O método de integração por partes geralmente funciona bem quando outros métodos falham, como em produtos de funções, tais como $e^x\ \cos(x)$ e $x\ \cos(x)$. Devemos pensar o integrando como um produto , onde seja algo mais fácil de integrar e seja simplificado por derivação.
Vamos iniciar com a função:
$$f = u \cdot v \tag{1}
$$
A derivada de $f$ será:
$$f^\prime = u^\prime \ v + u \ v^\prime \tag{2}
$$
Podemos reescrever a derivada com outra notação para ficar mais intuitivo:
$$d(uv) = v\ du + u\ dv \tag{3}
$$
Para obtermos:
$$u\ dv = d(uv) - v\ du \tag{4}
$$
Ao integrarmos ambos os membros da igualdade, obtemos:
$$\int u\ dv = \int d(uv) - \int v\ du \tag{5}
$$
Encontrando a fórmula para integração por partes:
$$\int u \ dv = uv - \int v\ du \tag{6}
$$
De um modo geral, é possível seguir algumas etapas para resolver integrais através d método por partes:
- Fatoramos o integrando em duas partes convenientes;
- Escolhemos as substituições dos fatores, sendo o primeiro igual a $u$ e o segundo (incluindo $dx$) igual a $du$;
- Calculamos a derivada de $u$ e a integral de $dv$ para obtermos $du$ e $v$, respectivamente;
- Calculamos a integral $\displaystyle \int v\ du$;
- Escrevemos os resultado como:
\int u\ dv = uv - \int v\ du
$$
As escolhas de $u$ e $dv$ são cruciais para o sucesso na integração e devemos pensar essa escolha como um produto de $u$ por $dv$ de tal modo que seja o mais simples possível de integrar. Uma escolha equivocada pode levar a uma integral ainda mais difícil.
Frequentemente é necessário realizar duas ou mais integrações por partes ou ainda combinar outro método de integração, como o método por substituição.
A seguir, vamos analisar exemplos de como aplicar o método de integração por partes.
Exemplo 1:
Calcular a integral $\displaystyle \int x \ \text{sen}(x)\ dx$.
Seja a integral:
$$I = \int x\ \text{sen}(x)\ dx
$$
Para aplicarmos o método de integração por partes, vamos escolher $u=x$ e $dv = \text{sen}(x)\ dx$. Em seguida, calculamos a derivada de $u$ e a integral de $dv$:
\begin{matrix}
u=x &\longrightarrow & du = dx\\
dv=\text{sen}(x)\ dx & \longrightarrow &v=-\cos(x)+C_0
\end{matrix}
\int u\ dv = uv - \int v\ du\\
\ \\
I = x(-\cos(x) + C_0) - \int (-\cos(x) + C_0)\ dx\\
\ \\
I = -x\ \cos(x) + C_0 x + \int \cos(x)\ dx - \int C_0\ dx
$$
A integral de $\cos(x)$ é $\text{sen}(x)$ e a integral de $C_0$ é $C_0x$. Assim:
$$
I = -x\ \cos(x) + C_0x + \text{sen}(x) + C - C_0x\\
\ \\
I = \text{sen}(x) - x\ \cos(x) + C
$$
\int u\ dv = u(v+C_0) - \int (v+C_0)\ du\\
\ \\
\int u\ dv = uv + C_0 u - \int v\ du - \int C_0\ du\\
\ \\
\int u\ dv = uv + C_0u - \int v\ du - C_0u\\
\ \\
\int u\ dv = uv - \int v\ du
$$
\int u\ dv = uv - \int v\ du\\
\ \\
I = -x\ \cos(x) + \int \cos(x)\ dx\\
\ \\
I = \text{sen}(x) - x\ \cos(x) + C
$$
I = \int x\ e^x\ dx
$$
u=x &\longrightarrow & du = dx\\
dv=e^x\ dx & \longrightarrow &v=e^x
\end{matrix}
I = x\ e^x - \int e^x\ dx\\
\ \\
I = x\ e^x - e^x + C\\
\ \\
I = e^x(x-1) + C
$$
I = \int x^n \ln|x^m| \ dx
$$
u=x &\longrightarrow & du = dx\\
dv=\text{sen}(x)\ dx & \longrightarrow &v=-\cos(x)+C_0
\end{matrix}
O próximo passo é aplicar os resultados obtidos acima na fórmula para integração por partes:
$$\int u\ dv = uv - \int v\ du\\
\ \\
I = x(-\cos(x) + C_0) - \int (-\cos(x) + C_0)\ dx\\
\ \\
I = -x\ \cos(x) + C_0 x + \int \cos(x)\ dx - \int C_0\ dx
$$
A integral de $\cos(x)$ é $\text{sen}(x)$ e a integral de $C_0$ é $C_0x$. Assim:
$$
I = -x\ \cos(x) + C_0x + \text{sen}(x) + C - C_0x\\
\ \\
I = \text{sen}(x) - x\ \cos(x) + C
$$
Como pudemos ver, a constante $C_0$, proveniente da integração de $dv$, aparece duas vezes no processo de integração por partes, mas com sinais opostos, e acaba sendo cancelada. Isso mostra que qualquer escolha de $v$ na forma $-\cos(x)$ produz o mesmo resultado para $\displaystyle \int x\ \text{sen}(x)\ dx$. Uma forma de demonstrar é fazendo $v$ igual a $v+C_0$:
$$\int u\ dv = u(v+C_0) - \int (v+C_0)\ du\\
\ \\
\int u\ dv = uv + C_0 u - \int v\ du - \int C_0\ du\\
\ \\
\int u\ dv = uv + C_0u - \int v\ du - C_0u\\
\ \\
\int u\ dv = uv - \int v\ du
$$
Sendo assim, quando integrarmos $dv$, não precisamos incluir a constante $C_0$ e podemos resolver a integral pelo método de integração por partes como:
$$\int u\ dv = uv - \int v\ du\\
\ \\
I = -x\ \cos(x) + \int \cos(x)\ dx\\
\ \\
I = \text{sen}(x) - x\ \cos(x) + C
$$
Experimente realizar a integração fazendo $u=\text{sen}(x)$ e $dv=x$. Este é um caso típico onde escolhas equivocadas nos levam a integrais mais complicadas do que a original.
Exemplo 2:
Calcular a integral $\displaystyle \int x \ e^x\ dx$.
Seja a integral:
$$I = \int x\ e^x\ dx
$$
Para aplicarmos o método de integração por partes, vamos escolher $u=x$ e $dv = e^x\ dx$. Em seguida, calculamos a derivada de $u$ e a integral de $dv$:
\begin{matrix}u=x &\longrightarrow & du = dx\\
dv=e^x\ dx & \longrightarrow &v=e^x
\end{matrix}
O próximo passo é aplicar os resultados obtidos acima na fórmula para integração por partes:
$$I = x\ e^x - \int e^x\ dx\\
\ \\
I = x\ e^x - e^x + C\\
\ \\
I = e^x(x-1) + C
$$
Exemplo 3:
Calcular a integral $\displaystyle \int x^n \ln|x^m| \ dx$
Seja a integral:
$$I = \int x^n \ln|x^m| \ dx
$$
Fazemos $u = \ln|x^m|$ e $dv=x^n\ dx$. Em seguida calculamos a derivada de $u$ e a integral de $dv$:
\begin{matrix}
u=\ln|x^m| &\longrightarrow & \displaystyle du = \frac{m}{x}\ dx\\
dv=x^n \ dx & \longrightarrow & v=\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}
\end{matrix}
I = \frac{x^{n+1}}{n+1} \ \ln|x^m| - \int \frac{x^{n+1}}{n+1}\ \frac{m}{x}\ dx\\
\ \\
I = \frac{x^{n+1}\ln|x^m|}{n+1} - \frac{m}{n+1} \int x^n\ dx
$$
I = \frac{x^{n+1}\ln|x^m|}{n+1} - \frac{m}{n+1} \ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\\
\ \\
I = \frac{x^{n+1}\ln|x^m|}{n+1} - \frac{m\ x^{n+1}}{(n+1)^2} + C\\
\ \\
I = \frac{x^{n+1} \big( (n+1)\ln|x^m| - m \big)}{(n+1)^2} + C
$$
\int \ln|x|\ dx = x\big( \ln|x| - 1\big) + C
$$
\int \ln |x^m|\ dx = x\big( \ln|x^m|-m\big) + C
$$
\int x^n \ln|x|\ dx = \frac{x^{n+1}\big( (n+1) \ln|x| -1 \big)}{(n+1)^2}+C
$$
\int x^3 \ln|x^2|\ dx = \frac{x^4 \big(2 \ln|x^2|-1\big)}{8}+C
$$
I = \int (3x+7)\ \cos(x)\ dx
$$
u=\ln|x^m| &\longrightarrow & \displaystyle du = \frac{m}{x}\ dx\\
dv=x^n \ dx & \longrightarrow & v=\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}
\end{matrix}
Substituindo os resultados na fórmula para integração por partes, obtemos:
