^x-e^x+C\\
\ \\
\int xe^x dx=e^x(x-1)+C
\ \\
\end{equation*}

Exemplo 2:

Calcular a integral $\displaystyle \int x \cos(x)dx$.

Temos que:
\begin{equation*}
u=x\\
\ \\
\frac{du}{dx}=1\\
\ \\
du=dx\\
\ \\
dv=\cos(x)dx\\
\ \\
v=\text{sen}(x)
\end{equation*}
Assim, podemos escrever:
\begin{equation*}
\int x\cos(x)dx=x\text{sen}(x)-\int \text{sen}(x)dx\\
\ \\
\int x\cos(x)dx=x\text{sen}(x)-\cos(x)\\
\ \\
\int x\cos(x)dx=x\text{sen}(x)+\cos(x)+C
\end{equation*}

Exemplo 3:

Calcule a integral $\displaystyle \int x\ln(x)dx$

Temos que:
\begin{equation*}
u=\ln(x)\\
\ \\
\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}\\
\ \\
du=\frac{1}{x}dx\\
\ \\
dv=xdx\\
\ \\
v=\frac{x^2}{2}
\end{equation*}
Fazemos:
\begin{equation*}
\int x\ln(x)dx=\frac{1}{2}x^2\cdot \ln(x)-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{dx}{x}\\
\ \\
\int x\ln(x)dx=\frac{1}{2}x^2 \cdot \ln(x)-\frac{1}{2}\int xdx\\
\ \\
\int x\ln(x)dx=\frac{1}{2}x^2\cdot \ln(x)-\frac{1}{2}\int xdx\\
\ \\
\int x\ln(x)dx=\frac{1}{2}x^2 \left(\ln(x)-\frac{1}{2}\right)+C\\
\end{equation*}

Exemplo 4:

Calcule a integral $\displaystyle \int (3x+7) \cdot \cos(x)dx$.

Temos que:
\begin{equation*}
u=3x+7\\
\ \\
\frac{du}{dx}=3\\
\ \\
du=3dx\\
\ \\
dv=\cos(x)dx\\
\ \\
v=\text{sen}(x)
\end{equation*}
Então fazemos:
\begin{equation*}
\int (3x+7)\cos(x)dx = (3x+7)\cdot \text{sen}(x)-\int \text{sen}(x)\\
\ \\
\int (3x+7)\cos(x)dx=(3x+7)\cdot \text{sen}-3\int \text{sen}(x)dx\\
\ \\
\int (3x+7)\cos(x)dx=(3x+7) \text{sen}(x)+3\cos(x)+C
\end{equation*}

Exemplo 5:

Calcule a integral $\displaystyle \int(2x-1)e^x dx$

Temos que:
\begin{equation*}
u=2x-1\\
\ \\
\frac{du}{dx}=2\\
\ \\
du=2dx\\
\ \\
dv=e^xdx\\
\ \\
v=e^x
\end{equation*}
Então fazemos:
\begin{equation*}
\int (2x-1)e^xdx=(2x-1)e^x-\int e^x \cdot 2dx\\
\ \\
\int (2x-1)e^xdx=(2x-1)e^x-2\int e^x dx\\
\ \\
\int (2x-1)e^xdx=(2x-1)e^x-2e^x\\
\ \\
\int (2x-1)e^xdx=2xe^x-e^x-2e^x\\
\ \\
\int (2x-1)e^xdx=2xe^x-3e^x\\
\ \\
\int (2x-1)e^xdx=e^x(3x-3)+C
\end{equation*}