Resolução da integral da tangente de x: $\displaystyle \int \text{tg}(x)\ dx$

Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos em tabelas.

Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica ou ainda uma combinação de métodos.

Nesta postagem, vamos demonstrar que:

$$\int \text{tg}(x)\ dx = \begin{cases} -\ln|\text{cos}(x)| + C\\ \ \\ \text{ ou}\\ \ \\ \ln|\text{sec}(x)| + C \end{cases}$$

Seja a integral:

$$I = \int \text{tg}(x)\ dx$$

Reescrevemos o integrando como:

$$I = \int \frac{\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)}\ dx$$

Para o integrando, fazemos a substituição $u=\text{cos}(x)$. Assim, $du=-\text{sen}(x)\ dx$ e $\displaystyle dx = -\frac{1}{\text{sen}(x)}\ du$:

$$I = \int \frac{\text{sen}(x)}{u} \cdot \left(- \frac{1}{\text{sen}(x)}\right)\ du\\ \ \\ I = -\int \frac{1}{u}\ du$$

A integral de $\displaystyle \frac{1}{u}$ é $\ln(u)$. Assim:

$$I = -\ln(u) + C$$

Mas, $u = \text{cos}(x)$. Logo:

$$I = -\ln |\text{cos}(x)| + C$$

Ou podemos reescrever de outra forma:

Uma vez que:

$$-\ln |\text{cos}(x)| = \ln \left|\frac {1}{\text{cos}}\right| = \ln |\text{sec}(x)|$$

Assim, a integral de $\text{tg}(x)$ pode ser expressa de duas maneiras:

$$\int \text{tg}(x)\ dx = \begin{cases} -\ln|\text{cos}(x)| + C\\ \ \\ \text{ ou}\\ \ \\ \ln|\text{sec}(x)| + C \end{cases}$$

Exemplo:

Vamos encontrar a área sob a curva $f(x)=\text{tg}(x)$ no intervalo $I=\left[ 0,\cfrac{\pi}{4}\right]$.

Para encontrarmos a área sob a curva $f(x)$, utilizamos o conceito de integral definida:

$$A = \int_0^{\pi/4} \text{tg}(x)\ dx$$

Utilizando o resultado obtido acima, aplicamos os limites para $x=0$ a $x=\pi/4$:

$$A = \Big[- \ln\big( \cos(x) \big) \Big]_0^{\pi/4}\\ \ \\ A = -\ln \left[ \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)\right] + \ln \big( \cos (0) \big)\\ \ \\ A = -\ln \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \ln (1)\\ \ \\ A = -\ln \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 0\\ \ \\ A = \ln \left[ \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^{-1} \right]\\ \ \\ A = \ln \left( \frac{2}{\sqrt{2}} \right)\\ \ \\ A = \ln \big(\sqrt{2}\big)\\ \ \\ A = \frac{1}{2}\ln (2)\\ \ \\ A \approx 0,3466$$

Assim, a área sob a curva $f(x)=\text{tg}(x)$, no intervalo de $0$ a $\pi/4$, vale aproximadamente $0,3466$ unidades de área.

Métodos de Integração:

• Por partes
• Tabular
• Por substituição
• Frações parciais
• Substituição trigonométrica
• Integrais literais resolvidas