Vamos considerar uma elipse centrada na origem com equação:
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \tag{1}
$$
Onde:
- $a$ é o semi-eixo maior
- $b$ é o semi-eixo menor
Dado um ponto $P(x_0,y_0)$ pertencente à elipse, vamos determinar a equação da reta tangente à elipse nesse ponto.
Demonstração:
Se derivarmos implicitamente em relação a $x$ a equação da elipse, encontramos a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente ao ponto $P(x_0,y_0)$:
$$\frac{d}{dx} \left(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}\right) = \frac{d}{dx} (1)
$$
Aplicando a regra da cadeia, obtemos:
$$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \ \frac{dy}{dx} = 0
$$
Vamos isolar $dy/dx$ para encontrarmos a inclinação da reta tangente:
$$\frac{2y}{b^2}\ \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{a^2}\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{a^2}\ \frac{b^2}{2y}\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2x}{a^2y}
$$
Assim, no ponto $P(x_0,y_0)$ o coeficiente angular da reta tangente pode ser expresso por:
$$m = \frac{dy}{dx} = - \frac{b^2 x_0}{a^2 y_0} \tag{2}
$$
Por outro lado, se tomarmos a definição da inclinação da reta, teremos:
$$m = \frac{y_0-y}{x_0-x} \tag{3}
$$
Essa equação também é conhecida por equação ponto-inclinação da reta.
Substituindo $(2)$ em $(3)$, obtemos:
$$y-y_0 = -\frac{b^2x_0}{a^2y_0}(x - x_0)\\
\ \\
a^2y_0(y-y_0) = - b^2x_0(x-x_0)
$$
Aplicando a propriedade distributiva:
$$a^2y_0y - a^2y_0^2 = - b^2x_0x + b^2x^2_0
$$
Reorganizando os termos, obtemos:
$$b^2x_0x + a^2y_0y = b^2x_0^2 + a^2y_0^2
$$
Dividimos ambos os membros por $a^2b^2$:
$$\frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} \tag{4}
$$
Como o ponto $P(x_0,y_0)$ pertence à elipse, temos:
$$\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1 \tag{5}
$$
Substituímos $(5)$ no membro da direita de $(4)$, obtendo finalmente a equação da reta tangente à elipse:
$$\frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1 \tag{6}
$$
Exemplo 1:
Seja uma elipse definida pela equação:
$$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1
$$
Vamos encontrar a equação da reta tangente à elipse no ponto $\displaystyle P\left(\frac{3}{2}, \sqrt{3}\right)$.
Antes de prosseguir com a resolução, vamos verificar se o ponto $P$ realmente pertence à elipse. Para isso, substituímos as coordenadas de $P$ na equação da elipse.
$$\frac{\left(\displaystyle \frac{3}{2}\right)^2}{9} + \frac{\left(\displaystyle \sqrt{3}\right)^2}{4} = 1\\
\ \\
\frac{\displaystyle \frac{9}{4}}{9} + \frac{3}{4} = 1\\
\ \\
\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1\\
\ \\
1 = 1
$$
Como a igualdade é satisfeita, concluímos que $P$ pertence à elipse. Agora, vamos aplicar as coordenadas do ponto $P$ na fórmula da reta tangente:
$$\frac{\displaystyle \frac{3}{2}x}{9} + \frac{\sqrt{3}y}{4} = 1\\
\ \\
\frac{3}{2}\ \frac{1}{9}x + \frac{\sqrt{3}}{4} y = 1\\
\ \\
\frac{1}{6}x = \frac{\sqrt{3}}{4}y = 1
$$
Ou ainda:
$$2x + 3\sqrt{3} = 12
$$
Graficamente, temos:
Exemplo 2:
Dada a reta $3x+4y=25$, tangente à elipse centrada na origem no ponto $P(3,4)$, encontrar a equação da elipse.
Vamos verificar se $P(3,4)$ pertence à reta:
$$3x+4y=25\\
\ \\
3(3)+4(4) = 25\\
\ \\
9+16 = 25\\
\ \\
25=25
$$
Como a igualdade foi satisfeita, concluímos que $P$ pertence à reta.
A equação da elipse centrada na origem é dada por:
$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1
$$
Pelo enunciado do problema, a reta é tangente à elipse. Sabemos que a equação da reta tangente à elipse no ponto $P(x_0,y_0)$ é dada por:
$$\frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1
$$
No ponto %P(3,4)$, temos:
$$\frac{3x}{a^2}+\frac{4y}{b^2}=1
$$
A reta $3x+4y=25$ pode ser reescrita como:
$$\frac{3x}{25} + \frac{4y}{25}=1
$$
Igualando os coeficientes da equação da reta com a equação da tangente, obtemos:
\begin{matrix} \displaystyle \frac{3}{a^2}=\frac{3}{25} &\ \ & \displaystyle \frac{4}{b^2}=\frac{4}{25}\\ 3a^2 = 75 & \ \ & 4b^2 = 100\\ a^2 = 25 & \ \ & b^2 = 25 \end{matrix}Substituindo $a^2$ e $b^2$ na equação geral, obtemos:
$$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{25} = 1
$$
Ou simplificando:
$$x^2+y^2=25
$$
A conclusão que chegamos é que a elipse se degenerou em uma circunferência centrada na origem, pois $a^2=b^2=25$.
Graficamente, temos:
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