As Relações de Girard (também conhecidas como Fórmulas de Viète) relacionam os coeficientes de uma equação polinomial com a soma e o produto de suas raízes, sem precisar resolvê-las explicitamente. Veremos como aplicar essas relações em equações quadráticas, cúbicas e quárticas.
1. Introdução sobre equações de segundo grau
Uma equação de segundo grau pode ser expressa como:
$$ax^2 + bx + c = 0
$$
onde:
- $a$, $b$ e $c$ são coeficientes reais (ou complexos, em casos mais gerais)
- $a \neq 0$ (para garantir que a equação seja quadrática)
- $x$ é a variável
As raízes da equação $x_1$ e $x_2$ são os valores de $x$ que satisfazem a equação, podendo ser obtidas através da Fórmula de Bháskara:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
$$
No entanto, as Relações de Girard permitem determinar a soma $(x_1+x_2)$ e o produto $(x_1 \ x_2)$ das raízes diretamente a partir de seus coeficientes $a$, $b$ e $c$, sem que precisemos encontrá-las por fatoração ou pela Fórmula de Bháskara.
2. A Relações de Girard para uma equação quadrática
Dada uma equação quadrática da forma $ax^2+bx+c=0$ que possui raízes $x_1$ e $x_2$, as Relações de Girard estabelecem que:
a) A soma das raízes $x_1+x_2$ é dada por:
$$x_1+x_2 = -\frac{b}{a}
$$
b) O produto das raízes $x_1\ x_2$ é dado por:
$$x_1\ x_2 = \frac{c}{a}
$$
3. Demonstração
Podemos demonstrar as relações de Girard a partir da forma fatorada da equação quadrática. Vamos assumir que $x_1$ e $x_2$ são raízes da equação $ax^2+bx+c=0$. Podemos expressar a equação na forma fatorada:
$$a(x-x_1)(x-x_2)=0
$$
Se expandirmos a forma fatorada, aplicando a propriedade distributiva, obtemos:
$$a(x^2-x\ x_2-x\ x_1 + x_1\ x_2)=0\\
\ \\
a(x^2-(x_1+x_2)x + x_1\ x_2) =0\\
\ \\
ax^2 - a(x_1+x_2)x + a\ x_1\ x_2 = 0
$$
Comparando os coeficientes dessa equação fatorada com a equação quadrática na forma padrão, temos:
- Coeficiente de $x^2$:
- Coeficiente de $x$:
- Termo independente:
A partir do coeficiente de $x$, temos:
$$-a(x_1+x_2) = b\\
\ \\
x_1+x_2 = -\frac{b}{a}
$$
A partir do termo independente, temos:
$$a \ x_1 \ x_2 = c\\
\ \\
x_1 \ x_2 = \frac{c}{a}
$$
Conseguimos de forma relativamente simples demonstrar as Relações de Girard válida para quaisquer equações quadráticas, independentemente de as raízes serem reais ou complexas.
Exemplo 1:
Dada a equação $2x^2-8x+6=0$, vamos encontrar a soma e o produto de suas raízes.
Identificamos os coeficientes:
- $a=2$
- $b=-8$
- $c=6$
Aplicamos as Relações de Girard:
a) Para a soma das raízes:
$$x_1+x_2=-\cfrac{b}{a}\\
\ \\
x_1+x_2=-\cfrac{(-8)}{2}\\
\ \\
x_1+x_2=4
$$
b) Para o produto das raízes:
$$x_1\ x_2 = \cfrac{c}{a}\\
\ \\
x_1\ x_2 = \cfrac{6}{2}\\
\ \\
x_1\ x_2 = 3
$$
Para efeito de verificação, podemos uar a Fórmula de Bháskara para encontrarmos as raízes:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
\ \\
x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4\cdot 2 \cdot 6}}{4}\\
\ \\
x = \frac{8 \pm \sqrt{64-48}}{4}\\
\ \\
x = \frac{8 \pm 4}{4}\\
\ \\
x_1 = 3\\
\ \\
x_2 = 1
$$
Assim:
\begin{cases}x_1 + x_2 = 3+1 = 4\\ \ \\
x_1 \ x_2 = 3 \cdot 1 = 3
\end{cases}
Obtendo, assim, os mesmos resultados.
Exemplo 2:
Dada a equação $x^2+2x+5=0$, vamos encontrar a soma e o produto de suas raízes.
Identificamos os coeficientes:
- $a=1$
- $b=2$
- $c=5$
Aplicamos as Relações de Girard:
a) Para a soma das raízes:
$$x_1+x_2=-\cfrac{b}{a}\\
\ \\
x_1+x_2=-\cfrac{2}{1}\\
\ \\
x_1+x_2=-2
$$
b) Para o produto das raízes:
$$x_1\ x_2 = \cfrac{c}{a}\\
\ \\
x_1\ x_2 = \cfrac{5}{1}\\
\ \\
x_1\ x_2 = 5
$$
Verificando através da Fórmula de Bháskara:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
\ \\
x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot 5}}{2}\\
\ \\
x = \frac{-16}{2}\\
\ \\
x = \frac{-2 \pm 4i}{2}\\
\ \\
x_1 = -1 +2i\\
\ \\
x_2 = -1 -2i
$$
Assim:
a) Para a soma das raízes:
$$x_1 + x_2 = (-1+2i) + (-1-2i)\\
\ \\
x_1+x_2 = -1 +2i -1 -2i\\
\ \\
x_1+x_2 = -2
$$
b) Para o produto das raízes:
$$x_1\ x_2 = (-1+2i)(-1-2i)\\
\ \\
x_1\ x_2 = 1 +2i - 2i -4i^2\\
\ \\
x_1\ x_2 = 1-4i^2
$$
Como $i^2=-1$, temos:
$$x_1\ x_2 = 5
$$
4. Construção de equações quadráticas do tipo $x^2-Sx+P=0$
Uma aplicação das Relações de Girard é de construir uma equação a partir de suas raízes.