$$I = \frac{x^{n+1}}{n+1} \ \ln|x^m| - \int \frac{x^{n+1}}{n+1}\ \frac{m}{x}\ dx\\
\ \\
I = \frac{x^{n+1}\ln|x^m|}{n+1} - \frac{m}{n+1} \int x^n\ dx
$$
A integral de $x^n$ é $\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}$. Assim:
$$I = \frac{x^{n+1}\ln|x^m|}{n+1} - \frac{m}{n+1} \ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\\
\ \\
I = \frac{x^{n+1}\ln|x^m|}{n+1} - \frac{m\ x^{n+1}}{(n+1)^2} + C\\
\ \\
I = \frac{x^{n+1} \big( (n+1)\ln|x^m| - m \big)}{(n+1)^2} + C
$$
Esta integral representa uma família de curvas que assumem configurações diferentes dependendo das constantes $m$ e $n$:
Para $n=0$ e $m=1$, teremos:
$$\int \ln|x|\ dx = x\big( \ln|x| - 1\big) + C
$$
Para $n=0$, teremos:
$$\int \ln |x^m|\ dx = x\big( \ln|x^m|-m\big) + C
$$
Para $m=1$, teremos:
$$\int x^n \ln|x|\ dx = \frac{x^{n+1}\big( (n+1) \ln|x| -1 \big)}{(n+1)^2}+C
$$
Para $m=2$ e $n=3$, teremos:
$$\int x^3 \ln|x^2|\ dx = \frac{x^4 \big(2 \ln|x^2|-1\big)}{8}+C
$$
Exemplo 4:
Calcular a integral $\displaystyle \int (3x+7)\ \cos(x)\ dx$.
Seja a integral:
$$I = \int (3x+7)\ \cos(x)\ dx
$$
Fazemos $u = 3x+7$ e $dv=\cos(x)\ dx$. Em seguida calculamos a derivada de $u$ e a integral de $dv$:
\begin{matrix}
u=3x+7 &\longrightarrow & \displaystyle du = 3\ dx\\
dv=\cos(x) \ dx & \longrightarrow & v=\text{sen}(x)
\end{matrix}
I = (3x+7)\ \text{sen}(x) - 3\int \text{sen}(x)\ dx\\
\ \\
I = (3x+7)\ \text{sen}(x) + 3\cos(x) +C
$$
u=3x+7 &\longrightarrow & \displaystyle du = 3\ dx\\
dv=\cos(x) \ dx & \longrightarrow & v=\text{sen}(x)
\end{matrix}
Substituindo os resultados na fórmula para integração por partes, obtemos:
$$I = (3x+7)\ \text{sen}(x) - 3\int \text{sen}(x)\ dx\\
\ \\
I = (3x+7)\ \text{sen}(x) + 3\cos(x) +C
$$
Links para este artigo:
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- http://bit.ly/integracao-partes
- https://www.obaricentrodamente.com/2010/07/metodo-de-integracao-por-partes.html
Muito didática essa exposição da técnica de integração por partes e obrigado por citar o meu blog.
ResponderExcluirAbraços!
Agradeço eu, por partilhares,gostei muito.
ExcluirGostei muito de seus conteúdos!!!
ResponderExcluirOlá Flávio, obrigado por comentar. Um abraço!
ResponderExcluirParece que teve um erro de digitação no exemplo 2. Na segunda linha, onde está u=v, deveria ser u=x.
ResponderExcluirAlex Chacon.
Olá Chacon, obrigado pela leitura atenta. Abraços.
ExcluirParabéns pelo blog, muito bom mesmo!!!!
ResponderExcluirAgradeço seu comentário. Volte sempre.
ExcluirAbraços.
Seu blog é muito bom. Parabéns pelo trabalho! Tem me ajudado bastante.
ResponderExcluirOlá Kleber!
ResponderExcluirHouve em específico alguém que estruturou este método? Quem?
Olá Charles! Nossa, esse comentários seu estava perdido nos spans...
ExcluirNão sei quem exatamente estruturou o método. Talvez em algum livro de historia do cálculo possa ter esta informação.
Obrigado e um abraço!
Exelente conteúdo.
ResponderExcluirExelente conteúdo!!!
ResponderExcluirOlá, muito obrigada pelo conteúdo está ajudando demais! Só uma observação na última questão na última linha é 2x e não 3x.
ResponderExcluirObrigado Toy pelo feedback. Já está corrigido. Abs.
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