Vamos considerar uma hipérbole em sua forma padrão centrada na origem, com eixo real paralelo ao eixo dos $x$, com equação:
$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \tag{1}
$$
Onde:
- $a$ é distância do centro da hipérbole a um de seus vértices. Define a abertura da hipérbole ao longo do eixo real.
- $b$ está associado à distância do centro até os extremos do eixo conjugado.
Se a hipérbole estiver transladada, com centro em $(h,k)$, sua equação será:
$$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1
$$
Dado um ponto $P(x_0,y_0)$ pertencente à hipérbole, vamos determinar a equação da reta tangente à hipérbole nesse ponto.
Demonstração:
Se derivarmos implicitamente em relação a $x$ a equação da hipérbole, encontramos a inclinação (coeficiente angular) da reta no ponto $P(x_0,y_0)$:
$$\frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} \right)= \frac{d}{dx} (1)
$$
Aplicando a regra da cadeia, obtemos:
$$\frac{2x}{a^2} - \frac{2y}{b^2}\ \frac{dy}{dx} = 0
$$
Vamos isolar $dy/dx$ para encontrarmos a inclinação da reta tangente:
$$\frac{2y}{b^2}\ \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{a^2}\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{a^2}\ \frac{b^2}{2y}\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = \frac{b^2 x}{a^2 y}
$$
Assim, no ponto $P(x_0,y_0)$ o coeficiente angular da reta tangente pode ser expresso por:
$$m = \frac{dy}{dx} = \frac{b^2 x_0}{a^2 y_0} \tag{2}
$$
Por outro lado, se tomarmos a definição da inclinação da reta, temos:
$$m = \frac{y-y_0}{x-x_0} \tag{3}
$$
Essa equação também é conhecida por equação ponto-inclinação da reta.
Substituindo $(3)$ em $(2)$, obtemos:
$$\frac{y-y_0}{x-x_0} = \frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}\\
\ \\
y - y_0 = \frac{b^2 x_0}{a^2 y_0} (x - x_0)\\
\ \\
a^2 y_0 (y-y_0) = b^2 x_0 (x -x_0)
$$
Aplicando a propriedade distributiva:
$$a^2 y_0 y - a^2y^2_0 = b^2 x_0 x - b^2 x^2_0
$$
Reorganizando os termos, obtemos:
$$b^2 x_0 x - a^2y_0 y = b^2 x_0^2 - a^2 y_0^2
$$
Dividindo ambos os membros por $a^2b^2$:
$$\frac{x_0x}{a^2} - \frac{y_0y}{b^2} = \frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2} \tag{4}
$$
Como o ponto $P(x_0,y_0)$ pertence à hipérbole, temos:
$$\frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2} = 1 \tag{5}
$$
Substituindo $(5)$ no membro da direita de $(4)$, obtemos finalmente a equação da reta tangente à hipérbole:
$$\frac{x_0x}{a^2} - \frac{y_0y}{b^2} = 1 \tag{6}
$$
Exemplo 1:
Dada a hipérbole de equação $\cfrac{x^2}{16}-\cfrac{y^2}{9}=1$, vamos encontrar a equação da reta tangente no ponto $P\left(5, \cfrac{9}{4}\right)$.
Antes de prosseguir com a resolução, vamos verificar se o ponto $P$ realmente pertence à hipérbole. Para isso, substituímos as coordenadas do ponto $P$ na equação da hipérbole.
$$\frac{5^2}{16} - \frac{\left(\cfrac{9}{4}\right)^2}{9}=1\\
\ \\
\frac{25}{16} - \frac{81}{16 \cdot 9} = 1\\
\ \\
\frac{25}{16} - \frac{9}{16} = 1\\
\ \\
\frac{16}{16}=1\\
\ \\
1=1
$$
Como a igualdade é satisfeita, concluímos que $P$ pertence à hipérbole. Agora, vamos aplicar as coordenadas do ponto $P$ na fórmula da reta tangente:
$$\frac{5x}{16} - \frac{\cfrac{9}{4}y}{9}=1\\
\ \\
\frac{5x}{16} - \frac{y}{4}=1\\
\ \\
5x-4y=16
$$
Graficamente, temos:
Exemplo 2:
Dada a reta $2x+3y=-5$, tangente à hipérbole centrada na origem, no ponto $P(-4,1)$, vamos encontrar a equação da hipérbole.
Vamos verificar se $P$ pertence à reta:
$$2x+3y=-5\\
\ \\
2(-4)+3(1)=-5\\
\ \\
-8+3=-5\\
\ \\
-5=-5
$$
Como a igualdade foi satisfeita, concluímos que $P$ pertence À reta.
A equação da hipérbole centrada na origem é dada por:
$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
$$
Pelo enunciado do problema, a reta é tangente à hipérbole. Sabemos que a equação da reta tangente À hipérbole no ponto $P(x_0,y_0)$ é dada por:
$$\frac{xx_0}{a^2} - \frac{yy_0}{b^2} = 1
$$
No ponto $P(-4,1)$, temos:
$$\frac{-4x}{a^2} - \frac{y}{b^2} = 1
$$
A reta $2x+3y=-5$ pode ser reescrita como:
$$\frac{2x}{-5} - \frac{3y}{-5} = 1
$$
Igualando os coeficientes da equação da reta com a equação da tangente, obtemos:
\begin{matrix}\cfrac{-4}{a^2}=\cfrac{2}{-5} &\quad \text{e}\quad & \cfrac{-1}{b^2}=\cfrac{3}{-5}\\
2a^2=20 &\quad \quad & 3b^2=5\\
a^2=10 &\quad \quad & b^2= 5/3
\end{matrix}
Substituindo $a^2$ e $b^2$ na equação geral, obtemos:
$$\frac{x^2}{10} - \frac{y^2}{5/3} = 1\\
\ \\
\frac{x^2}{10} - \frac{3y^2}{5} = 1\\
$$
A conclusão que chegamos é que a reta tangencia a hipérbole em seu ramo da esquerda, uma vez que seus vértices estão em:
$$x = \pm \sqrt{10} = \pm 3,16 \cdots
$$
Como o ponto $P$ pertence à hipérbole e tem $x=-4 < -\sqrt{10}$, logo, pertence ao ramo da esquerda.
Graficamente, temos:
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