Dada uma equação em sua forma geral:
$$ax^2+bx+c=0
$$
Se $x_1$ e $x_2$ são suas raízes, então podemos utilizar as Relações de Girard da seguinte forma:
- $x_1+x_2 = S = -\cfrac{b}{a}$
- $x_1\ x_2 = P = \cfrac{c}{a}$
Assumindo que $a=1$, temos:
$$x^2 - Sx + P = 0
$$
Exemplo 3:
Dadas as raízes $x_1=5$ e $x_2=-2$, vamos construir a equação quadrática que possui essas raízes.
Iniciamos calculando a soma $S$ e o produto $P$:
- $S = x_1 + x_2 = 5 + (-2) = 3$
- $P = x_1\ x_2 = 5 \cdot (-2) = -10$
Substituindo em $x^2-Sx+P=0$, obtemos:
$$x^2 -3x + (-10) = 0\\
x^2 - 3x-10=0
$$
Para verificarmos se esta equação gera as raízes $x_1$ e $x_2$ do enunciado, podemos resolvê-la através da Fórmula de Bháskara e comparar os resultados.
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
\ \\
x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1 \cdot (-10)}}{2}\\
\ \\
x = \frac{3 \pm \sqrt{9+40}}{2}\\
\ \\
x = \frac{2 \pm 7}{2}\\
\ \\
x_1 = 5\\
\ \\
x_2 = -2
$$
Outra forma de obter a equação é utilizar a forma fatorada da equação quadrática:
$$x^2-(x_1+x_2)x + x_1\ x_2 = 0\\
\ \\
x^2-(5-2)x + 5(-2) = 0\\
\ \\
x^2 -3x-10=0
$$
5. Análise de gráfico e determinação do vértice da parábola
Toda função quadrática do tipo $y=ax^2+bx+c$ representa uma parábola no plano cartesiano.
As coordenadas do vértice da parábola são importantes para entender os valores de máximo ou mínimo, dependendo do sinal de $a$.
Toda parábola possui um eixo de simetria que passa pelo vértice e divide a parábola em dois ramos. A coordenada $x$ do vértice é o ponto onde o eixo de simetria corta o eixo das abscissas e é dado pelo ponto médio entre as duas raízes:
$$x_V = \frac{x_1+x_2}{2} = \frac{-\cfrac{b}{a}}{2} = -\frac{b}{2a}
$$
Para encontrarmos a coordenada $y_V$ do vértice, substituímos $x_V$ na equação.
Exemplo 4:
Dada a função $f(x)=2x^2-8x+6$, vamos encontrar as coordenadas do vértice da parábola.
Utilizando as Relações de Girard, temos que:
$$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{(-8)}{2}=4
$$
E o vértice está em seu ponto médio:
$$x_V = \frac{x_1+x_2}{2} = \frac{4}{2}=2
$$
Para encontrarmos $y_V$, substituímos $x_V=2$ na função, obtendo>
$$f(x) = 2x^2-8x+6\\
\ \\
f(2) = 2x^2 - 8(2) +6\\
\ \\
f(2) = -2
$$
Assim, as coordenadas do vértice da parábola são: $V(2,-2)$.
Graficamente temos:
6. Aplicação em problemas de Física
No lançamento de um corpo a uma altura $h$ em função do tempo (representamos por $h(t)$), obedece a uma equação quadrática:
$$h(t) = h_0 + v_0\ t - \frac{1}{2}\ g\ t^2
$$
As raízes dessa equação correspondem ao tempo em que o corpo atinge o solo. A soma dos tempos $t_1+t_2$, obtidas pelas Relações de Girard, nos ajuda a encontrar o instante de tempo em que o corpo atinge a altura máxima:
$$t_{max} = \frac{t_1+t_2}{2}
$$
Exemplo 5:
Um objeto é lançado a partir do solo com velocidade inicial de $v_0=20\ m/s$. Considerando a gravidade $g=10\ m/s^2$, vamos determinar a altura máxima atingida pelo objeto.
Tomando a equação:
$$h(t) = -\frac{1}{2}\ g\ t^2 +v_0\ t + h_0\\
\ \\
h(t) = -\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^2 + 20t + 0\\
\ \\
h(t) = -5t^2+20t
$$
Os coeficientes dessa função são:
- $a=-5$
- $b=20$
Aplicando na relação de soma de Girard, obtemos:
$$t_1+t_2 = -\frac{b}{a} = \frac{-20}{-5} = 4
$$
E o ponto máximo da trajetória é dadp pelo ponto médio de suas raízes:
$$t_{max} = \frac{t_1+t_2}{2} = \frac{4}{2}=2
$$
O onjeto atinge o ponto máximo após 2 segundos do lançamento.
Para encontrarmos a altura $h$ máxima atingida pelo objeto, substituímos $t_{max}=2$ na equação:
$$h(t) = -5t^2+20t\\
\ \\
h(2) = -5\cdot 2^2 + 20 \cdot 2\\
\ \\
h(2) = -20+40\\
\ \\
h(2) = 20
$$
Assim, a altura máxima que o objeto atinge é de 20 metros, após 2 segundos do lançamento.
Referências:
- Fundamentos de Matemática Elementar V6 - Complexos, Polinômios, Equações - Gelson Iezzi
- Matemática: Contexto e Aplicações V2 - Dante
- O Cálculo com Geometria Analítica V1 - Leithold
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